靈活運用幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

蔣文亭

摘 要《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中要初步形成幾何直觀，強調(diào)了幾何直觀在學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、解決問題過程中的地位和作用。具體說來，幾何直觀是學(xué)生通過幾何學(xué)習(xí)，在掌握幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征、空間關(guān)系以及度量的基礎(chǔ)上，學(xué)會建立和操作平面或空間內(nèi)物體的心智表征，形成準(zhǔn)確感知和洞察客觀世界的能力;能從空間形式和關(guān)系的角度對現(xiàn)實問題進行抽象和推理論證的能力。

關(guān)鍵詞?幾何直觀;小學(xué)數(shù)學(xué);思維能力

中圖分類號：G622 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）04-0202-02

正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！边@也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。那對于小學(xué)教學(xué)來說，幾何直觀的運用能給學(xué)生思維的發(fā)展起到什么作用呢？我們一起來看。

一、幾何直觀的深入理解

幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。小學(xué)生的思維水平只處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機地結(jié)合起來，抽象思維同形象思維結(jié)合起來，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數(shù)學(xué)理解上的難點。

徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。比如，代數(shù)里的列方程解決行程問題，在思考的時候，經(jīng)常畫出一個示意圖，一條線代表一段路程，什么時間走到哪兒，另外一個人從另一個方向什么時間走到哪兒。這個示意圖就是一個直觀的模型，它幫助我們思考。比如，要說明三角形內(nèi)角和是180°，你會任意畫一個三角形，聯(lián)系平角是180°的直觀印象，想辦法怎么把這3個角適當(dāng)?shù)匕岚峒易兂梢粋€平角，這一思維的過程中也利用了直觀。需要強調(diào)的是，幾何直觀是指利用圖形來闡釋數(shù)學(xué)對象的含義，不能簡單地把所有的直觀手段都看作幾何直觀。

二、幾何直觀的價值追求

（一）以圖導(dǎo)入—理解數(shù)學(xué)概念

人們在認(rèn)識和理解抽象數(shù)學(xué)概念的過程中往往要使用視覺形象來表征數(shù)學(xué)問題，以便更加直觀、清晰地了解知識的實質(zhì)和關(guān)鍵，達到理解和接受抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生受到知識經(jīng)驗和思維水平的影響和限制，經(jīng)常會遇到一些很難用語言解釋清楚的概念或性質(zhì)，這時，圖形直觀往往會成為非常有效的表達工具。小學(xué)數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)知識都可以利用幾何圖形來幫助理解。例如，五年級下冊的《分?jǐn)?shù)的意義》教材呈現(xiàn)了四幅圖要求用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解分?jǐn)?shù)的意義。

（二）以圖求解—分析數(shù)學(xué)問題

幾何直觀是創(chuàng)造性思維能力的體現(xiàn)，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中起到不可磨滅的作用。很多數(shù)學(xué)問題的解決，其靈感往往來源于幾何直觀，人們總是力求把要研究的問題盡量變成可用幾何直觀呈現(xiàn)的問題，借助具體可感的幾何形象來加強學(xué)生對信息及其關(guān)系的理解，幫助他們從整體上把握問題，提示問題的轉(zhuǎn)化方法，從而獲得真正的解題思路。正如波利亞所說，圖形不僅是幾何題目的對象，而且對于幾何一開始沒什么關(guān)系的題目，圖形也是一種重要的幫手。從某種意義上說，幾何直觀對啟迪學(xué)生解題策略的作用時顯而易見的。解題過程中，個體借助示意圖或線段圖來表征數(shù)學(xué)問題情景的成分和結(jié)構(gòu)，達到對數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的理解，并進而為解題者提供一些未經(jīng)解釋或只要通過形式轉(zhuǎn)換就可以被察覺和使用的信息，以約束認(rèn)知活動的范圍，促進問題的解決。例如，下圖是純文字?jǐn)⑹龅膯栴}的幾何直觀表征，學(xué)生借助圖形很容易發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，充分體會到畫示意圖分析數(shù)學(xué)問題對探尋解題思路的重要作用。

（三）以圖促思—探索數(shù)學(xué)規(guī)律

抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，為學(xué)生創(chuàng)造了一個主動思考的機會。學(xué)生能夠從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。例如，蘇教版教材安排一道思考題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和。

在探索這一數(shù)學(xué)規(guī)律時，我們可以先出示正方形和長方形，讓學(xué)生計算長方形和正方形的內(nèi)角和，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和是360°。繼而，可以提問：那么一般的四邊形的內(nèi)角和是多少度呢？有規(guī)律嗎？學(xué)生猜測可能也是360°，并說可以畫一個任意四邊形，想辦法算一算。結(jié)果有的學(xué)生量了四個內(nèi)角相加后發(fā)現(xiàn)是360°，有的把這個任意四邊形的對角線相連，剛好把它分成了兩個三角形，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。從這一案例的教學(xué)中可以看出，長方形和正方形圖為學(xué)生計算四邊形內(nèi)角和提供了預(yù)測的基礎(chǔ)，而將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形計算內(nèi)角和則是幾何直觀在解決問題的過程中的運用。

三、幾何直觀的教學(xué)策略

（一）重視數(shù)與形的有機結(jié)合

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的基本對象。華羅庚先生說：“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀?！苯柚蔚闹R研究數(shù)的問題，可以使問題變得更加直觀，也容易發(fā)現(xiàn)不同的解決問題的方法。例如，蘇教版六年級下冊“轉(zhuǎn)化的策略”中安排的一道計算題。實際教學(xué)時，可以分兩個層次展開，培養(yǎng)幾何直觀能力。第一層次：指導(dǎo)看圖，學(xué)會轉(zhuǎn)化。呈現(xiàn)算式后，教師可以給學(xué)生一些思考的時間和空間，學(xué)生一般會應(yīng)用通分的方法，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)進行計算。這時，教師可以鼓勵學(xué)生思考其他的方法，當(dāng)學(xué)生思維受阻時，出示直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生把各個分?jǐn)?shù)在直觀圖中表示出來，讓學(xué)生在畫示意圖的過程中，體悟計算的簡便方法。第二層次：讓學(xué)生繼續(xù)在圖上分下去，寫出算式并進行計算。

（二）重視文字與圖形的合理互譯

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有一些以文字形式呈現(xiàn)的問題可以翻譯成符號語言或者圖形語言，以幫助學(xué)生更好地理解問題，探索解決問題的思路。例如，教學(xué)“倒推的策略”，讓學(xué)生解決下面的問題：王大媽有一些雞蛋，第一天賣出全部雞蛋的一半多2個，還剩16個雞蛋，王大媽原來有多少個雞蛋？很多學(xué)生往往會這樣解決：（16–2）×2。可以啟發(fā)學(xué)生畫出示意圖。在畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將題目中的數(shù)量關(guān)系與直觀圖形的意義對應(yīng)起來，找到正確的解題思路，初步體會示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的含義，再一次借助圖形直觀闡釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。學(xué)生在這一過程中也能體會幾何直觀的價值。經(jīng)常性地利用圖形描述文字信息，利用直觀表征抽象的數(shù)學(xué)概念，有助于學(xué)生積累更豐富的幾何直觀的經(jīng)驗。

四、結(jié)束語

幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。每一個學(xué)段的學(xué)生有每一個學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教師的教學(xué)方法要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。幾何直觀教學(xué)方法就適應(yīng)小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。“刪繁就簡三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花”，要讓簡約的幾何直觀真正充滿張力，成為師生生命成長的棲息地，要讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從幾何直觀中的簡約中，真正走向更為深刻的思維價值的豐富，還需要我們在今后的教學(xué)實踐中不斷地思考和探索。

參考文獻：

[1]孫瑞清.數(shù)學(xué)教育實驗與教育評價概論[M].北京師范大學(xué)出版社，1988.