一類一階迭代微分方程周期解的存在性1

黃明輝，趙國瑞

（廣州城建職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 廣州 510925）

在迭代微分方程理論和應(yīng)用領(lǐng)域中，解的存在性和唯一性是非常重要的問題.至今研究迭代微分方程有效的方法還是不動點理論[1-5].長期以來，迭代微分方程解的研究也得到了很多重要成果[5-8].

2010年， Berinde和Vasile[9]利用不動點理論研究了形如

一階迭代微分方程解的存在性，其初始條件為 x ( t0) = x0.

2014年，Zhang[10]利用Schauder不動點定理研究了形如

本文考慮利用Krasnoselskii不動點定理如下一類一階迭代微分方程

1 主要結(jié)論

定理1[11]設(shè)M 是Banach空間的一個有界凸非空子集.假設(shè)映射A、B將M映射到M，若

（ⅰ）對所有x，yM∈，有AxByM+∈，

（ⅱ）A是連續(xù)的和AM包含在M的一個緊子集上，

（ⅲ）B是壓縮映射，

為了應(yīng)用定理1，需要定義Banach空間的一個有界凸非空子集和兩個映射：一個是全連續(xù)和一個是壓縮映射.對于 P , L ≥ 0 ，定義集合

引理1[1]假設(shè)則

引理2假設(shè)10c≠ ，是方程（3）的解當(dāng)且僅當(dāng)

證明方程（3）兩邊同時乘以并從t到t T+ 積分，得

以上每一步都是可逆的.證明完成.

為了給出本文主要結(jié)果，假設(shè)以下條件成立：

定義映射H

由引理2可知映射H的不動點是方程（3）的解，反之亦然.為了利用定理1，設(shè)映射如下

引理3假設(shè)（H1）-（H4）成立，則是全連續(xù).

證明首先證是全連續(xù).顯然，若，故Ax是周期為T的周期函數(shù).接著，證明A是連續(xù)的.設(shè)使得當(dāng)時，.由Dominated Convergence 定理[11]可得，

由Dominated Convergence定理可得，當(dāng).故Ax是等度連續(xù)的.由ArzelaAscoli定理可得，A是全連續(xù)的.

定理2假設(shè)條件（H1）-（H4）成立，且

成立，則方程（3）在 PT( P, L)上至少存在一個周期為T的周期解.

證明若（H1）-（H4）成立，則引理2-4成立.由引理3可得，A是連續(xù)的和AM 包含在M 的一個緊子集上.同樣，由引理4可知，則B是壓縮映射.任意設(shè)x，

定理3除了定理1的假設(shè)之外，假設(shè)

證明設(shè)任意，有

2 實例