關(guān)于Hilbert-Schmidt框架的一些性質(zhì)

李文文，楊守志

（汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東 汕頭515063）

0 引言

1952年，Duffin和Schaeffer[1]為了研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)問題，引入了框架的概念.但在后來幾十年中，并未受到人們的重視，直到1986年，Daubechies，Grossman與Meyer的再次引入，使得框架重新進(jìn)入大眾的視野.在實(shí)際應(yīng)用中，框架作為一個(gè)有用的工具，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如信號(hào)處理、信號(hào)采樣、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號(hào)重構(gòu)等.

隨著對(duì)框架深入的研究，擴(kuò)充原理引起很多研究者的關(guān)注.許多作者圍繞這一方面進(jìn)行研究：1997年，Ron與Shen[2-3]對(duì)任意的一個(gè)小波序列可通過添加一個(gè)元素，把小波Bessel序列擴(kuò)充成為緊小波框架；而后，Casazza與Leonhard[4]提出了在有限維空間中，任意的Bessel序列都可以擴(kuò)充為緊框架；Li與Sun[5]將結(jié)果延伸到了無限維的情況；后來，Christensen，H.O.Kim和R.Y.Kim[6]把Bessel序列擴(kuò)充到更一般的對(duì)偶框架對(duì).

而在框架概念的基礎(chǔ)上，好幾種框架的推廣被提出，如g-框架、融合框架、斜框架、HS-框架等.在文獻(xiàn)[7]中，作者提出了g-框架的定義，把g-框架的概念從有界線性泛函推廣到了算子的形式，并利用g-框架對(duì)幾種框架進(jìn)行了統(tǒng)一，說明了有界的準(zhǔn)投影器[8]、子空間的框架[9]、偽框架[10]、斜框架[11]、外框架[12]和時(shí)間頻率定位算子[13]都是g-框架的特殊情況，也即這幾種框架的某些性質(zhì)仍然適用于g-框架.

在文獻(xiàn)[14]中，作者給出了在Hilbert空間中，兩個(gè)框架相加的情況.后來在文獻(xiàn)[15-16]中，作者把框架的相加的情況推廣到了g-框架.文獻(xiàn)[17]給出了關(guān)于g-框架擾動(dòng)的一些結(jié)果.Ghadir Sadeghi與Aliakbar Arefijamaal[18]通過von Neumann-Schatten p-框架，給出了當(dāng)p=2時(shí)Hilbert-Schmidt框架的概念，簡稱為HS-框架.并且給出了g-框架與HS-框架之間的關(guān)系：設(shè){Λj}j∈J為H中關(guān){Kj}j∈J的g-框架，則{Λj}j∈J是H中關(guān)于的HS-框架，所以g-框架可以看作HS-框架.因此g-框架的一些性質(zhì)適應(yīng)于HS-框架.

下面有一些文中的符號(hào)的表示，H，K為Hilbert空間，{Kj}j∈J為K中的一列閉子空間，{Λj}j∈J為算子序列，Z為整數(shù)集，其中J、I為Z的子集，表示從H到K上的有界線性算子的全體.若H=K，則記為既是Banach空間又為Hilbert空間.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1[1]設(shè)序列{fj}j∈J是可分的Hibert空間H的序列，且存在常數(shù)0＜A≤B＜∞，使得

稱{fj}j∈J為H上的框架.其中A、B分別為框架的下界和上界.若僅有右邊的不等式成立，則稱{fj}j∈J是一個(gè)界為B的Bessel序列.當(dāng)A=B時(shí)，則稱{fj}j∈J為緊框架.若A=B=1，則稱{fj}j∈J為Parseval框架.

設(shè)框架{fj}j∈J是Bessel序列，T為{fj}j∈J的合成算子，對(duì)有

定義T的伴隨算子T*為分析算子，對(duì)有

明顯有，{fj}j∈J是框架當(dāng)且僅當(dāng)分析算子T*是可逆算子.

設(shè){fj}j∈J和{gj}j∈J都為H中的Bessel序列，若

則稱{gj}j∈J為{fj}j∈J的對(duì)偶框架.當(dāng){fj}j∈J={gj}j∈J時(shí)，有

知{fj}j∈J為緊框架，框架界是A=B=1.

下面介紹g-框架的定義.

定義2[7]稱算子列為H中關(guān)于{Kj}j∈J的推廣框架，簡稱為g-框架，若存在0＜A≤B＜∞，使得對(duì)有

其中A和B分別稱為g-框架的上界和下界.若僅有右邊不等式成立，則稱{Λj}j∈J是一個(gè)g-Bessel序列.若A=B，則稱為緊g-框架.若A=B=1，則稱{Λj}j∈J為Parseval g-框架.

關(guān)于g-框架更詳細(xì)的內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[7].根據(jù)文獻(xiàn)[18]，下面給出HS-框架的定義.

定義3[18]稱是從H到的Hilbert-Schmidt框架或簡稱在H中關(guān)于K的HS-框架，如果0＜A≤B＜∞，對(duì)有

其中A和B分別稱為HS-框架的上界和下界.若僅有不等式右邊部分成立，則稱為HS-Bessel序列并且框架界為B.若A=B，則稱為H到K中的緊HS-框架.若A=B=1，則稱其為Parseval HS-框架.

其中框架算子S是有界可逆正定自伴.

引理1[19]序列為HS-Bessel序列且界為當(dāng)且僅當(dāng)合成算子T:⊕C2→H的定義為

2 HS-Bessel序列的擴(kuò)充

證明 令S為HS-Bessel序列的框架算子，則可知BI-S仍為自伴正定算子，設(shè)序列{ei}i∈I為H中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，使用{ei}i∈I來展開有

證明 設(shè)S1、S2分別為的框架算子，令{ai}i∈I與{bi}i∈I為任意的對(duì)偶HS-框架對(duì)，有

3 HS-框架相加

所以，有

證明 根據(jù)定理4，令L=S-1即可.

證明 設(shè)I+L在H中可逆，由定理4有

所以，有I+L在H中可逆.