解析根的判別式在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

柳漢偉

【摘要】根的判別式是二次函數(shù)的重要知識點(diǎn)，其不僅可以判斷二次函數(shù)根的情況，而且還能用來分析二次函數(shù)的圖像，尤其在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用可高效解答相關(guān)題目.為使學(xué)生深入理解，牢固掌握根的判別式，在競賽中能靈活應(yīng)用，取得理想成績.本文結(jié)合相關(guān)競賽試題，就如何應(yīng)用根的判別式進(jìn)行探討，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);根的判別式;競賽;應(yīng)用

眾所周知，高中數(shù)學(xué)競賽試題具有一定難度，對根的判別式的考查較為靈活，因此，教學(xué)中應(yīng)注重對學(xué)生加以引導(dǎo)，積極聯(lián)系所學(xué)，具體情況具體分析，避免思維定式，爭取迅速找到解題的突破口.

一、在求取值范圍中的應(yīng)用

根據(jù)題干求某一參數(shù)或某一數(shù)學(xué)式的取值范圍是競賽中的常見題型，難度較大.解題需認(rèn)真分析要求解的參數(shù)或數(shù)學(xué)式，進(jìn)行巧妙換元，構(gòu)造一元二次方法.使用根的判別式進(jìn)行求解.為使學(xué)生能夠熟練掌握這一題型的解題思路，感受根的判別式在解題中的妙用，應(yīng)篩選經(jīng)典例題，詳細(xì)板書解題過程，給學(xué)生進(jìn)行良好的示范，使學(xué)生能夠從中獲得啟發(fā)，抓住問題本質(zhì)，做到靈活應(yīng)用.

此題是函數(shù)中中規(guī)中矩的問題，可以從正向利用根的判別式求解參數(shù)，在實際應(yīng)用中，不能夠直接使用Δ≥0，需要討論函數(shù)對稱軸與x=-1的位置關(guān)系，再開展相應(yīng)的分類討論活動.在解題過程中，根據(jù)題目構(gòu)造新的函數(shù)，g（x）=f（x）-k=x2+（2-k）x+3-k，可以得出其對稱軸，則題目可以轉(zhuǎn)化成：當(dāng)x>-1時，g（x）≥0恒成立.之后根據(jù)相應(yīng)的情況開展分類討論，對兩種討論情況進(jìn)行總結(jié)，最終確定k的取值范圍.

二、在求解方程中的應(yīng)用

根的判別式與一元二次方程聯(lián)系緊密.眾所周知，當(dāng)Δ≥0時，可使用求根公式直接求解.但數(shù)學(xué)競賽中涉及的方程問題往往有兩個參數(shù)，給出的關(guān)系式卻只有一個，顯然采用傳統(tǒng)方法無法求解.這就需要根據(jù)所學(xué)找到另外的關(guān)系式.求解時可采用根的判別式求得其中一個參數(shù)，而后將其代入題干，便可解出方程.教學(xué)中為使學(xué)生感受具體解答過程，正確運(yùn)用根的判別式解題，可講解相關(guān)例題.

三、在不等式證明中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)重要的知識點(diǎn)，相關(guān)題目的證明方法較多.但競賽中的不等式證明題目較為新穎，采用傳統(tǒng)方法很難切入，需要學(xué)生聯(lián)系所學(xué)，進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化.其中根的判別式是一種證明方法.很多學(xué)生對該證明方法較為陌生，為使學(xué)生能夠熟練掌握，教學(xué)中結(jié)合具體例題，對學(xué)生進(jìn)行積極引導(dǎo)，提高應(yīng)用根的判別式證明不等式的意識，不斷提高解題能力.

四、在函數(shù)中的有效應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)課堂中，函數(shù)是重要的教學(xué)內(nèi)容，和其他數(shù)學(xué)知識有著密切的聯(lián)系，貫穿整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)，是高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽中的重要考點(diǎn).判別式是一種有效的解題方式，借助判別式完成問題的思考和解答，能降低函數(shù)問題解題難度，有效解決函數(shù)問題，保證學(xué)生解題效果和質(zhì)量.因此，在實際的解題過程中，需要對函數(shù)問題進(jìn)行分析，有效利用判別式解題，有效解答數(shù)學(xué)問題.

因此，在函數(shù)問題中，需要根據(jù)函數(shù)和方程的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)構(gòu)建相應(yīng)的方程，對函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，使得等式成立，結(jié)合其中的隱含條件，判斷出y的取值范圍，利用判別式完成解題，從而有效解答數(shù)學(xué)競賽題目.

五、在數(shù)列中的有效應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)列是重要的教學(xué)內(nèi)容，知識內(nèi)容較為抽象，題目類型和變化比較多，在解題的過程中，需要對數(shù)列題目進(jìn)行分析，采取有效的課堂教學(xué)方式，有效解決數(shù)列問題.在實際的解題中，通過對數(shù)列題目進(jìn)行分析，靈活利用根的判別式，實現(xiàn)等式和不等式的連接，將問題轉(zhuǎn)化成方程或者不等式，準(zhǔn)確把握問題的解題關(guān)鍵.

在此題解答的過程中，公差d是等式和不等式聯(lián)系的重要條件，對d設(shè)而不求，通過d將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1的一元二次不等式，準(zhǔn)確把握問題的解題關(guān)鍵，從而有效解決數(shù)學(xué)問題.

六、在解幾何問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何和解析幾何是重要的數(shù)學(xué)問題，也是學(xué)生解題中的難點(diǎn)，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著一定的要求，在實際解題中有著一定的難度.因此，對于解析幾何問題，需要對問題進(jìn)行分析，結(jié)合題目類型特點(diǎn)，靈活利用根的判別式，明確問題的解題思路，有效解答數(shù)學(xué)競賽題目.

在此種類型問題的解題中，根據(jù)拋物線的對稱性，進(jìn)行假設(shè)構(gòu)建相應(yīng)的方程，利用判別式進(jìn)行求解，引入新的思維方式，提高學(xué)生解題能力和創(chuàng)新能力.

七、結(jié)論

根的判別式是解答高中數(shù)學(xué)問題的重要工具，因此，教學(xué)中既要認(rèn)真講解，又要注重拓展學(xué)生的視野，使其感受根的判別式在競賽試題中的應(yīng)用，不斷提高競賽試題解題技巧.本文通過研究得出以下結(jié)論：一、做好競賽試題中有關(guān)根的判別式題型的匯總，教學(xué)中精講有代表性的試題.二、針對根的判別式在解題中的每一種應(yīng)用，對學(xué)生進(jìn)行專題訓(xùn)練，使學(xué)生在訓(xùn)練中加深印象，積累相關(guān)經(jīng)驗，在遇到類似競賽試題時能夠迅速找到解題方法，實現(xiàn)高效、正確解題.

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