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    基于核心素養(yǎng)背景下初中幾何最值問(wèn)題的解題方法

    2019-08-14 02:42:24
    數(shù)理化解題研究 2019年20期
    關(guān)鍵詞:輔助線直角最值

    蔣 雁

    (廣東省韶關(guān)市廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 512000)

    一、運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想―將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本的最短路徑模型

    在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)建最值問(wèn)題時(shí),一般會(huì)用到平移變換、抽對(duì)稱變換以及旋轉(zhuǎn)變換.平移變換更多的是通過(guò)平移線段來(lái)構(gòu)造平行四邊形,借助對(duì)邊平行且相等來(lái)找到相對(duì)應(yīng)的最短線段,從而解決問(wèn)題求得最值.軸對(duì)稱變換更多的是利用垂線段最短來(lái)解決問(wèn)題,一般我們可以借助全等三角形、勾股定理以及相似三角形等來(lái)確定最值從而求出最小值.接下來(lái)我對(duì)旋轉(zhuǎn)變換作進(jìn)一步分析:

    例如:已知P是銳角三角形ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),且使PA+PB+PC最小,試確定點(diǎn)P的位置,并證明你的結(jié)論.

    由于題干只有文字信息,而對(duì)于幾何圖形必須通過(guò)圖形信息去挖掘題目信息,因此,我們先根據(jù)題干信息作出如下解析圖:

    首先畫(huà)出三角形ABC,接著以AC為三角形的一邊向外作等邊三角形ACB′,再以BC為三角形的一邊向外作等邊三角形BCA′.連接BB′以及AA′,此時(shí)BB′和AA′相交于一點(diǎn)P,而這一點(diǎn)P就是我們所要求的.

    接下來(lái)證明PA+PB+PC=PD+PB+DB′是一個(gè)定值.由于△ACB′和△BCA′是等邊三角形,因此得出結(jié)論:CA′=CB,AC=B′C,∠ACA′=∠BCB′,因此△ACA′全等于△B′CB.又因?yàn)椤螧′BC=∠AA′C,所以得到∠BPA′=∠BCA′=60°,所以∠APB′=∠BPA′=60°.此時(shí),在PB′上截取PD=AP,將AD、CP連接.由PD=AP,∠APB′=60°,得出△APD為等邊三角形.又由AP=AD,AC=AB′,∠DAB′=∠PAC,得到△PAC全等于△DAB′,于是得到結(jié)論線段CP=B′D.從而知道PA+PB+PC=PD+PB+DB′是一個(gè)定值 .

    然后需要證明PA+PB+PC為最小值,在△ABC的內(nèi)部任意取一點(diǎn)M,如右圖所示,此點(diǎn)M和點(diǎn)P不相同,將MA、MB以及MC連接起來(lái),此時(shí)構(gòu)成了△AMC,將△AMC以圖中的A點(diǎn)為中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到一個(gè)新的三角形AGB′.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,我們不難得到AC=AB′,AM=AG,MC=GB′,此時(shí)可以得出△AGM是一個(gè)等邊三角形,由此推出MA=MG.由此,我們可以得到MA+MB+MC=MG+MB+B′G=BM+MG+GB′>BB′.綜上所述,我們分析出點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和最短.

    在這道題目中,利用三角形AMC的旋轉(zhuǎn)變換將一組“Y”字型的線段巧妙地轉(zhuǎn)成了兩個(gè)定點(diǎn)之間的線段,再通過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一理論基礎(chǔ)輕松地證明出P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和最短.在教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于這類求最值的稍復(fù)雜題型,是需要作多條輔助線的,這對(duì)學(xué)生的能力要求就比較高.在做這一類題目時(shí),首先教師應(yīng)引入一些簡(jiǎn)單圖形的輔助線作法,培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的意識(shí),同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生的動(dòng)手能力.其次還應(yīng)該將作輔助線的題目進(jìn)行分類,讓學(xué)生在腦海里形成清晰的概念,以便拿到相應(yīng)的題作出相應(yīng)的圖,從而提高學(xué)生的解題效率.

    二、運(yùn)用模型思想―建立方程、函數(shù)模型

    在解決最值問(wèn)題時(shí),還有一個(gè)常用的方法就是運(yùn)用模型思想,也就是建立模型,在建立模型時(shí),我們通常會(huì)用到方程、函數(shù)等的思想,利用均值不等式的計(jì)算方法.

    例如:已知△XYZ是一個(gè)等腰直角三角形,其中直角邊的邊長(zhǎng)是1,∠Z=90°.△XYZ的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰三角形ABC的三邊上,其中∠C=90°,求△ABC直角邊長(zhǎng)的最大值.

    此題只說(shuō)明了△XYZ的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰三角形ABC的三邊上,并沒(méi)有說(shuō)明△XYZ的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)在△ABC的哪條邊上,所以此時(shí)的答案就不唯一了,我們需要進(jìn)行分類討論.

    第二種情況:假如△XYZ的頂點(diǎn)Z在△ABC的直角邊上,在這里我們假設(shè)Z點(diǎn)在CA上,此時(shí)過(guò)點(diǎn)Y作YH⊥CA于點(diǎn)H,在這里令CX=x,CZ=y.我們可以知道以下三個(gè)條件:ZY=ZX,∠XZC=∠ZYH,∠YHZ=∠XCZ=90°,因此△ZYH全等于△XZC,那么HZ=CX=x,HY=CZ=y,從而進(jìn)一步可以得到△AHY是等腰直角三角形,于是得出AH=y.

    總而言之,在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中,核心素養(yǎng)的應(yīng)用與發(fā)展是學(xué)生發(fā)展的重要途徑之一.因此,教師在數(shù)學(xué)課堂中,必須圍繞核心素養(yǎng)來(lái)展開(kāi)自己的教學(xué),在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)多設(shè)置情境教學(xué)來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、多設(shè)置操作環(huán)節(jié)訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)手能力等等,總之,一切的目的都是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力以及綜合發(fā)展能力.

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