例談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

金東明

摘 要?構(gòu)造法解題是一種富有創(chuàng)造性的思維方法，它相當(dāng)好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中、發(fā)現(xiàn)、類比、聯(lián)想轉(zhuǎn)化的思想。

關(guān)鍵詞?類比;聯(lián)想;送向;轉(zhuǎn)化;構(gòu)造

中圖分類號：O421+.4，O629.11+3，H122 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）01-！！PageNum！！-01

用構(gòu)造法來解數(shù)學(xué)問題，其方法獨(dú)特，妙趣橫生。本文為大家介紹幾種常見的構(gòu)造方法。

一、類比構(gòu)造：由于問題中研究對象有著形式上，本質(zhì)上的相同或相似，啟發(fā)我們構(gòu)造類似的數(shù)學(xué)形式，運(yùn)用新數(shù)學(xué)形式的豐富內(nèi)涵達(dá)到解決問題的目的。

例1：設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足關(guān)系式

②

②

分析：①式右邊的式子與②左邊的形式完全相同，由此啟發(fā)我們構(gòu)造更一般的數(shù)學(xué)形式。

解：設(shè)函數(shù)，;均有且

在R上是遞增的奇函數(shù);由條件知;即，則

二、聯(lián)想構(gòu)造：聯(lián)想是由一事物及另一事物的思維方式的過程，這種聯(lián)想通常是事物的形式，結(jié)構(gòu)、范圍、關(guān)系等因素作用的結(jié)果，由聯(lián)想而引發(fā)生的構(gòu)造稱之為聯(lián)想構(gòu)造。

例2：證明，其中

分析：已知條件及聯(lián)想到向量的模及數(shù)量積的有關(guān)公式;故構(gòu)造向量，利用向量數(shù)量積和模的有關(guān)定義解題

證明：設(shè)，，與的夾角為，

，，所以

即：

三、逆向構(gòu)造：逆向構(gòu)造是指按逆向思維方式，向原有數(shù)學(xué)形式的方向去探求，通過構(gòu)造與結(jié)論有關(guān)的數(shù)學(xué)式子來解決問題。

例3若函數(shù)滿足，則當(dāng)a>0時(shí)，與之間大小關(guān)系為

A.;B.;C.?;D.與a有關(guān)，

B.分析：從條件看，本題似無從下手，此時(shí)可按逆用思維，從選支入手要比較的大小，只需比較與的大小，構(gòu)造函數(shù)，只需比較與的大小，而a>0，則只需考慮的單調(diào)性，問題迎刃而解。

解：令，則

＼F（x）在R上單調(diào)遞增，a>0＼F（a）>F（0）即;故選B

四、歸納構(gòu)造：對于與n有關(guān)的問題，不容易直接構(gòu)造出，我們可以具體的特殊f?（1），f?（2），f?（3）的進(jìn)而推廣到一般的f?（n）.

例4平面內(nèi)有n個(gè)兩兩相交的圓，并且任三個(gè)圓不經(jīng)過同一點(diǎn)，試問這n個(gè)圓把平面分成多少個(gè)區(qū)域？分析直接求n個(gè)圓把平面分成多少個(gè)區(qū)域比較難，故通過特殊情況歸納一般情況。

解：當(dāng)n=1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成2個(gè)部分，即f?（1）=2，當(dāng)n=2時(shí)，第二個(gè)圓被第一圓分成的段弧，每段弧將第一個(gè)圓的每個(gè)區(qū)域分為兩個(gè)區(qū)域，即f（2）=f（1）+2，設(shè)n-1個(gè)圓將平面分成f（n-1）個(gè)部分，則再增加一個(gè)圓，這第n個(gè)圓與原來的n-1個(gè)圓中的每一個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，一共有2（n-1）個(gè)交點(diǎn)，把第n個(gè)圓分為2（n-1）段弧，而每段弧將原來的一個(gè)區(qū)域分為兩個(gè)區(qū)域，一共增加了2（n-1）個(gè)區(qū)域，即f?（n）= f?（n-1）+2（n-1），f?（2）=f?（1）+2×1，f?（3）=f?（2）+2×2，f?（4）= f?（3）+2×3，…f?（n）=f?（n-1）+2（n-1）， 將以上各式相加得

f?（n）=f（1）+2[1+2+…（n-1）]=n²-n+2

因?yàn)闃?gòu)造法常常需要由此及彼的聯(lián)想能力，有縱橫馳騁的貫徹能力，有改頭換面的創(chuàng)造能力，所以平時(shí)訓(xùn)練時(shí)要將獲得的構(gòu)造能力不斷“內(nèi)化”到自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使構(gòu)造成為一種“本能”就能將例題建立在較高水平上。