數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的，文章對數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了闡述。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;應(yīng)用

數(shù)學(xué)是整個初中教育教學(xué)中的重要內(nèi)容，因此，初中數(shù)學(xué)教師必須在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，才能得到良好的教學(xué)效果。本文主要就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進(jìn)行了探究，旨在與同行進(jìn)行業(yè)務(wù)之間的交流，以不斷提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。利用數(shù)形結(jié)合的思想開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅有助于解題成效的提升，還能提高學(xué)生的動手實踐能力，因而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。

一、利用數(shù)形結(jié)合思想達(dá)到一題多解的目的

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多時候問題的處理方法較多，數(shù)形結(jié)合思想就是其中一種常見的思想，但是為了獲得更好的解題效果，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時，盡可能地做到一題多解，這樣學(xué)生就能更好地在今后的學(xué)習(xí)中做到舉一反三。

二、利用數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面養(yǎng)成

新課改背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)要求注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要教師在教學(xué)時注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，因為其能將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理，在促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的同時更好地提升其應(yīng)用成效，久而久之，學(xué)生能養(yǎng)成利用數(shù)形結(jié)合思想來處理數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)，在實踐中加強(qiáng)對其的應(yīng)用。

1.以形助數(shù)

一是借助有關(guān)幾何圖形來記憶數(shù)學(xué)公式。如完全平方公式和平方差公式。二是借助數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系把代數(shù)所表達(dá)的幾何意義體現(xiàn)出來，學(xué)生能掌握有關(guān)代數(shù)問題，并將代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行簡化。

2.以數(shù)解形

初中數(shù)學(xué)中的“形”主要是點(diǎn)、面、線、角、三角形和四邊形以及圓，以數(shù)解形是對以形助數(shù)思維的顛覆，把圖形信息部分甚至全部轉(zhuǎn)換成數(shù)的信息，將圖形中的推理部分削弱甚至消除，這樣所解決的問題就能轉(zhuǎn)換成數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容之一。以數(shù)解形主要是借助數(shù)軸和坐標(biāo)系將幾何問題進(jìn)行代數(shù)化的處理，以及借助面積、角度以及距離等幾何量促進(jìn)幾何問題的處理。比如，借助勾股定理來證明直角、借助三角函數(shù)研究角的大小、借助線比例來證明相似等，均屬于以數(shù)解形的目的。例如，直線和拋物線相交的點(diǎn)坐標(biāo)是A、B，直線和X軸相交的點(diǎn)坐標(biāo)是C，其中直線、拋物線分別是bx+c和ax2，需要證明的結(jié)論是： 1/C=1/A+1/B。因為其主要研究的是直線和拋物線的相交問題，但是因為a、b、c不確定，所以直線和拋物線在坐標(biāo)中的位置也就難以確定，此時若將其問題進(jìn)行代數(shù)化，轉(zhuǎn)換為方程問題，就能有效減少分類帶來的麻煩。

3.實踐應(yīng)用

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識是為了更好地在實踐中加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的應(yīng)用。而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，主要是為了更好地利用數(shù)學(xué)知識促進(jìn)實際問題的處理。因為初中生已經(jīng)具有一定的圖形知識，并且能熟練地利用學(xué)習(xí)工具，這樣就為數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用奠定了堅實的基礎(chǔ)。在學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想之后，就需要引導(dǎo)其注重實際問題的處理和優(yōu)化，達(dá)到學(xué)以致用的目的。例如，A車和B車從甲乙兩地出發(fā)，兩車分別行駛20分鐘之后，A車和B車在一座橋上相遇，二者分別距離出發(fā)地9km和8km，隨后A車調(diào)頭趕往甲地，共花15分鐘，而B車則在原地等待10分鐘，要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系上畫出A、B兩車分別與甲乙兩地的距離和時間存在的關(guān)系。這個問題需要教師靈活地借助實際問題來引導(dǎo)學(xué)生思考，并采取數(shù)形結(jié)合的思想處理問題，并結(jié)合題目的內(nèi)容來獲取相關(guān)信息，用未知數(shù)來代表距離和時間，進(jìn)而更好地引導(dǎo)學(xué)生掌握和理解距離和時間的關(guān)系，這樣學(xué)生就能更好更熟練地掌握數(shù)軸的知識，并應(yīng)用在實踐中，促進(jìn)實際問題的處理和優(yōu)化。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.數(shù)形結(jié)合在解答函數(shù)方程中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，函數(shù)方程是重點(diǎn)章節(jié)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)與掌握的難點(diǎn)之處。學(xué)生在對一二次以及正反比例函數(shù)進(jìn)行解答的時候，往往是從數(shù)學(xué)語言的內(nèi)容來進(jìn)行解答，這樣就會讓“數(shù)”給束縛住，不能夠把問題有效解答出來。而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)方程既能正確掌握“數(shù)”的內(nèi)容，又能利用圖形信息，把問題所給的條件讀出來，可以起到事半功倍的效果。例如，拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對稱軸是直線x=2，且經(jīng)過 點(diǎn)P（3，0），試判斷a-b+c的符號。

此題如果直接求a，b，c的話，根據(jù)已有的條件，a，b，c三個值是無法一一求出的，只能用一個字母表示出其他兩個字母，然后代入可以將a-b+c求出。如果能從函數(shù)圖像著手，以形助數(shù)的話，就很簡單了。根據(jù)拋物線的對稱軸和經(jīng)過P點(diǎn)，畫出圖形，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c。很容易判斷a-b+c是大于0的。

2.形中覓數(shù)在解決平面幾何中的應(yīng)用

學(xué)生在解答平面幾何圖形問題的時候，通常會遇到對圖形進(jìn)行分析與觀察問題的題型。比如，在解答平行四邊形或者菱形和直線位置關(guān)系的問題時，都要從圖形的直觀性出發(fā)，盡量把數(shù)學(xué)語言直觀化和具體化。

3.結(jié)合數(shù)形關(guān)系在數(shù)軸中的應(yīng)用

在教材《有理數(shù)》中，用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學(xué)生較好地理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念。在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的作用是非常重要的，學(xué)生在解題的時候如果遇到數(shù)量問題就要對它的幾何意義進(jìn)行考慮，如果遇到圖形問題就要對它的代數(shù)關(guān)系進(jìn)行考慮。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用實例有很多，通過本文所列舉的實例就可以看出，代數(shù)與幾何盡管在思考問題的方式上不同，但完全可以把兩者的知識進(jìn)行聯(lián)系。因此，在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師要在結(jié)合代數(shù)與幾何基礎(chǔ)知識的前提下，積極引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想對問題進(jìn)行分析與解決，只要廣大教師在教學(xué)中有意識地對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，積極實踐，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會不斷地提高。

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有十分重要的意義。作為新課改背景下的初中數(shù)學(xué)教師，必須緊密結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際，著力提高自身的專業(yè)技術(shù)水平，引導(dǎo)學(xué)生在解題和實際生活中切實加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，在利用其提高解題效率和教學(xué)成效的同時強(qiáng)化學(xué)生的動手實踐能力，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升。

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作者簡介：李俊明，甘肅定西人，中學(xué)一級教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。