黃明輝,趙國瑞
(廣州城建職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,廣東 廣州 510925)
在迭代微分方程理論和應(yīng)用領(lǐng)域中,解的存在性和唯一性是非常重要的問題.至今研究迭代微分方程有效的方法還是不動點理論[1-5].長期以來,迭代微分方程解的研究也得到了很多重要成果[5-8].
2010年, Berinde和Vasile[9]利用不動點理論研究了形如
一階迭代微分方程解的存在性,其初始條件為 x ( t0) = x0.
2014年,Zhang[10]利用Schauder不動點定理研究了形如
本文考慮利用Krasnoselskii不動點定理如下一類一階迭代微分方程
定理1[11]設(shè)M 是Banach空間的一個有界凸非空子集.假設(shè)映射A、B將M映射到M,若
(ⅰ)對所有x,yM∈,有AxByM+∈,
(ⅱ)A是連續(xù)的和AM包含在M的一個緊子集上,
(ⅲ)B是壓縮映射,
為了應(yīng)用定理1,需要定義Banach空間的一個有界凸非空子集和兩個映射:一個是全連續(xù)和一個是壓縮映射.對于 P , L ≥ 0 ,定義集合
引理1[1]假設(shè)則
引理2假設(shè)10c≠ ,是方程(3)的解當(dāng)且僅當(dāng)
證明方程(3)兩邊同時乘以并從t到t T+ 積分,得
以上每一步都是可逆的.證明完成.
為了給出本文主要結(jié)果,假設(shè)以下條件成立:
定義映射H
由引理2可知映射H的不動點是方程(3)的解,反之亦然.為了利用定理1,設(shè)映射如下
引理3假設(shè)(H1)-(H4)成立,則是全連續(xù).
證明首先證是全連續(xù).顯然,若,故Ax是周期為T的周期函數(shù).接著,證明A是連續(xù)的.設(shè)使得當(dāng)時,.由Dominated Convergence 定理[11]可得,
由Dominated Convergence定理可得,當(dāng).故Ax是等度連續(xù)的.由ArzelaAscoli定理可得,A是全連續(xù)的.
定理2假設(shè)條件(H1)-(H4)成立,且
成立,則方程(3)在 PT( P, L)上至少存在一個周期為T的周期解.
證明若(H1)-(H4)成立,則引理2-4成立.由引理3可得,A是連續(xù)的和AM 包含在M 的一個緊子集上.同樣,由引理4可知,則B是壓縮映射.任意設(shè)x,
定理3除了定理1的假設(shè)之外,假設(shè)
證明設(shè)任意,有