方格圖在平面圖形面積公式推導(dǎo)中的功能與價值

張卓卿

[摘 要]在平面圖形面積公式的推導(dǎo)中，方格圖是教師經(jīng)常用到的一種直觀圖，它是數(shù)形結(jié)合的有效載體。在教學(xué)中，方格圖的主要作用并不是教會學(xué)生“數(shù)”出面積，而是要學(xué)生充分利用方格圖發(fā)現(xiàn)多種計算平面圖形面積的方法。

[關(guān)鍵詞]方格圖;面積公式;功能;價值

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0044-02

人教版教材關(guān)于平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，首先呈現(xiàn)了一幅方格圖（如圖1）。教材安排這一環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生在數(shù)方格的過程中發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積和長方形面積之間的關(guān)系。讀題后，學(xué)生產(chǎn)生疑問：“為什么不滿一格的都按半格計算？這樣數(shù)出來的面積是否精確？”很多教師沒有想到這一點，往往一筆帶過，使學(xué)生陷入困惑之中。

筆者認為，在平面圖形面積公式的推導(dǎo)中，方格圖的主要作用并不是為了數(shù)出面積，而是要充分利用方格圖發(fā)現(xiàn)多種計算平面圖形面積的方法。筆者對運用方格圖推導(dǎo)平面圖形面積公式的方法進行了系統(tǒng)梳理，并進行了實踐嘗試，收到了很好的教學(xué)效果。

一、方格圖在平面圖形面積公式推導(dǎo)中的功能定位

在人教版教材中，平面圖形面積公式推導(dǎo)的順序是長方形、正方形面積→平行四邊形面積→三角形面積→梯形面積。筆者認為，方格圖在不同平面圖形的面積公式推導(dǎo)中應(yīng)具有不同的功能定位。

1.在長方形、正方形面積公式推導(dǎo)中的功能定位

學(xué)生從“線段長度需要用長度單位進行測量”，很容易聯(lián)想到“平面圖形的面積需要用面積單位進行測量”。于是，筆者規(guī)定一個1平方厘米的小正方形為1個面積單位，讓學(xué)生用若干個這樣的面積單位對一個長5厘米、寬3厘米的長方形進行測量，從而自然形成一張方格圖。通過觀察方格圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“長5厘米”即一行可以擺5個面積單位，“寬3厘米”即一列可以擺3個面積單位，進而輕松發(fā)現(xiàn)長與寬的乘積就是長方形所占面積單位的個數(shù)，也就是長方形的面積。繼續(xù)對多個長方形進行觀察比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“長與寬的積等于長方形面積”具有普遍性，由此推導(dǎo)出長（正）方形的面積公式。

如此，在長方形、正方形面積公式推導(dǎo)中，方格圖的主要功能定位在實現(xiàn)從“測量面積”到“計算面積”的過渡。

2.在平行四邊形面積公式推導(dǎo)中的功能定位

在平行四邊形面積公式的推導(dǎo)中，筆者直接呈現(xiàn)圖2（一個方格代表1m2），讓學(xué)生想辦法算出平行四邊形的面積。學(xué)生清楚地知道，計算面積就是計算面積單位的個數(shù)，于是想到了多種方法（如圖3）。

以上四種方法中，第一、二種是數(shù)格法的靈活運用，第三、四種是剪拼法。學(xué)生比較后發(fā)現(xiàn)剪拼法更簡便。接下來，筆者引導(dǎo)學(xué)生將原平行四邊形和剪拼后的長方形聯(lián)系比較，運用剪拼法順利推導(dǎo)出平行四邊形面積公式。

如此，在平行四邊形面積公式推導(dǎo)中，方格圖的主要功能是實現(xiàn)從“數(shù)格法”到“剪拼法”的轉(zhuǎn)化。

3.在三角形面積公式推導(dǎo)中的功能定位

在三角形面積公式推導(dǎo)中，筆者直接向?qū)W生呈現(xiàn)圖4（一個方格代表1m2），讓學(xué)生想辦法算出三角形的面積。學(xué)生根據(jù)推導(dǎo)平行四邊形面積公式的經(jīng)驗，想到多種剪拼的方法（如圖5）。

在思維的相互碰撞中，學(xué)生找到了越來越多的方法。此時，學(xué)生的思維是高度興奮的，一些喜歡求異的學(xué)生還想到了“倍拼”的方法（如圖6）。

比較以上這兩類方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“倍拼法”更簡便。筆者讓學(xué)生用倍拼法對直角三角形和鈍角三角形進行研究，成功推導(dǎo)出三角形面積公式。

如此，在三角形面積公式推導(dǎo)中，方格圖的主要功能是實現(xiàn)了從“剪拼法”到“倍拼法”的跨越。

4.在梯形面積公式推導(dǎo)中的功能定位

在梯形面積公式推導(dǎo)中，筆者直接呈現(xiàn)圖7（一個方格代表1m2），讓學(xué)生想辦法算出梯形的面積。學(xué)生根據(jù)推導(dǎo)三角形面積公式的經(jīng)驗，想到多種剪拼法和倍拼法（如圖8）。

接著，筆者讓學(xué)生對沒有方格的多個普通梯形進行操作驗證，從而推導(dǎo)出梯形面積公式。

如此，在梯形面積公式推導(dǎo)中，方格圖的主要功能便在于讓學(xué)生靈活運用“剪拼法”和“倍拼法”。

二、方格圖在平面圖形面積公式推導(dǎo)中的價值體現(xiàn)

1.提供直觀數(shù)據(jù)，增強思維的嚴密性

小學(xué)生以形象思維為主，主要是通過觀察來獲得對平面圖形的直觀經(jīng)驗。平面圖形的轉(zhuǎn)化建立在熟知各種圖形的特征和它們之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，而學(xué)生對圖形特征及其關(guān)系的認識還比較膚淺，這就使得轉(zhuǎn)化變得困難。方格圖可突顯圖形的特征，使各種圖形之間的聯(lián)系更加突出，為平面圖形的轉(zhuǎn)化提供了直觀參照。

同時，方格圖還為學(xué)生直觀地提供各種研究數(shù)據(jù)。根據(jù)小學(xué)生的年齡特點，平面圖形面積公式推導(dǎo)以實驗法和不完全歸納法為主，因此教師應(yīng)充分提供研究數(shù)據(jù)，盡可能提高推理的可信度，從而增強學(xué)生思維的嚴密性。

2.發(fā)現(xiàn)多種方法，訓(xùn)練思維的發(fā)散性

根據(jù)已有經(jīng)驗，對于平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，學(xué)生一開始用數(shù)方格的方法來計算面積，但在數(shù)的過程中體驗和感悟到用多種剪拼的方法更簡便準確。由此，學(xué)生學(xué)會了運用化歸思想來解決新問題，使解決問題的策略變得多樣化。

在三角形面積公式推導(dǎo)過程中，方格圖讓學(xué)生的思維實現(xiàn)了從“剪拼法”到“倍拼法”的跨越，并讓方法不斷得到優(yōu)化，有效訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維。

3.建立“單位”觀念，滲透數(shù)學(xué)思想方法

教學(xué)中，不管是“數(shù)”還是“量”的計算都離不開“單位”觀念。利用方格圖開展平面圖形面積公式的推導(dǎo)，能使學(xué)生深刻體會到計算面積就是計算面積單位的個數(shù)，使得學(xué)生對“單位”觀念的認識更加根深蒂固。當(dāng)學(xué)生遇到計算面積的新問題時，可以回歸本質(zhì)，從面積單位的角度重新思考解決問題的方法。

例如，教學(xué)“不規(guī)則圖形的面積”時，學(xué)生很自然會想到先用方格圖將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成近似的多邊形，再計算面積。又如，教學(xué)“圓的面積”時，圓是曲邊圖形，似乎與之前學(xué)的平面圖形毫不相干，但學(xué)生能從逐步建立的“單位”觀念，聯(lián)想到把圓剪成若干個曲邊“單位”——扇形，再重新拼組成一個已經(jīng)學(xué)過的圖形。

總之，在平面圖形面積公式推導(dǎo)過程中，教師應(yīng)充分挖掘方格圖的最大價值，發(fā)揮方格圖的獨特功能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，真正實現(xiàn)為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)而教。

（責(zé)編 李琪琦）