關于Jordan標準形的教學探討

謝鳳艷

[摘 要]Jordan標準形反映了矩陣的本質(zhì)性質(zhì)并且是形式最為簡單的方陣. 結(jié)合教學實踐，從教學過程中強化Jordan標準形矩陣是對角矩陣的推廣和延伸，通過典型例題講解，融入Matlab軟件，強調(diào)應用四個方面對Jordan標準形的教學進行探討，旨在加深學生對Jordan標準形的認識.

[關鍵詞]方陣;Jordan塊;Jordan標準形;Matlab Square matrix;Jordan block

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）08-0108-03

高等代數(shù)是學習更一般的代數(shù)系統(tǒng)乃至整個數(shù)學的基礎，它涉及的內(nèi)容對近代科學技術和數(shù)學的任何其它分支非常有用. 矩陣是解決高等代數(shù)問題的一個非常有力的工具.它在計算機三維動畫制作、電路圖、交通流、統(tǒng)計分析、數(shù)值分析等領域有著非常廣泛的應用.Jordan標準形反映了矩陣的本質(zhì)性質(zhì)并且是形式最為簡單的方陣.在全國數(shù)學專業(yè)碩士研究生入學考試中，華中師范大學、華東師范大學、陜西師范大學、廈門大學、鄭州大學等大學多次都涉及到對Jordan標準形的考查. 然而隨著高等學校各個專業(yè)基礎理論課時的減少，數(shù)學專業(yè)基礎課時也大為縮減.很多高校數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)課時由以前的周課時六減為周課時四. 不少高校的數(shù)學專業(yè)把高等代數(shù)中“[λ]-矩陣”、“雙線性函數(shù)”等相關內(nèi)容作為選修內(nèi)容，不再作為考試大綱進行課堂講解. 而很多高等代數(shù)教材對Jordan標準形尤其對如何找一個可逆矩陣，將一方陣化成Jordan標準形缺乏系統(tǒng)討論.由于Jordan標準形矩陣的重要性并且學生對這部分知識自學起來比較吃力，因此教師應盡可能的抽出時間對Jordan標準形相關知識進行講解。為了深化學生對Jordan標準形的認識，本文結(jié)合多年來教育教學實踐從以下四個方面對Jordan標準形進行教學探討.

一、教學過程中強化Jordan標準形矩陣是對角化的推廣和延伸

設[A]為[n]級方陣. 是否存在一個形式較為簡單的矩陣[B]使得矩陣[A]與矩陣[B]有很多相似的性質(zhì)，比如相同行列式的值，相同的秩，特征值相等.我們知道，如果矩陣[A]有[n]個線性無關的特征向量，那么矩陣[A]與一個對角矩陣[B]相似，并且[B]對角線上的元素為矩陣[A]的[n]個特征值， 重根按重數(shù)計算[[1]].然而可對角化的矩陣畢竟是少數(shù)的，于是Jordan矩陣誕生了.對于任意[n]級方陣都與一個Jordan矩陣是相似的[[1]]. 而對角矩陣是Jordan矩陣的特殊情況，即若當塊為一階時的Jordan矩陣. Jordan矩陣是“幾乎”對角化矩陣.

當[A]可對角化時，設[P=（p1，p2，...，pn）]使得[P-1AP=Λ=diag（λ1，λ2，...，λn）].則[Api=λipi]且[（λiE-A）pi=0].即[pi]為[A]的屬于特征值[λi]的特征向量.

當[A]不可對角化時，設[P=（p1，p2，...，pn）]使得[P-1AP=J].不妨設[J]為[n]級若當塊，即

[J=λ1λ1?1λ].

則[Ap1=λp1]，[Api=λpi+pi-1]（[i=2，3，...，n]）且 [（λE-A）i-1pi-1=0].稱[pi]為[A]的屬于特征值[λ]的廣義特征向量[[2]].

Jordan標準形教學過程中要復習鞏固矩陣對角化的相關知識，并強化Jordan矩陣是對角矩陣的推廣，Jordan標準形是對角化的延伸及完善.教學過程中教師要按照循序漸進、螺旋上升的教學原則，在教學過程中注重新舊知識的銜接，以便學生克服陌生恐懼的心理. Jordan標準形教學過程中復習鞏固矩陣對角化的相關知識，看似比單純講解Jordan標準形多花了時間，但卻能起到事半功倍的效果，不僅有利于學生對新知識點的掌握，而且能夠使學生做到知識點的融會貫通.

二、 教學過程中通過典型例題講解，加深學生對抽象理論知識的認識

抽象性是高等代數(shù)一個重要特點[[3]].通過數(shù)學例題講解可以有助于學生對抽象數(shù)學知識的理解，深化和鞏固學生對數(shù)學基本概念和主要定理的認識. Jordan標準形中涉及到行列式計算、線性方程組求解、矩陣運算等相關知識，而教材太過于偏重理論知識講解，選用例題較少.學生學習這部分知識頗感吃力.因此在Jordan標準形教學的過程中要精選例題并加強對例題的講解.

（一） 可對角化矩陣Jordan標準化的實例

例1 設矩陣[A=122212221]，求可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標準形.

解 由[φA（λ）=|λE-A|=λ-1-2-2-2λ-1-2-2-2λ-1=（λ+1）2（λ-5）]，得[A]的特征值為-1、5.

解齊次線性方程組[（-E-A）x=0]得到對應-1的兩個線性無關特征向量：

[p1=（1，0，-1）T，p2=（0，1，-1）T]

解齊次線性方程組[（5E-A）x=0]得到對應5的一個特征向量：

[p3=（1，1，1）T]

令[P=（p1，p2，p3）]，則[P-1AP=J=-1-15].

注：例1可以提前以作業(yè)形式布置下來，讓學生課后自己完成。課堂上用多媒體課件展示出來即可.

（二）一般方陣Jordan標準化的實例

例2設矩陣[A=-1-26-103-1-14]，求可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標準形.

解 由[φA（λ）=|λE-A|=λ+12-61λ-311λ-4=（λ-1）3，] 得[A]的特征值為1.

因為[r（E-A）=1]，所以齊次線性方程組[（E-A）x=0]的一個基礎解系中含2個向量.即[Ker（E-A）=2].同理可得[Ker（E-A）2=3].

設[Ker（E-A）]的一組基[{p1，p2}]并把它擴充為[Ker（E-A）2]的一組基[{p1，p2，p3}]并且滿足[Ap1=p1，Ap2=p2]，[Ap3=p3+p2].則

[A（p1，p2，p3）=（p1，p2，p3）1111]，

于是得到[A]的Jordan標準形[J=1111]

下面求解[p1，p2，p3].解齊次線性方程組[（E-A）x=0]得到對應特征值1的兩個線性無關特征向量：

[x1=（1，-1，0）T，x2=（3，0，1）T]

令[p1=x1]，[p2=c1x1+c2x2]（其中常數(shù)[c1，c2]的選取使得[p1，p2]線性無關），則[Ap1=p1，Ap2=p2]+[p1].為了使得[Ap3=p3+p2]有解.可得[c1=-c2].令[c1=-c2=-1]

得到非齊次線性方程組[Ax3=x3+p2]的一個特解：[p3=（1，0，0）T]

從而[P=（p1，p2，p3）=121-1-10010]，

且[P-1AP=][J=1111].

通過例1學生已經(jīng)熟練掌握特征值、特征向量及可逆矩陣[P]求解，在此基礎上進行例2的講解.由學生已知對角化的過程及[λE-A]核的求解， 逐步推導出矩陣[A]的Jordan矩陣以及求解可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標準形的方法.以啟發(fā)式、引導式原則講解例2，引導學生積極主動地思考做題的方法，這樣不僅使學生對所學到的相關知識點融會貫通，而且加深了對“每個[n]級復數(shù)矩陣都與一個Jordan標準形矩陣是相似的”等教材相關結(jié)論證明的理解.

對于任意一個不可以對角化的方陣[A]來說，[A]的Jordan矩陣[J]中對應某個特征值[λi]的若當塊[J（λi）]的階數(shù)可以通過下列方法求解.

計算

[r1（λi）=r（λiE-A），r2（λi）=r（λiE-A）2，...，rk（λi）=]

[r（λiE-A）k]

直到[λiE-A]某個[k]方冪的秩不再變化，這個[k]就是[λi]的最大子塊階數(shù).設[rt（λi）=rk（λi）（t≥k）]，階數(shù)為[l]的子塊個數(shù)為[bl（λi）].則

[bl（λi）=n-2r1（λi）+r2（λi） ? ? ? ? ? ? l=1rj+1（λi）-2rj（λi）+rj-1（λi） ? ? ?l=2，3，...，k.]

例2中求解Jordan矩陣和廣義特征向量方法比較簡單，但當一個方陣[A]的階數(shù)較高且[A]的某個特征值的重數(shù)較大時，用此方法求解廣義特征向量從而確定Jordan塊的階數(shù)就不太容易了.這就要尋找別的方法. 求解Jordan標準形的方法有很多，比如參考文獻[4-7]，教師可以從中選擇一種或者多種方法課堂中進行講解，從而加深學生對Jordan標準形的認識.

三、 Jordan標準形教學過程中融入Matlab軟件

信息技術是當下高校教育教學必不可少的輔助力量。隨著計算機技術的迅猛發(fā)展， 將常用的數(shù)學軟件融入到高等代數(shù)教學中已成為一種趨勢[[8]].

Matlab是matrix和laboratory兩個詞的組合， 意為矩陣實驗室.它是一款由美國The mathworks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件. MATLAB是一種用于算法開發(fā)，數(shù)據(jù)可視化，數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境.Matlab軟件強大的計算功能使得Jordan標準化輕而易舉. 比如求一可逆矩陣[P]使得例2中的矩陣[A]滿足[P-1AP=J]為Jordan標準形. 在Matlab窗口中輸人：

>>A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4];%輸入矩陣A

>>[P，J]=Jordan（A） %求可逆矩陣P使得P-1AP為Jordan標準形.

執(zhí)行命令，出來結(jié)果：

注：Jordan矩陣[J]除了Jordan塊的排列次序外和例2求解的Jordan矩陣一樣. 因為齊次線性方程組的一個基礎解系中的向量不唯一，所以可逆矩陣[P]的選取不唯一.

通過系統(tǒng)學習及一系列的練習， 絕大多數(shù)學生能夠?qū)ordan標準形求解方法熟練掌握，但由于Jordan標準形中涉及行列式求解、方程組求解、矩陣運算等相關知識，其計算量非常大，稍不留神就會出錯， Matlab軟件簡單容易操作.利用Matlab軟件使得矩陣Jordan標準化變得輕而易舉，從而提高學生的學習興趣，獲得更好的教學效果. 信息化時代，作為高校教師，應該與時俱進，適當改革傳統(tǒng)教學方法將數(shù)學軟件引入教學，使學生體會到數(shù)學學習的時代性，但值得注意的是高等代數(shù)作為數(shù)學專業(yè)的一門基礎課程，Matlab在其教學中只能作為輔助教學軟件，且不可取代教材知識，成為主要教學工具.

四、 Jordan標準形教學過程中強調(diào)應用

學以致用是教學的最終目的.隨著科技的發(fā)展，矩陣的應用已經(jīng)在計算機三維動畫制作、電路圖、交通流、統(tǒng)計分析、數(shù)值分析、微分方程等領域有著非常廣泛的應用。矩陣理論的發(fā)展極大地推動和豐富了其他眾多學科的發(fā)展. Jordan標準形反映了矩陣的本質(zhì)性質(zhì)并且是形式最為簡單的方陣.因此Jordan標準形教學過程中教師應指出Jordan標準形的一些應用，比如：求一個方陣的[k]次冪[[7]]、求解常系數(shù)線性微分方程組[[8]]以及對方陣特征值考查[[9]]. 此外借助Matlab軟件，讓學生解決一些現(xiàn)實生活中的問題，比如系統(tǒng)狀態(tài)方程[[10]]等.教師可以簡單羅列一些應用，然后通過布置作業(yè)，分任務的形式讓學生分組收集整理相關的一些應用.這樣不僅進一步加深了學生對知識的認識而且提高了學生的參與度，還能調(diào)動學生學習的積極性，提高學生分析問題、解決問題的能力.

五、結(jié)語

Jordan標準形定理在高等代數(shù)中有著非常重要的地位。近年來，多種考試中對Jordan標準形的考查也是一個熱點問題。鑒于目前高等代數(shù)教學的現(xiàn)狀，本文結(jié)合數(shù)學專業(yè)本科生教學實踐從Jordan標準形教學過程中四個方面：即強化Jordan標準形矩陣是對角矩陣的推廣和延伸，典型例題講解，融入Matlab軟件，強調(diào)應用對Jordan標準形的教學進行探討，從學生熟知的對角化問題著手，引入Jordan矩陣，采用啟發(fā)式、引導式原則展示出Jordan標準形相關知識，旨在加深學生對Jordan標準形的認識，為高等代數(shù)的教學提供一些參考價值.

[參考文獻]

[1] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社， 2013：342-348.

[2] Bru R， Rodman L， Schneider H. Extensions of Jordan bases for invariant subspaces of a matrix[J].Linear A1gebra App1.1991，150：209-225.

[3] 劉崢嶸. 關于《高等代數(shù)》習題課教學的幾點體會[J].南昌教育學院學報，2011（2）：51-52.

[4] 李尚志.若當標準形的計算[J].大學數(shù)學，2006（5）：1-10.

[5] 易福俠，王金林.矩陣若當標準化的一種新方法[J].大學數(shù)學，2009（3）：164-167.

[6] 張長記，江建民.用初等變換法求矩陣的若當標準形[J].河池學院學報，2012（5）：51-53.

[7] 馮福存.矩陣的Jordan標準形及其應用[J].綿陽師范學院學報，2016（5）：11-15.

[8] 興友，黃始穎，劉畔畔，高靜.MATLAB軟件在高等代數(shù)教學中的應用初探[J].數(shù)學學習與研究，2017（23）：10.

[9] 張姍梅，劉耀軍.矩陣標準形的應用[J].忻州師范學院學報，2016（2）：8-12.

[10] 高芳征，常瑾瑾.矩陣若爾當標準型的標注[J].安陽師范學院學報，2010（2）：12-14.

[責任編輯：林志恒]