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    DIRECT優(yōu)化算法計算機仿真研究1

    2019-08-22 03:37:06安華萍李文靜
    惠州學院學報 2019年3期
    關(guān)鍵詞:立方體中心點定義域

    安華萍,李文靜

    (1.河源職業(yè)技術(shù)學院 電子與信息工程學院,廣東 河源 517000;2.許昌學院 機電工程學院,河南 許昌 461000)

    細分矩形方法(DIviding RECTangles,DIRECT)作為一種全局優(yōu)化算法,由Donald R.Jones在1993年提出,它可以收斂并搜索到全局最佳點[1].DIRECT算法將定義域當作一個維超矩形,并對其進行不斷細分,然后根據(jù)每次迭代采樣點函數(shù)估值和細分情況決定搜索區(qū)域,直至搜索到全局最優(yōu)解,因此非常適合于黑箱函數(shù)的優(yōu)化仿真.

    然而,DIRECT算法需在定義域內(nèi)多次采樣才能保證搜索到全局最優(yōu)解,其函數(shù)估值次數(shù)要比其它方法大的多,因此仿真過程需要消耗昂貴的計算機資源.如果能利用搜索過程中產(chǎn)生的采樣點來構(gòu)建精確的代理模型以替代復(fù)雜的源模型進行優(yōu)化,那么就能大大減少源模型的迭代仿真次數(shù),縮短優(yōu)化時間,提高算法收斂速度,從而節(jié)省寶貴的計算機資源.基于此,本文提出一種新的DIRECT算法,通過對優(yōu)化迭代過程中產(chǎn)生采樣點的數(shù)據(jù)分析,構(gòu)建比較精確的元模型,從而達到提高收斂速度的目的.

    1 DIRECT算法

    DIRECT方法是針對Lipschitz算法的不足而提出的,Lipschitz算法由于在搜索時必須取較大的常數(shù)而導(dǎo)致收斂速度緩慢.對于一個定義域為區(qū)間的函數(shù)(見圖1),若搜索函數(shù)全局最小值,Lipschitz方法是假設(shè)存在一Lipschitz常數(shù)(此假設(shè)適用任意端點可估值閉區(qū)間),滿足式:

    圖1 計算Lipschitz下限值示意圖

    式(3)作為Lipschitz算法的核心要素,其算法步驟首先從函數(shù)端點和搜索,然后估算x1=X( a, b, f, K)函數(shù)值,因此將設(shè)計空間分為,然后選擇擁有最小值的區(qū)間進行下一步搜索,估算值,此時將設(shè)計空間分為三個區(qū)間,依次類推,每次迭代過程中的采樣點均在分段近似函數(shù)最小值位置,因而可以不斷逼近函數(shù),直至滿足終止標準.這種算法的缺陷在于:(1)Lipschitz算法強調(diào)全局搜索,從而導(dǎo)致收斂速度緩慢;(2)在初始化過程中對函數(shù)端點和估算,尤其是擴展到維時需估算搜索空間的個頂點,因而進行優(yōu)化過程中算法較復(fù)雜.

    為了克服Lipschitz算法缺點,文獻[1]通過改進設(shè)計空間的分割方法提出DIRECT算法.它著重強調(diào)對中心點而不是搜索空間的個頂點進行函數(shù)估值,用中心點區(qū)間,令式(1)中參數(shù)值為,則應(yīng)滿足式:

    可以看出,其值只與區(qū)間中心點函數(shù)值有關(guān).DIRECT算法則把迭代過程采樣方式變?yōu)橹行狞c采樣,并對所有潛在優(yōu)化區(qū)域進行采樣,其算法步驟為:

    對于多變量優(yōu)化問題,則需要把一維DIRECT算法擴展至多維,這樣搜索空間則轉(zhuǎn)化為維超立方體單元,在搜索過程中,搜索空間被細分為更小的超立方體單元,因此,擴展過程中需要解決的關(guān)鍵問題:(1)如何細分這些超立方體.文獻[2]指出可以任意選擇一維將超立方體均分,其采樣方式為圍繞中心點上下左右進行,空心點為新的采樣點;(2)如何使每個子超立方體單元均能在中心被采樣,其詳細步驟見文獻[3].DIRECT算法首先在同一維度上識別潛在最佳域.文獻[4]指出將一超立方體細分為個超立方體單元,設(shè) 為第個單元中心點,為中心點與頂點之間距離,若有得超立方體滿足

    則稱其為潛在最佳超立方體.

    多維DIRECT具體算法步驟為

    ③按文獻[2]所述方法細分超立方體,從超立方體處采樣并對超立方體進行更小的子超立方體細分.更新為新采樣點個數(shù);

    但是,在設(shè)計域內(nèi)DIRECT算法需要多次采樣,才能保證搜索到全局最佳點,特別是優(yōu)化后期,采樣點會越來越多,而且這些點為無效點,這樣造成收斂速度愈加緩慢.況且在實際優(yōu)化中,目標模型一般較復(fù)雜,這樣優(yōu)化算法往往很難被接受.

    實際上,在最佳點域內(nèi),DIRECT算法假設(shè)目標函數(shù)是連續(xù)的,所以,可以利用最佳點域內(nèi)的采樣點來構(gòu)造精確的近似模型,這樣,即可加快算法收斂速度.元模型作為代理模型(Surrogate),利用最小二乘回歸技術(shù)來實現(xiàn)二階多項式模型的擬合,可以通過實驗產(chǎn)生的采樣點來構(gòu)造與源模型相近的數(shù)學模型代替源模型進行仿真優(yōu)化分析,因而能節(jié)約計算資源,降低計算量.

    2 基于元模型的DIRECT算法

    2.1 識別最優(yōu)域

    直接使用DIRECT算法產(chǎn)生的樣本點構(gòu)造元模型顯然是不合適的,因為設(shè)計域內(nèi)大量采樣點會導(dǎo)致元模型徑向基函數(shù)系數(shù)矩陣過于龐大.另外,采樣點分布不均也不利于構(gòu)造精確的模型.通過仿真分析可知,采樣點一般聚集在局部最佳點附近.因此,要構(gòu)造理想的元模型,就必須識別出包含當前最佳點的最優(yōu)域.定義超立方體區(qū)域密度

    ①根據(jù)式(9)求整個定義域內(nèi)平均域密度 ,找出函數(shù)值最小的當前采樣點,即為當前最佳點;

    ②求最佳點與非最佳點之間的歐氏距離,對非最佳點集進行排序;從集合當前位置算出點的坐標值,計算其與前一點間的擴展區(qū)域;

    2.2 基于元模型的DIRECT算法

    在DIRECT算法中,利用當前采樣點來構(gòu)造精確的元模型,從而加快收斂速度,其具體步驟為

    ①按照原DIRECT算法進行采樣;

    ②按式(8)識別潛在最佳超立方體,其中心點即為采樣點,對該中心點進行函數(shù)估值;

    ③按2.1識別最優(yōu)域;

    ④收集最優(yōu)域內(nèi)采樣點,構(gòu)建元模型;

    ⑤利用相關(guān)函數(shù)搜索最佳點,并進行函數(shù)估值,若該值小于所有采樣點的函數(shù)值,則該值為當前最優(yōu)值;

    ⑥判斷是否收斂,若不滿足轉(zhuǎn)向步(2),否則退出循環(huán).收斂條件為:當前最優(yōu)值與預(yù)設(shè)值的絕對或相對誤差小于(為設(shè)定極小值),或三次迭代最優(yōu)值之差小于,或超出預(yù)設(shè)估算值次數(shù).其流程圖見圖2.

    圖2 基于元模型的DIRECT算法

    3 數(shù)值分析

    3.1 布蘭(Branin)函數(shù)

    對比結(jié)果見表1,其中,orig表示原DIRECT算法,PRS[5]、RBF[6]、SVR[7]、KRIG[8]、MARS[8]表示基于不同元模型的DIRECT算法.

    表1 布蘭函數(shù)優(yōu)化結(jié)果對比

    3.2 六駝峰(six-hump camel-back)函數(shù)

    改進前DIRECT與改進后的DIRECT迭代優(yōu)化對比結(jié)果見表2所示.其中,orig表示改進前DIRECT算法,PRS、RBF、SVR、KRIG、MARS表示基于不同元模型的改進DIRECT算法.

    表2 六駝峰函數(shù)優(yōu)化結(jié)果對比

    從表1、表2可知,相比標準DIRECT算法,基于元模型的改進DIRECT算法更能快速地搜索至全局最優(yōu)點,尤其是基于RBF元模型的DIRECT算法至少比原DIRECT算法減少三分之二,效果非常明顯,這對于節(jié)約計算機資源,提高仿真優(yōu)化效率具有重要意義.

    4 結(jié)語

    DIRECT算法由于函數(shù)估值次數(shù)多,所以會造成收斂速度緩慢,耗費較多的計算機資源,文章利用采樣點來構(gòu)造元模型,并搜索最佳點,從而加快該算法的收斂速度.通過上述函數(shù)及工程實例分析測試,表明該算法科學合理,效果良好,可以說,這是一種值得考慮并具有很大研究前景的方法,對于優(yōu)化設(shè)計具有很重要的研究價值.

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