要重視數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性設(shè)計(jì)*

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215011)

丁益民

現(xiàn)行教材大都按照知識(shí)的公理化體系自下而上進(jìn)行編寫，學(xué)生在這樣的體系中習(xí)得的是一個(gè)個(gè)點(diǎn)狀知識(shí)，盡管學(xué)習(xí)的難度下降，卻很難明白所學(xué)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)單元、整個(gè)章節(jié)甚至整個(gè)知識(shí)體系中的地位與作用，容易形成“只見樹木不見森林”的學(xué)習(xí)境況，進(jìn)而導(dǎo)致信息表征困難，學(xué)習(xí)遷移能力較低，難以將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到問題解決中去.史寧中教授認(rèn)為：核心素養(yǎng)的落實(shí)首先要改變的是教學(xué)設(shè)計(jì)的思路，不能再像傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)那樣，按照一節(jié)課或一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)了，而應(yīng)當(dāng)把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體教學(xué).這種整體性的教學(xué)方式側(cè)重于教學(xué)目標(biāo)的全面性以及教學(xué)過程的系統(tǒng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是邏輯連貫的認(rèn)知整體，增強(qiáng)了學(xué)生構(gòu)建學(xué)科體系的整體性，有利于把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).

1.整體性設(shè)計(jì)的內(nèi)涵

上一輪課改經(jīng)驗(yàn)告訴我們，應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)合理組織教學(xué)內(nèi)容，既要關(guān)注知識(shí)前后的邏輯性，重視對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，又要重視課堂中對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的思維訓(xùn)練和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo).教師只有提高對(duì)教材整體分析和解讀的水平，才能使數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值的最優(yōu)化.整體性設(shè)計(jì)是課程開發(fā)中的一種思維方式，在教學(xué)活動(dòng)中從教學(xué)目標(biāo)的上位出發(fā)，將教學(xué)活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)都融于教學(xué)活動(dòng)的大系統(tǒng)中，改變以往那種片面地突出某一教學(xué)點(diǎn)的設(shè)計(jì)模式.整體性設(shè)計(jì)是從更高的視角來分析教材以及設(shè)計(jì)教學(xué)流程，突出單元的教學(xué)目標(biāo)，努力體現(xiàn)教學(xué)過程的整體性，從而減少那些毫無(wú)價(jià)值的重復(fù)性教學(xué)活動(dòng)，根本上解決存在于教學(xué)方式與課時(shí)時(shí)限之間的矛盾.

鑒于此，整體性設(shè)計(jì)框架如下：

2.整體性設(shè)計(jì)的要素分析

2.1 教學(xué)內(nèi)容的整體分析

研讀教學(xué)內(nèi)容時(shí)，既要清楚教學(xué)內(nèi)容的上位知識(shí)又要明白它與后續(xù)知識(shí)的邏輯關(guān)聯(lián),需要將它置于整個(gè)教學(xué)單元的邏輯主線中進(jìn)行考察.如在“數(shù)列”第1課時(shí)，首先要認(rèn)識(shí)到數(shù)列是以“數(shù)”為研究對(duì)象的特殊函數(shù)，在“數(shù)列”的整個(gè)教學(xué)體系中應(yīng)始終以函數(shù)的視角來審視數(shù)列的變化屬性，比如數(shù)列中的項(xiàng)是如何變化的(項(xiàng)與下標(biāo)的函數(shù)關(guān)系)？數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間有怎樣的關(guān)系(遞推關(guān)系)？數(shù)列的項(xiàng)與和(和與項(xiàng))間有什么關(guān)系？等等.函數(shù)視角是數(shù)列教學(xué)時(shí)一條認(rèn)知的邏輯主線，通過數(shù)列的學(xué)習(xí)加強(qiáng)對(duì)離散型函數(shù)的認(rèn)識(shí)，加深數(shù)列本質(zhì)的理解.同時(shí)，這一課時(shí)為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)“等差數(shù)列”、“等比數(shù)列”等具體的數(shù)列模型提供了認(rèn)知建構(gòu)上的引導(dǎo)以及思維方式上的指引，是后續(xù)學(xué)習(xí)的先行組織者.

2.2 教學(xué)目標(biāo)的整體定位

在確定課時(shí)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，每一課時(shí)的目標(biāo)應(yīng)是單元教學(xué)目標(biāo)下的具體體現(xiàn)，是能實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)目標(biāo)的有力載體.以“等差數(shù)列”第1課時(shí)為例，數(shù)列研究的對(duì)象是數(shù)，必然與運(yùn)算相關(guān)，因此，構(gòu)建合適的運(yùn)算規(guī)則來研究數(shù)列的運(yùn)算是整個(gè)單元的主要教學(xué)目標(biāo)之一.具體到等差數(shù)列，通過“累加”的運(yùn)算規(guī)則得到它的通項(xiàng)公式，不僅如此，這樣的運(yùn)算規(guī)則還適用于解決形如“an-an-1=f(n)”的遞推關(guān)系求通項(xiàng)問題.所以，教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生是否掌握運(yùn)算規(guī)則作為數(shù)列學(xué)習(xí)的達(dá)成指標(biāo)，而且要突出以探索運(yùn)算規(guī)則為邏輯的主線，教學(xué)中的所有活動(dòng)都要圍繞此進(jìn)行教學(xué)組織與實(shí)施.

2.3 學(xué)情分析的整體考量

在設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的系統(tǒng)性，一個(gè)概念在教學(xué)中所產(chǎn)生的教學(xué)成果(包括顯性的知識(shí)達(dá)成，隱性的思維方式和學(xué)習(xí)方法等)，在之后的教學(xué)中將得以延續(xù)與利用，是后續(xù)教學(xué)的思維指引和行為示范.以“集合”第1課時(shí)為例，集合是學(xué)生進(jìn)入高中后最先接觸到的教學(xué)內(nèi)容，這對(duì)學(xué)生的認(rèn)知會(huì)產(chǎn)生先入為主的主觀趨向，在該課時(shí)教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生獲得這樣的認(rèn)知鏈：什么是集合？→集合具有什么性質(zhì)？→如何運(yùn)用集合的概念及性質(zhì)解決相關(guān)問題？這樣的認(rèn)知流程實(shí)際上是進(jìn)行一般性認(rèn)知的基本方式，即任何新概念的獲得都要經(jīng)歷這樣的認(rèn)知過程：對(duì)象→屬性(特征)→運(yùn)用.而在今后學(xué)習(xí)中，將不斷地以此認(rèn)知過程開展學(xué)習(xí)活動(dòng)與思維活動(dòng).另外，在具體實(shí)施中，學(xué)生所經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—抽象概括—建構(gòu)”的思維過程，又是完整且規(guī)范的示范與指引，同樣在后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常使用到這樣的思維范式，為形成科學(xué)規(guī)范的認(rèn)知方式提供可能.

2.4 教學(xué)建構(gòu)的前后一致

在某些邏輯相似、前后關(guān)聯(lián)較大的概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)保持建構(gòu)方式的一致性.以“函數(shù)的性質(zhì)”為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)普遍感覺抽象難懂，這與教學(xué)時(shí)建構(gòu)方式不一致有一定的關(guān)系.實(shí)際上，函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性等性質(zhì)在建構(gòu)的過程上、語(yǔ)言表述風(fēng)格上以及思想方法和數(shù)學(xué)觀念上均保持著前后一致性，具體體現(xiàn)為：

建構(gòu)方式都遵循以下操作流程：生活中的某種現(xiàn)象——數(shù)學(xué)中的這一現(xiàn)象——就已學(xué)過的特殊函數(shù)為例進(jìn)行研究——由特殊到一般進(jìn)行“坐標(biāo)關(guān)系”到“函數(shù)性質(zhì)”的表征——抽象概括出相關(guān)概念；

語(yǔ)言風(fēng)格的一致體現(xiàn)在：“任意的……都有……”.不僅如此，在建構(gòu)過程中的語(yǔ)言呈現(xiàn)也具有一致性，都可由圖形語(yǔ)言逐步抽象為形式化的符號(hào)語(yǔ)言，再由符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯成自然語(yǔ)言；

思想方法和數(shù)學(xué)觀念一致性體現(xiàn)在：所有性質(zhì)的建構(gòu)意圖是通過概念的形成，讓學(xué)生能用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表征函數(shù)的性質(zhì)，基本要求是會(huì)用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言來抽象函數(shù)的性質(zhì)，也能通過符號(hào)語(yǔ)言解讀函數(shù)的性質(zhì)，較高的要求是能借用研究這些性質(zhì)的思維過程和解讀方式來指導(dǎo)和思考新的性質(zhì)的學(xué)習(xí).為此，在設(shè)計(jì)時(shí)所有的教學(xué)行為應(yīng)是在相似表征活動(dòng)下的同構(gòu)過程，這能確保組織方式的前后一致性.

3.整體性設(shè)計(jì)在實(shí)施中的一些建議

3.1 創(chuàng)設(shè)具有單元導(dǎo)向性的問題情境

實(shí)際教學(xué)中，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中雜亂無(wú)章，知識(shí)建構(gòu)不成系統(tǒng)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)內(nèi)容易混易忘.究其原因，學(xué)生在開始階段就沒有形成整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)范式，沒有用系統(tǒng)的眼光去進(jìn)行學(xué)習(xí)，使得學(xué)習(xí)的內(nèi)容零散孤立，學(xué)習(xí)效果自然不佳.因此，在章節(jié)起始課或概念起始課的情境設(shè)置中，應(yīng)設(shè)計(jì)合適的情境來蘊(yùn)涵整章的認(rèn)知框架(主線)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生按照認(rèn)知框架的基本線路去進(jìn)行學(xué)習(xí).

案例1 蘇教版必修5“不等關(guān)系”情境創(chuàng)設(shè)

在一開始選擇情境素材時(shí)就應(yīng)考慮情境素材的先行組織作用，通過三幅圖讓學(xué)生經(jīng)歷“感受不等”，“思考不等”，“應(yīng)用不等”的直觀感受，讓學(xué)生初步建立起在本章學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)：抽象出模型——研究模型——應(yīng)用模型，這正是學(xué)習(xí)所有“不等模型”的通用歷程.上述情境設(shè)置中蘊(yùn)含著研究問題與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方向，即從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，通過思考和研究模型，進(jìn)而應(yīng)用模型的研究過程.創(chuàng)設(shè)的情境目標(biāo)指向于整章學(xué)習(xí)方向的引導(dǎo)，是整章學(xué)習(xí)過程的縮影，為學(xué)生勾勒出整章認(rèn)知對(duì)象的基本輪廓，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)具體的不等模型時(shí)更具有目標(biāo)性和方向性.

3.2 選擇適合目標(biāo)立意的教學(xué)組織方式

對(duì)同一教學(xué)內(nèi)容而言，選擇不同的組織方式，學(xué)生所獲得的目標(biāo)立意將有所不同.適宜的目標(biāo)立意才能促進(jìn)學(xué)生有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，換言之，過低的目標(biāo)立意不能促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，過高的目標(biāo)立意不能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知共鳴.因此，應(yīng)根據(jù)預(yù)期所要達(dá)到的目標(biāo)立意，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)組織以保證整章教學(xué)定位基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和可能的目標(biāo)區(qū).

案例2蘇教版必修5第1章“正弦定理”的教學(xué)組織比較

組織方式1：在初中，我們著重從幾何的角度來研究三角形的邊角關(guān)系，隨著我們不斷學(xué)習(xí)新知識(shí)，還可從哪些角度來研究三角形的邊角關(guān)系呢？

方式1的預(yù)期目標(biāo)立意是研究三角形的基本視角.由此目標(biāo)指引下的數(shù)學(xué)活動(dòng)是基于如何研究幾何問題，可以從多個(gè)方向展開：通過回顧初中三角函數(shù)的定義，將一般的三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來研究“正弦定理”；由于向量是一種既有形的特征又有數(shù)的意義的數(shù)學(xué)工具，因此可用“向量”來研究“正弦定理”；若學(xué)習(xí)了必修2“平面解析幾何”還可以用坐標(biāo)法來研究幾何問題，可通過用坐標(biāo)法來研究“正弦定理”；等等.不僅如此，在接下去教學(xué)“余弦定理”時(shí)也可以從這些視角進(jìn)行研究，更一般地，在研究平面幾何問題時(shí)，同樣可以從這些視角去研究.

組織范式2：三角形有3個(gè)角3條邊，至少給定這6個(gè)元素中的幾個(gè)可以確定一個(gè)三角形？

至少給定三個(gè)元素：

能“確定”三角形的這些條件的理論依據(jù)是什么？

方式2的預(yù)期目標(biāo)立意：探尋能“確定”三角形的理論依據(jù)，發(fā)展學(xué)生的理性思維.由此帶來的數(shù)學(xué)活動(dòng)：將上述條件先分類，以其中一組進(jìn)行研究(如兩角+一角鄰邊)，形成可操作的思維方式，再用類似的思維過程指導(dǎo)其他條件的研究.

不難看出，教學(xué)組織方式是由整章的目標(biāo)立意引領(lǐng)，不同的教學(xué)組織實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)立意是不同的，但是學(xué)生在不同建構(gòu)方式下的數(shù)學(xué)活動(dòng)是在同一建構(gòu)系統(tǒng)中進(jìn)行的，這就增強(qiáng)了知識(shí)建構(gòu)的整體性，增強(qiáng)了知識(shí)理解的邏輯深度.

3.3 實(shí)施邏輯連貫的教學(xué)過程

數(shù)學(xué)知識(shí)不是“孤立散點(diǎn)”，而是作為邏輯連貫的“體系存在”，雖然學(xué)習(xí)的對(duì)象不同，但研究對(duì)象的方法是連貫的，主線是清晰的.以“橢圓”的學(xué)習(xí)為例，其認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)是：圓的定義—圓的方程—圓的性質(zhì)探究—圓與其他圖像的關(guān)系研究.基本思想是運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問題，這是學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，通過提煉、凝聚，為學(xué)生擬定了橢圓學(xué)習(xí)的活動(dòng)導(dǎo)圖：橢圓的定義—橢圓的方程—橢圓的性質(zhì)探究—橢圓與其他圖形的關(guān)系研究.從而，遷移形成研究一般曲線的活動(dòng)導(dǎo)圖，思想方法的一致性與研究方式的整體性貫穿始終.

整體設(shè)計(jì)呈現(xiàn)給我們的是一種全新的教學(xué)“科學(xué)化”圖景，其設(shè)計(jì)理念、設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)不同，它追求知識(shí)的整體性、學(xué)習(xí)的整體性和教學(xué)的整體性，其目的就是促進(jìn)學(xué)生把知識(shí)、技能、態(tài)度協(xié)調(diào)整合起來，真正促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教育的育人功能.