深入探究分?jǐn)?shù)概念及其模型

于海杰

[摘 要]分?jǐn)?shù)是數(shù)的概念的一次重要擴(kuò)展，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，但由于其具有抽象性和復(fù)雜性，被認(rèn)為是小學(xué)階段學(xué)生最難理解、最容易出現(xiàn)錯誤的數(shù)學(xué)概念之一。教師要提高對分?jǐn)?shù)概念的理解及分?jǐn)?shù)概念各知識點(diǎn)之間的整體認(rèn)識，從整體意義上去建構(gòu)分?jǐn)?shù)，梳理分?jǐn)?shù)概念及分?jǐn)?shù)模型，以幫助學(xué)生理解與掌握分?jǐn)?shù)的概念。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù);分?jǐn)?shù)概念;分?jǐn)?shù)模型

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0019-02

分?jǐn)?shù)與整數(shù)不同，分?jǐn)?shù)概念具有多重含義，且分?jǐn)?shù)的書寫形式、計(jì)數(shù)單位和計(jì)算法則與自然數(shù)相差很大，因此學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)要困難得多。在我國現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識主要集中在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”及“分?jǐn)?shù)的意義”（或“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”）兩個單元。圖1為呼和浩特市某小學(xué)三年級的學(xué)生在學(xué)習(xí)完“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”后犯的錯誤。

馬珂在《分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識及其教學(xué)研究》中提到，在一次“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的課堂上，教師告訴學(xué)生“分?jǐn)?shù)線下面的部分叫作‘分母”，并問學(xué)生分?jǐn)?shù)線上面的部分叫作什么時，很多學(xué)生都回答說“分公”。

這些例子都說明學(xué)生并沒有完全理解分?jǐn)?shù)的概念及分?jǐn)?shù)線上下的“母子關(guān)系”。

一、分?jǐn)?shù)概念

分?jǐn)?shù)起源于分，當(dāng)平均分配出現(xiàn)的不是整數(shù)結(jié)果的時候，逐漸就有了分?jǐn)?shù)的概念。許多學(xué)者都認(rèn)為分?jǐn)?shù)在不同情景問題中有不同的意義，總的來說，對分?jǐn)?shù)概念的理解應(yīng)關(guān)注兩條主線和四個維度。兩條主線即是“比”和“數(shù)”?！氨取笔侵敢徊糠峙c另一部分之間的關(guān)系;“數(shù)”是指以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)。四個維度即比率、度量、運(yùn)算、商。

“比率”指的是部分與整體之間的關(guān)系以及部分與部分之間的關(guān)系。部分與整體之間的關(guān)系通常用來描述一個被分開的全體的各個部分，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的拉丁文“fangere”詞義——分開的意思。如一些教材把分?jǐn)?shù)定義為“把單位‘1平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數(shù)”，正是這種關(guān)系的體現(xiàn)。部分與部分之間的關(guān)系是部分與整體之間關(guān)系的擴(kuò)展，是把部分當(dāng)成另一個整體。如圖2，黑色部分是白色部分的[15]。

“度量”的定義來源于“測量法”，是指將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累加，即通過數(shù)（shǔ）分?jǐn)?shù)單位的“個數(shù)”，從而得到不同的分?jǐn)?shù)，直至數(shù)出假分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)是度量數(shù)（分?jǐn)?shù)單位）的累加，這里理解分?jǐn)?shù)單位是關(guān)鍵。例如，[47]就是將分?jǐn)?shù)單位[17]累加四次或度量四次的結(jié)果。

“運(yùn)算”是指將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為運(yùn)算過程，通常與分?jǐn)?shù)的乘法和除法有關(guān)，這里強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)是一種轉(zhuǎn)換。例如，“[8×34]”可以理解為將8平均分成4份，取其中的3份，即“[8×34]”可以表示為“[8÷4×3]”。

“商”主要指在除法運(yùn)算中如果除不盡時，其結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)形式來表示，更準(zhǔn)確地說，分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)的“商”，是可以和其他有理數(shù)一樣進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算的數(shù)。例如，“[30÷7=4……2]”還可以表示成“[30÷7=427]”或“[30÷7=307]”，這里需要注意的是運(yùn)算的結(jié)果“商”是分?jǐn)?shù)，但分?jǐn)?shù)部分的分母是等號另一邊的除數(shù)。例如：雖然有“[30÷7=300÷70]”，但卻得不出“[300÷70=4……2]”，這是因?yàn)椤癧300÷70=4……20]”或“[300÷70=42070=427]”。

二、分?jǐn)?shù)概念模型

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，但由于分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵比較豐富，教師可借助與學(xué)生熟悉的日常事物及活動有關(guān)的各種直觀模型，使學(xué)生感受分?jǐn)?shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)概念模型。

1.區(qū)域或面積模型：用面積的“部分——整體”表示分?jǐn)?shù)

區(qū)域或面積模型是“部分——整體”的一種表現(xiàn)形式，是連續(xù)量中部分與整體之間的關(guān)系，是“比率”意義的一種體現(xiàn)。在區(qū)域或面積模型中，分?jǐn)?shù)表示的是把一個連續(xù)的整體平均分成若干份，取其中的一部分或幾部分與該整體相比較的結(jié)果。在一些教材中，分?jǐn)?shù)概念的引入就是通過“平均分”某一圖形，取其中的一份或幾份來認(rèn)識分?jǐn)?shù)的。圖3就是分?jǐn)?shù)的“區(qū)域或面積”的直觀模型，涂色部分的面積占全部圖形面積的[14]。

2.分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集——全集”來表示分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的集合模型是“部分——整體”的另一種表現(xiàn)形式。當(dāng)全體是離散的量時，分?jǐn)?shù)的意義就是子集和全集的關(guān)系，用集合中的“子集”表示部分即分子，“全集”表示整體即分母。在分?jǐn)?shù)的集合模型中，分?jǐn)?shù)表示的是把一個全集平均分成若干組，取其中的一組或幾組與該全集相比較的關(guān)系。這里的關(guān)鍵是把“1個東西”平均分過渡到把“1個整體”平均分，也就是說“單位1”不再是“1個物體”了，而是把幾個物體看作“1個物體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，其核心是將“多個”物體作為“整體1”（如圖4）。

3.分?jǐn)?shù)的“線段模型”：用分?jǐn)?shù)表示數(shù)軸上的一個點(diǎn)或數(shù)值

分?jǐn)?shù)的“線段模型”有兩層含義：第一層含義是表明“分?jǐn)?shù)是一個數(shù)”。任何兩個標(biāo)準(zhǔn)單位為1的區(qū)間，分?jǐn)?shù)是位于區(qū)間內(nèi)的一個點(diǎn)，即一個分?jǐn)?shù)對應(yīng)一個點(diǎn)，分?jǐn)?shù)是實(shí)數(shù)集的子集;第二層含義是指分?jǐn)?shù)可以表示線段的長度，是分?jǐn)?shù)的測量意義。如[23]可以表示數(shù)軸上的0到1之間的一個點(diǎn)，也可以表示數(shù)字線上2個[13]線段的長度。分?jǐn)?shù)的“線段模型”是對分?jǐn)?shù)的區(qū)域或面積模型及集合模型的進(jìn)一步抽象和深化，但分?jǐn)?shù)的“線段模型”更有利于學(xué)生理解整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的關(guān)系。

總之，教師應(yīng)從多個角度理解分?jǐn)?shù)的概念，真正理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，在教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用分?jǐn)?shù)概念模型，建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，提高學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的理解，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及數(shù)學(xué)思維的終極目標(biāo)。

（責(zé)編 金 鈴）