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    例說一類中考常見題型
    ——特殊三角形問題

    2019-08-14 02:42:24沈伊昭
    數(shù)理化解題研究 2019年20期
    關(guān)鍵詞:頂角坐標(biāo)軸等腰三角

    沈伊昭

    (福建省寧德市周寧縣獅城中學(xué) 355400)

    每年中考特殊的三角形都是老師們研究討論的重點、熱點.在復(fù)習(xí)中本人注意到一類與特殊三角形有關(guān)的問題,與同仁們一同探討學(xué)習(xí).

    一、作圖題

    例1 已知坐標(biāo)原點O和點A(2,2),試在坐標(biāo)軸上找到一點P,使△AOP為等腰三角形,寫出滿足條件的點P的坐標(biāo)____.

    分析 這是一道求作等腰三角形的開放性題目,比較容易丟答案.學(xué)生很容易作出一種如圖2的情況,或者可以作出圖3的情況.

    但受思維定勢的影響,往往就無法繼續(xù)作出其他種情況.要是能引導(dǎo)學(xué)生去思考第一種作法的本質(zhì)特點:從定義出發(fā)作等腰三角形,要么考慮OA為底要么就考慮OA為腰,以O(shè)A為底就是連接OA,作OA的中垂線交坐標(biāo)軸于點P1、P2(圖2).以O(shè)A為腰就要考慮將點A當(dāng)作頂角的點,還是把點O當(dāng)作頂角的點問題了.若點A為頂角的點,根據(jù)AO=AP,以點A為圓心,AO長為半徑作圓,交坐標(biāo)軸于P3、P4(圖3).同理點O為頂角的點,根據(jù)OA=OP,以點O為圓心,OA長為半徑作圓,交坐標(biāo)軸于P5、P6、P7、P8(圖4).

    二、與旋轉(zhuǎn)相結(jié)合

    例2 如圖點O是等邊△ABC內(nèi)的一點,∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△COD,連接OD.

    (1)求證:△COD是等邊三角形;

    (2)當(dāng)α=150°時,試判斷△AOD的形狀,并說明理由

    (3)探究:當(dāng)α為多少度時,△AOD是等腰三角形?

    分析 (1)(2)較為簡單,這里不多說了.我們看看(3),根據(jù)我們例1判斷等腰三角形的方法(邊或角相等),依題意本題應(yīng)該從角度出發(fā),△AOD是等腰三角形有三種: (1)∠ADO=∠AOD,(2)∠AOD=∠OAD,(3)∠OAD=∠ADO.但學(xué)生往往還是只得到一種而丟掉另兩種,這仍屬于思維單一,發(fā)散不夠造成的.那么如何求解呢?可以由邊的關(guān)系得到角的等量關(guān)系,因此先要用角α把△AOD的三個角表示出來:

    ∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠DOC=360°-110°-α-60°=190°-α,∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°,∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-∠ODC=α-60°.

    所以,若∠AOD=∠ADO,則α=125°;若∠OAD=∠ADO,則α=110°;若∠OAD=∠AOD,則α=140°.

    綜上所述:α=125°或110°或140°.

    三、與拋物線相結(jié)合

    例3 已知拋物線y=ax2(a>0)上有兩點A、B其橫坐標(biāo)分別為-1,2,試探求a的取值情況,△AOB可能是直角三角形嗎?若不能,說明理由;是直角三角形,請寫出探求過程.

    分析 本題拋物線未定,所以△AOB的形狀也隨之改變.看似沒有頭緒,其實奧妙深藏在△AOB是直角三角形中,△AOB是直角三角形必定有一個角等于90°,這樣我們就可以如例2一樣的方法來求解,先求得三邊AB,AO,BO的長度(用a的代數(shù)式表示),設(shè)A(-1,a),B(2,4a),過點A作AE⊥BC.

    ∴AO2=DO2+AD2=1+a2,BO2=OC2+BC2=16a2+4,AB2=BE2+AE2=9a2+9.進而根據(jù)勾股定理的逆定理

    討論:若∠AOB=90°或∠BAO=90°或∠OBA=90°,分三種情況求a的值.

    從以上例子可以看出,在中考中有關(guān)特殊三角形的問題對學(xué)生的能力要求是比較高的.學(xué)生在求解這類問題常見的問題:(1)無法下手,(2)對定義的理解不夠,解題缺乏方向性,(3)思維發(fā)散不夠,容易漏解,(4)缺乏邊與角之間轉(zhuǎn)換的技能.所以我們只要找到問題的關(guān)健,就有辦法對癥下藥,引導(dǎo)學(xué)生正確思維,通過橫向?qū)Ρ龋|類旁通,多加訓(xùn)練,必會事半功倍,起到很好的效果.

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