Voigt線型寬度的經(jīng)驗公式及其應用

尹增謙，袁春琪，王永杰

(華北電力大學 數(shù)理系，河北 保定 071003)

1 引言

由于光譜線型中包含有發(fā)光粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、粒子間相互作用、周圍環(huán)境等信息，光譜線型的研究在化學反應動力學、氣象學、宇宙學等研究領域有很重要的理論意義和應用價值[1-9]。在低氣壓情況下，譜線的展寬是多普勒展寬占主導地位，而在壓強很高的情況下，發(fā)光粒子與其他粒子頻繁碰撞產(chǎn)生的碰撞展寬占優(yōu)勢。在實際發(fā)光系統(tǒng)中，兩種展寬機制都是存在的，光譜線型為綜合展寬線型。此時對應的線型函數(shù)是洛侖茲線型和高斯線型函數(shù)的卷積形式，稱為Voigt線型函數(shù)。

自Voigt線型譜線提出以來，對它的研究一直備受重視[2-4]，本工作在分析洛侖茲線型函數(shù)和高斯線型函數(shù)的基礎上，系統(tǒng)研究了Voigt線型函數(shù)，得到了三者譜線半寬度的經(jīng)驗公式。利用這個經(jīng)驗公式，建立了由實驗線型函數(shù)獲得洛侖茲、高斯線型函數(shù)的計算方案。

2 三種展寬線型函數(shù)

2.1 洛侖茲線型函數(shù)

由于自發(fā)輻射和碰撞而導致的均勻展寬線型函數(shù)，稱為洛侖茲線型函數(shù)，其形式為[2]：

(1)

其中，ν0、αL分別為中心頻率和半寬度，顯然洛侖茲線型函數(shù)的最大值為：

(2)

2.2 高斯線型函數(shù)

當發(fā)光粒子有運動速度分布時，由多普勒效應引起的頻移，會導致光譜線型為如下的高斯線型函數(shù)[2]：

(3)

對應的半寬度αG為：

(4)

公式(3)、(4)中ν0為中心頻率，m、T分別為發(fā)光粒子的質(zhì)量和氣體溫度，k、c分別為玻耳茲曼常數(shù)和真空中的光速。顯然高斯線型函數(shù)的最大值為：

(5)

2.3 Voigt線型函數(shù)

對于氣體工作物質(zhì)，上述由碰撞導致的均勻展寬和多普勒效應導致的非均勻展寬是主要的展寬類型，氣體工作物質(zhì)是由這兩種展寬機制綜合作用的，得到綜合展寬線型函數(shù)為如下卷積形式的Voigt線型函數(shù)：

(6)

根據(jù)傅里葉變換的乘積定理，可以得到Voigt線型函數(shù)的最大值為[2]：

(7)

3 Voigt函數(shù)線寬的經(jīng)驗公式

如上所述，實驗獲得的光譜線型函數(shù)，即Voigt線型函數(shù)是由公式(6)決定的，但如何由gV(ν,ν0)得到與其對應的αL、αG這兩個包含有發(fā)光粒子內(nèi)部結(jié)構(gòu)和周圍環(huán)境信息的物理量，是具有重要意義的工作。

由實驗獲得的gV(ν,ν0)，可以得到gV,max和其半寬度αV，如果能得到Voigt線型函數(shù)半寬度αV與對應的αL、αG的關系式αV=f(αL,αG)，則將該關系式與公式(7)聯(lián)立，就構(gòu)造了關于αL、αG的二元方程組，解該方程組即得到αL、αG。

圖1 3種線型函數(shù)圖。(a)洛侖茲線型函數(shù)；(b)高斯線型函數(shù)；(c)Voigt線型函數(shù)。Fig.1 Three line shape function diagrams.(a)Lorentz line shape function.(b)Gaussian line shape function.(c)Voigt line shape function.

由于公式(5)沒有更便于計算的解析形式，所以，可以給定一組αL、αG值，用數(shù)值積分的方法求出公式(6)中的gV(ν,ν0)，從而得到其半寬度αV，如圖1所示。由大量的(αLi,αGi)→αVi數(shù)值，就可建立經(jīng)驗公式αV=f(αL,αG)。

我們進行了大量的數(shù)值計算即得到大量的(αLi、αGi、αVi)值，并假設經(jīng)驗公式為：

(8)

其中b為待定系數(shù)。

為了得到上述經(jīng)驗公式中的b，記

顯然，當S(b)取得最小值時的b即為最佳的系數(shù)。令

(10)

由數(shù)值求解公式(10)，得到b=1.063 8。所以3種線型半寬度之間的經(jīng)驗公式為：

為驗證上述經(jīng)驗公式的可靠性，我們把由公式(6)計算的(αLi、αGi、αVi)與用經(jīng)驗公式(11)計算的αV進行了比較，如圖2所示，圖2中線表示經(jīng)驗公式，點表示公式(6)計算的值，可以看出二者吻合很好。

圖2 經(jīng)驗公式與精確值的比較(線表示經(jīng)驗公式，點表示精確值)Fig.2 Comparison of empirical formulas with exact values (lines represent empirical formulas,points represent exact values)

4 經(jīng)驗公式的應用

光譜線型中包含有發(fā)光粒子物理性質(zhì)的信息如電子密度、氣體溫度等，但是由實驗上獲得的Voigt線型函數(shù)，不能直接得到αL、αG，從而不能直接得到發(fā)光等離子體電子密度氣體溫度等信息。

根據(jù)本工作得到的經(jīng)驗公式(11)和最大值公式(7)，得到如下方程組：

(12)

解該方程組，可以由Voigt線型的最大值Vmax及半高全寬ΔV得到αL、αG。

需要指出的是，在解方程組(12)時，誤差函數(shù)erf(x)可以從參考文獻[10-11]查到x=[0,5]范圍內(nèi)的值，但是，對于x>5.0的erf(x)的值，雖然經(jīng)過大量調(diào)研，但并沒有查到。我們采用由下式替換公式(7)的方法解決[2]：

(13)

圖3 由Voigt線型函數(shù)得到的洛侖茲和高斯線型函數(shù)。(a)Voigt線型函數(shù)；(b)洛侖茲線型函數(shù)；(c)高斯線型函數(shù)。Fig.3 Lorentz and Gaussian line shape functions obtained from Voigt line shape function.(a)Voigt line shape function.(b)Lorentz line shape function.(c)Gaussian line shape function.

為了說明由實驗獲得的光譜線求其對應的αL、αG的計算過程，我們給出一條實驗譜線并對其進行了計算。實驗采用文獻[12]中的實驗裝置，實驗參數(shù)為：取雙銅片電極，電極間距為10 mm，接地極距離管口10 mm，兩銅片寬度均為13 mm，氬氣的流量為1 L/min，電壓9.8 kV，采集的光譜為P點處。采集的是氬等離子體射流的發(fā)射光譜。圖4(a)為氬等離子體射流圖片及光譜采集位置，圖4(b)為采集的光譜。

圖4 (a)氬等離子體射流圖片及光譜采集位置圖;(b)Ar I 696.5 nm的發(fā)射光譜。Fig.4 (a)Argon plasma jet image and spectral acquisition position.(b)Emission spectrum of Ar I 696.5 nm.

(14)

由上述兩種光譜線型函數(shù)的轉(zhuǎn)化關系即公式(14)以及歸一化條件，我們可以把圖4(b)的696.5 nm的氬發(fā)射光譜轉(zhuǎn)化成歸一化的圖5。

圖5 Ar I 696.5 nm的發(fā)射光譜Fig.5 Emission spectrum of Ar I 696.5 nm

由圖5譜線可以得到Voigt線型函數(shù)的Vmax=1.33×10-11Ηz-1、αV=3.48×1010Ηz。解方程組(12)求得αL=1.400×109Ηz，αG=3.402×1010Ηz，該Voigt線型函數(shù)對應的洛侖茲和高斯線型函數(shù)如圖6所示。

圖6 由Voigt線型函數(shù)得到的洛侖茲和高斯線型函數(shù)。(a)洛侖茲線型函數(shù)；(b)高斯線型函數(shù)。Fig.6 Lorentz and Gaussian line shape functions obtained from Voigt line shape function.(a)Lorentz line shape function.(b)Gaussian line shape function.

5 結(jié)論

根據(jù)3種線型函數(shù)關系，采用數(shù)值計算的方法得到了3種線型函數(shù)半寬度之間的經(jīng)驗公式，以線型寬度經(jīng)驗公式為基礎，建立了由實驗獲得的光譜線型寬度得到洛侖茲和高斯寬度的計算方案。以一組線型函數(shù)為例驗證了本計算方案的可靠性。