超幾何分布、二項分布與正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系

郭婧 李強

【摘要】人教A版選修2-3中介紹了超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布，前兩者屬于離散型隨機變量服從的分布，后者屬于連續(xù)型隨機變量服從的分布.實際中的許多問題都可以利用這三個概率模型來解決.區(qū)分前兩者的關(guān)鍵是看屬于“不放回”模型還是“有放回”模型.同時，隨著產(chǎn)品數(shù)量的增加，超幾何分布越來越趨近于二項分布;隨著試驗次數(shù)的增加，二項分布越來越趨近于正態(tài)分布.從而三者在極限方面實現(xiàn)統(tǒng)一.

【關(guān)鍵詞】超幾何分布;二項分布;正態(tài)分布;極限

【基金項目】山東省教育學會科技教育專項課題：基于虛擬現(xiàn)實的高中數(shù)學翻轉(zhuǎn)課堂教學模式研究（課題號18-KJJY-0074）.科技部國家重點研發(fā)計劃：流域水系分級嵌套耦合大規(guī)模水文模擬并行算法設(shè)計（No.2017YFB0203102）.

一、總述

人教A版選修2-3中介紹了超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布，前兩者屬于離散型隨機變量服從的分布，后者屬于連續(xù)型隨機變量服從的分布.在實際教學中發(fā)現(xiàn)學生辨別這些分布是難點，或者即使能辨別卻無法從本質(zhì)上認識它們.本文介紹三種分布的區(qū)別與聯(lián)系，來幫助學生克服此難點.

二、超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系

超幾何分布是“不放回”情境中的古典概型，二項分布是“有放回”情境中的n次獨立重復試驗概型.如教材習題2.2B組第三題：某批n件產(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地抽出3件進行檢驗，問：當n=500， 5 000， 50 000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？設(shè)抽取到的次品數(shù)為X.若以有放回的方式抽取，抽取3次相當于做了3次獨立重復試驗，則X：B（3，2%），故P（X=1）=C13×2%×（1-2%）2≈0.057 624.若以不放回方式抽取，這個問題回歸到古典概型，X服從超幾何分布.n=500時，次品數(shù)是500×2%=10，P（X=1）=C110C2490C3500≈0.057 853.同理可得n=5 000時，P（X=1）=C1100C24900C35000≈0.057 647.n=50 000時，P（X=1）=C11000C249000C350000≈0.057 626.由此可見，隨著產(chǎn)品數(shù)n的增加，超幾何分布的概率是越來越接近于二項分布的概率的.此結(jié)論也可以通過以下表格驗證：

三、二項分布與正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系

二項分布是離散型隨機變量服從的分布，關(guān)注隨機變量取某一個值時的概率;正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量服從的分布，關(guān)注隨機變量在某一范圍的概率，存在于生活中的方方面面，如“長度測量的誤差”“某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量”“在一定條件下生長的小麥的株高、穗長”等等都服從正態(tài)分布.但是貌似毫無關(guān)聯(lián)的二項分布與正態(tài)分布，存在以下聯(lián)系：

四、總結(jié)

超幾何分布、二項分布與正態(tài)分布是三個非常重要的、應用廣泛的概率模型.實際中的許多問題都可以利用這三個概率模型來解決.區(qū)分前兩者的關(guān)鍵是看屬于“不放回”模型還是“有放回”模型.同時，隨著產(chǎn)品數(shù)量的增加，超幾何分布越來越趨近于二項分布;隨著試驗次數(shù)的增加，二項分布越來越趨近于正態(tài)分布.從而三者在極限方面實現(xiàn)統(tǒng)一.

【參考文獻】

[1]李勇.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]丁曼.超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別[J].中國課程輔導，2010（7）：115-116.

[3]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)[M].上海：復旦大學出版社，2005.