局域共振型周期雙層板簡化模型帶隙特性研究*

錢登輝， 史治宇

(1.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院 蘇州，215011) (2.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

引 言

在工程中許多領(lǐng)域，不同類型的板殼被用于外殼結(jié)構(gòu)[1-2]。雙層板結(jié)構(gòu)具有許多單板結(jié)構(gòu)所不具備的性能。外殼結(jié)構(gòu)在振動(dòng)傳播過程中經(jīng)常作為傳播介質(zhì)且不斷向外輻射噪聲。近年來，聲子晶體概念主要研究大多集中在帶隙計(jì)算方法和特性方面。帶隙形成的機(jī)理常見的有Bragg散射機(jī)理[3-6]和局域共振機(jī)理[7-10]。兩種機(jī)理最大區(qū)別在于局域共振帶隙所在頻域數(shù)量級(jí)要比Bragg散射帶隙所在頻域的數(shù)量級(jí)小得多，這就意味著基于局域共振機(jī)理構(gòu)成的聲子晶體可以用來控制更加低頻的振動(dòng)和噪聲。因此，將傳統(tǒng)局域共振性聲子晶體的設(shè)計(jì)思路引入到板殼結(jié)構(gòu)中，將為低頻段的振動(dòng)和噪聲控制起到積極的作用[11-14]。

目前，局域共振性聲子晶體單板結(jié)構(gòu)已經(jīng)獲得了一定的研究。針對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)造的不同，大致分為填充性和貼附型[15]兩類。對(duì)于填充型聲子晶體單板，文獻(xiàn)[16-17]分別構(gòu)造了二元和三元結(jié)構(gòu)，應(yīng)用平面波展開法研究了相應(yīng)特性。Oudich等[18]應(yīng)用有限元法研究了二元和三元貼附型聲子晶體單板的帶隙特性。Xiao等[17]通過在薄板上周期貼附彈簧質(zhì)量塊，構(gòu)造貼附型結(jié)構(gòu)的簡化模型，并研究了其彎曲帶隙特性。Qian等[19]研究了復(fù)合型局域共振聲子晶體單板結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)的傳播特性。

基于單板研究現(xiàn)狀，筆者構(gòu)造了復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)，研究了其帶隙特性。針對(duì)“彈簧-質(zhì)量塊”和“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”兩種簡化模型，通過將傳統(tǒng)平面波展開法延伸到該結(jié)構(gòu)，從是否考慮黏性的角度，分別對(duì)其帶隙形成機(jī)理和調(diào)節(jié)規(guī)律進(jìn)行了研究。

1 模型以及公式化

圖1 結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Models of structures

假設(shè)雙層板簡化模型的上下板厚度均滿足薄板要求，且只考慮質(zhì)量塊繞y軸的扭轉(zhuǎn)而忽略繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，故認(rèn)為上下板完全一致。根據(jù)薄板彎曲理論并參照對(duì)應(yīng)的單板簡化模型[19]，圖1(a)所示的簡化模型的彎曲振動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

其中：W1(r)和W2(r)分別為下板和上板的撓度；WR(R)為質(zhì)量塊沿z向的位移；θR(R)為質(zhì)量塊繞y軸的扭轉(zhuǎn)角度；ρ(r)為板的密度；h(r)為板的厚度；D(r)=E(r)h(r)3/12(1-μ(r)2)為板的彎曲剛度；E(r)為彈性模量；μ(r)為泊松比。

由于板由兩種材料構(gòu)成，硬材料和軟材料的密度、彎曲剛度、彈性模量、泊松比分別用ρ1，D1，E1，μ1和ρ2，D2，E2，μ2表示。對(duì)于共振單元簡化模型，各參數(shù)分別為彈簧剛度kF、質(zhì)量塊質(zhì)量mR、扭簧剛度kM以及質(zhì)量塊轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR。此外，軟材料的半徑為Rs，晶格常數(shù)為a。

令α(r)=ρ(r)h(r)，β(r)=D(r)μ(r)，γ(r)=D(r)(1-μ(r))，則式(1)可簡化為

(4)

由于結(jié)構(gòu)在x和y方向的周期性,α(r)，β(r)，γ(r)和D(r)均可在空間域進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開

由于軟材料是圓柱形的，所以ψ(g)=2fJ1(gRS)/(gRS)。其中：J1為一階第1類Bessel函數(shù)；g為倒格矢G的模。

根據(jù)Bloch定理和結(jié)構(gòu)周期性，位移場W1(r)和W2(r)可表示為

(7)

其中：k=(kx,ky)為不可約布里淵區(qū)邊界上的二維Bloch波矢；G′為倒格矢。

由周期性和Bloch定理得到

(8)

根據(jù)狄拉克函數(shù)的特性，得到

(9)

由式(7)可以得到

(10)

將式(5)～(10)代入式(4)，得到

(11)

若取倒格矢的個(gè)數(shù)為N，則式(11)矩陣化為

(12)

其中

UGij=SAGij+SBGij+SCGij+SDGij+SEGij

(13)

(14)

(15)

CGij=2(k+Gi)x(k+Gi)y×

γ(Gi-Gj)(k+Gj)x(k+Gj)y

(16)

(17)

(18)

FGij=α(Gi-Gj)

(19)

(20)

(21)

(22)

SG=

(23)

式(12)即為關(guān)于ω2的典型廣義特征值問題。對(duì)于每一給定的波矢k，通過求解特征值可得到相應(yīng)的一系列特征頻率。通過所有的不可約Brillouin區(qū)邊界上的波矢，得到該復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)。表1為筆者計(jì)算用到的材料參數(shù)和幾何參數(shù)。

表1 計(jì)算所用到的材料和幾何參數(shù)

Tab.1 Materials′ and geometrical parameters used in calculations

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值E1/GPaμ1ρ1/(kg·m-3)E2/GPaμ2ρ2/(kg·m-3)kF/(N·m-1)77.60.352 7301.18×10-40.4691 3004×105mR/kgkM/(N·m2)JR/(kg·m2)a/mh/mRs/m0.11000.010.10.0024×10-6

2 數(shù)值結(jié)果和分析

2.1 “彈簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型

對(duì)于圖1所示的復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，若雙層板只由一種硬材料構(gòu)成，且共振單元為彈簧振子，扭簧忽略不計(jì)，則該模型可以簡化為“彈簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型。

式(6)可以簡化為

(24)

將式(24)代入式(14)～(19)，可以簡化為

將式(25)～(30)代入式(13)，則

(31)

由于共振單元只為彈簧振子，則與扭簧相關(guān)的項(xiàng)應(yīng)消除掉。于是，式(12)可化為

(32)

圖2為“彈簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的能帶結(jié)構(gòu)圖。這里，平面波數(shù)取N=(5×2+1)2個(gè)?？梢钥闯觯軒ЫY(jié)構(gòu)在低頻段(330～382 Hz)打開了一條完整的帶隙。對(duì)于該雙層板模型的帶隙特性研究，文獻(xiàn)[20]已經(jīng)進(jìn)行了詳細(xì)研究。不同的是，該文獻(xiàn)應(yīng)用的是有限元法，但兩種方法在處理該結(jié)構(gòu)時(shí)均具有很高的精度，誤差極小。總的來講，通過研究分析表明，雙層板結(jié)構(gòu)具備的低頻帶隙性能優(yōu)于單板結(jié)構(gòu)。

為了描述方便，能帶用符號(hào)G*表示，能帶上的臨界頻率用符號(hào)F*表示。

圖2 “彈簧-質(zhì)量塊”雙層板簡化模型能帶結(jié)構(gòu)Fig.2 Band structure of “spring-mass” simplified model of double panel structure

2.2 “彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型

當(dāng)考慮扭簧的作用時(shí)，采用式(12)對(duì)該簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。由于板只由一種材料構(gòu)成，所以方程里矩陣UG中的元素仍由式(31)求取。

圖3 “彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”雙層板簡化模型能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Band structure of “spring-torsional spring-mass” simplified model of double panel structure

圖3為“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)。其中，平面波數(shù)取為N=(10×2+1)2個(gè)。將該能帶結(jié)構(gòu)與圖2所示的同參數(shù)下不考慮扭簧作用的“彈簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，扭簧對(duì)圖2中標(biāo)示的能帶G1，G2,1，G2,2，G4,1和G4,2均有影響，但對(duì)Bragg散射能帶G3并無影響。另外，扭簧的添加使能帶G1向下偏移，同時(shí)使得G2,1，G2,2，G4,1和G4,2向上偏移。因此，扭簧的增加不僅使帶隙寬度增大，并且使帶隙起始頻率降低。

圖4為扭簧剛度kM對(duì)帶隙臨界頻率F1，F(xiàn)2,2，F(xiàn)3和帶隙寬度Fw的影響關(guān)系。除了kM以外，計(jì)算用到的參數(shù)如表1所示，且kM的變化范圍為0～200 N·m2。通過添加附加彈簧的方式可以使G2,1輕易移動(dòng)到G2,2上方[20]，所以這里不考慮kM對(duì)F2,1的影響。可以看出，隨著kM的增大，F(xiàn)1減小，F(xiàn)2,2增大，F(xiàn)3保持不變。由于F2,2所在關(guān)系曲線一直在F3上方，所以Fw由起始頻率F1和終止頻率帶隙F3決定，且一直在增大。因此，對(duì)于“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，增加扭簧剛度可以對(duì)加寬帶隙寬度和降低帶隙起始頻率同時(shí)起到積極作用。

圖4 帶隙臨界頻率及帶隙寬度與扭簧剛度之間的關(guān)系Fig.4 The influences of torsional spring stiffness on critical frequencies and bandgap width

為了研究質(zhì)量塊轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR對(duì)“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型帶隙的影響關(guān)系，計(jì)算了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JR=0.1 kg·m2時(shí)該簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，如圖5所示。

計(jì)算用到的參數(shù)與圖2對(duì)應(yīng)的算例一致。對(duì)比圖5和圖2可以發(fā)現(xiàn)，能帶結(jié)構(gòu)是完全一致的，這說明對(duì)于“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR對(duì)其彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)沒有任何影響。

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變時(shí)“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”雙層板簡化模型能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Band structure of “spring-torsional spring-mass” simplified model of double panel structure with rotational inertia changes

此外，通過與相應(yīng)單板簡化模型進(jìn)行對(duì)比[19]，扭簧的添加對(duì)單板和雙層板的影響規(guī)律完全一致。

2.3 復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型

當(dāng)“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙板簡化模型的上下板由周期挖孔并填充軟材料的復(fù)合板代替時(shí)，該簡化模型則變?yōu)椤皬椈?扭簧-質(zhì)量塊”復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，如圖1所示。此時(shí)，在計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，式(12)中的UG由式(14)～(18)求取。筆者從是否考慮復(fù)合板中軟材料黏性這兩個(gè)角度研究其帶隙特性。為了計(jì)算的進(jìn)度，筆者在計(jì)算該簡化模型能帶結(jié)構(gòu)時(shí)均采用改進(jìn)的平面波展開法[21]。

當(dāng)不考慮復(fù)合板中的軟材料黏性時(shí)，計(jì)算所得的“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”復(fù)合局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)如圖6所示。在這里，由于復(fù)合板中存在兩種材料，因此平面波數(shù)取N=(10×2+1)2個(gè)來增加計(jì)算精度。對(duì)比圖2，3和圖6可以發(fā)現(xiàn)， 復(fù)合板中的軟材料與扭簧的作用類似，都使得能帶G1向下偏移，并同時(shí)使得G2,1，G2,2，G4,1和G4,2向上移動(dòng)。因此，復(fù)合板中軟材料的添加同樣對(duì)帶隙寬度增大并且?guī)镀鹗碱l率降低起到促進(jìn)作用。

圖6 不考慮軟材料黏性下復(fù)合型雙層板簡化模型能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Band structure of simplified model of composite double panel structure with the viscidity of soft material not considered

圖7為復(fù)合板軟材料半徑Rs對(duì)帶隙臨界頻率F1，F(xiàn)2,2，F(xiàn)3和帶隙寬度Fw的影響關(guān)系。除了Rs，計(jì)算用到的參數(shù)如表1所示，Rs的變化范圍為1×10-6～5×10-6m。由于F2,1可以通過添加附加彈簧的方式增大到F2,2上方，因此無需考慮對(duì)F2,1的影響?？梢钥闯觯S著Rs的增大，F(xiàn)1減小而F2,2增大，且F3保持不變。F2,2所在曲線一直在F3上方，帶隙寬度Fw由起始頻率F1和終止頻率F3決定，且一直保持增長。因此，對(duì)于該復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，通過引入和調(diào)節(jié)復(fù)合板軟材料的半徑，不僅可以使所得能帶結(jié)構(gòu)的帶隙寬度變寬，還能同時(shí)降低帶隙的起始頻率。

圖7 帶隙臨界頻率及帶隙寬度與復(fù)合板軟材料半徑之間的關(guān)系Fig.7 The influences of soft material radius in composite plates on critical frequencies and bandgap width

當(dāng)考慮復(fù)合板軟材料的黏性作用時(shí)，在頻域內(nèi)，軟材料的各模量與頻率相關(guān)。式(12)的特征值問題需要通過迭代過程求解[19]。

圖8 初始-終止值比對(duì)帶隙的影響Fig.8 Influences of initial-final value ratio on band gap

圖8(a)為軟材料松弛時(shí)間為τ=3×10-5s，初始-終止值比α分別取1.5，2.0和2.5時(shí)的“彈簧-扭簧-質(zhì)量塊”復(fù)合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)圖。其中，平面波數(shù)取N=(10×2+1)2個(gè)?？梢钥闯?，α對(duì)能帶G1，G2,1，G2,2，G4,1和G4,2均有影響。為了進(jìn)一步說明該影響規(guī)律，作出了帶隙臨界頻率F1，F(xiàn)2,2，F(xiàn)3和帶隙寬度Fw隨α的變化曲線，如圖8(b)所示?？梢?，隨著α的增大，起始頻率F1減小，F(xiàn)2,2增大，而F3保持不變。由于F2,2所在曲線一直在F3上方，因此帶隙寬度由F1和F3決定，且一直增大。由此可見，通過增大黏彈性軟材料的初始-終止值比，對(duì)增大該聲子晶體雙層板簡化模型的帶隙寬度和降低其起始頻率具有積極作用。

圖9(a)為軟材料初始-終止值比為α=2.0，松弛時(shí)間τ分別取3×10-5s，1×10-4s，3×10-4s時(shí)的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)圖。其中，平面波數(shù)取N=(10×2+1)2個(gè)。可以看出，τ對(duì)能帶結(jié)構(gòu)有一定的影響，但影響不大。帶隙臨界頻率F1，F(xiàn)2,2，F(xiàn)3和帶隙寬度Fw隨τ的變化曲線圖如圖9(b)所示?？梢钥闯?，隨著τ的增大，起始頻率F1增大而F2,2減小，且F3保持不變。由于F2,2的變化曲線一直在在F3的上方，所以帶隙寬度Fw由起始頻率F1和終止頻率F3決定，且隨著τ的增大而減小。總的來說，對(duì)于該聲子晶體結(jié)構(gòu)，τ對(duì)各臨界頻率的影響范圍遠(yuǎn)不及α。但是，通過減小黏彈性軟材料的松弛時(shí)間對(duì)增大該聲子晶體簡化模型的帶隙寬度和降低其起始頻率還是具有一定的促進(jìn)作用。

圖9 松弛時(shí)間對(duì)帶隙的影響Fig.9 Influences of relax time on band gap

3 結(jié) 論

1) 在低頻段，能帶結(jié)構(gòu)可以打開一條完整的帶隙。扭簧對(duì)帶隙有明顯的影響,通過增加扭簧剛度不僅可以增大帶隙寬度，更能降低帶隙的起始頻率,但改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)沒有任何影響。

2) 軟材料的添加對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響與扭簧的影響相似，通過增大軟材料的半徑，不僅使能帶結(jié)構(gòu)帶隙變寬，還能降低帶隙的起始頻率。當(dāng)考慮軟材料黏性作用時(shí)，通過增大黏彈性軟材料的初始-終止值比或者減小松弛時(shí)間，可以增大該雙層板簡化模型能帶結(jié)構(gòu)的帶隙寬度及降低其起始頻率。