關(guān)于Hom-雙代數(shù)扭曲子的注記

張曉輝，孫 燕

1 引言

Hom結(jié)構(gòu)源于李理論中對(duì)向量場(chǎng)上的量子離散型形變的研究與刻畫(huà), 較早的例子出現(xiàn)在Witt代數(shù)與Virasoro代數(shù)上([2])。2006年, J. Hartwig等人([4])介紹了Hom-李代數(shù)的概念。與李代數(shù)相比, 其中的Jacobi恒等式在某個(gè)自同態(tài)下(稱為Hom-結(jié)構(gòu)映射)作了相應(yīng)的扭曲。隨著研究的深入, A. Makhlouf等學(xué)者陸續(xù)提出了Hom-代數(shù), Hom-余代數(shù)等概念, 自然地, Hom-雙代數(shù)和Hom-Hopf代數(shù)也被引入([6], [7])。隨后, D. Yau研究了Hom-雙代數(shù)上的擬三角結(jié)構(gòu)([8]), 并由之得到了一組Hom型Yang-Baxter方程的解([9])。2011, S. Caenepeel和I. Goyvaerts引入了張量型Hom-Hopf代數(shù)的定義([1]), 這是一種特定范疇中的Hom-型代數(shù), 從而將Hom-理論與范疇論結(jié)合在一起。關(guān)于Hom-型代數(shù)的最新研究, 可見(jiàn)文[3], [5], [8]等。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上, 給出了Hom-雙代數(shù)的扭曲子的性質(zhì), 刻畫(huà)了其所誘導(dǎo)的一類(lèi)張量型Hom-雙代數(shù)和雙代數(shù)。

2 預(yù)備知識(shí)

本文中, 我們總是假定k為特征為0的代數(shù)閉域。

定義2.1([6]) 數(shù)域k上的一個(gè)k-Hom-代數(shù)A是指一個(gè)k-空間, 伴有k-線性的自同態(tài)αA:A→A, 和乘法μ:A?A→A, 及單位元1A, 使得對(duì)任意的a,b,c∈A, 有下列等式成立:

α(ab)=α(a)α(b),α(1A)=1A;

α(a)(bc)=(ab)α(c),a1A=1Aa=α(a)。

設(shè)A,A′均為k-Hom-代數(shù), 線性映射f:A→A′被稱為Hom-代數(shù)同態(tài), 若f保持Hom-乘法及Hom-單位, 且αA′°f=f°αA。

定義2.2([6]) 數(shù)域k上的一個(gè)k-Hom-余代數(shù)C是指一個(gè)k-空間, 伴有k-線性的自同態(tài)αC:C→C, 和余乘Δ:C→C?C以及余單位ε:C→k, 對(duì)任意的c∈C, 有下列等式成立:

Δ(αC(c))=αC(c1)?αC(c2),ε°αC=ε;

αC(c1)?Δ(c2)=Δ(c1)?αC(c2),c1ε(c2)=ε(c1)c2=αC(c)。

設(shè)C,C′均為k-Hom-余代數(shù), 線性映射f:C→C′被稱為Hom-余代數(shù)同態(tài), 若f保持Hom-余乘法及Hom-余單位, 且αC′°f=f°αC。

定義2.3([6]) 設(shè)B為k-空間, 若存在k-線性同構(gòu)β:B→B, 使得(B,α,μ,1B)為Hom-代數(shù), 同時(shí)(B,α,Δ,ε)為Hom-余代數(shù), 且Δ,ε均為Hom-代數(shù)同態(tài), 則稱(B,α,μ,1B,Δ,ε)為Hom-雙代數(shù)。

定義2.4([1]) 設(shè)H為k-空間, 若存在k-線性同構(gòu)α:H→H, 使得(H,α,μ,1H)為Hom-代數(shù), 同時(shí)(H,α-1,Δ,ε)為Hom-余代數(shù), 且Δ,ε均為Hom-代數(shù)同態(tài), 則稱(H,α,μ,1H,Δ,ε)為張量型Hom-雙代數(shù)。

注記2.5數(shù)域k上的一個(gè)Hom-雙代數(shù)(B,α)同時(shí)為張量型Hom-雙代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)B的Hom-結(jié)構(gòu)映射α滿足α2=idB。

3 Hom-雙代數(shù)與張量型 Hom-雙代數(shù)的扭曲等價(jià)

本節(jié)中, 我們總是假定設(shè)(B,α,μ,1B,Δ,ε)為Hom-雙代數(shù), 且其Hom-結(jié)構(gòu)映射α為同構(gòu)。

定義3.1由文獻(xiàn)[5], 稱元素σ∈B?B為B上的一個(gè)廣義扭曲子, 若其可逆, 且滿足:

下文中, 我們用ρ表示σ的逆元.

引理3.2(1)ρ滿足

(α?α)(ρ)=ρ;

(3.1)

(2)ρ滿足如下2-余循環(huán)條件

(3.2)

證明:(1) 由題設(shè)知如下等式成立:

(α?α)(ρ)=1Hρ(1)?1Hρ(2)

即

1H?1H?1H

(3.3)

此即說(shuō)明等式(3.2)成立。

證畢。

對(duì)任意的x∈B, 定義B上的新的余乘Δσ如下:

Δσ(x)=x[1]?x[2]:=(σΔ(α-4(x)))ρ,

(3.4)

此時(shí)易知:Δσ(x)=(σΔ(α-4(x)))ρ=σ(Δ(α-4(x))ρ)。

引理3.2(B,α-1,Δσ,ε)為Hom-余代數(shù)。

證明: 首先, 對(duì)任意的x∈B, 我們有

x[1]ε(x[2])

=(σ(1)α-4(x1))ρ(1)ε(σ(2))ε(α-4(x2))ε(ρ(2))=(1Hα-3(x))1H=α-1(x)。

同理可證

ε(x[1])x[2]=α-1(x)。

其次, 我們計(jì)算Hom-余結(jié)合性如下:

Δσ(x[1])?α-1(x[2])=

?α-1((σ(2)α-4(x2))ρ(2))

?(α2(σ(2))α-1(x2))α2(ρ(2))

=α-1(x[1])?Δσ(x[2])。

最后, 我們有

Δσ(α-1(x))=(σ(1)α-5(x1))ρ(1)

?(σ(2)α-5(x2))ρ(2)

?α-1((σ(2)α-4(x1))ρ(2))。

這就證明了(B,α-1,Δσ,ε)為Hom-余代數(shù)。證畢。

定理3.3Bσ=(B,α,μ,1B,Δσ,ε)為張量型Hom-雙代數(shù)。

證明:由引理3.2, 僅需證明Δσ為保持單位的Hom-代數(shù)同態(tài)即可。

一方面知Δσ滿足Δσ(1B)=1B?1B, 且對(duì)任意的x∈B, 我們有Δσ(α(x))=(α?α)Δσ(x)。這就證明了Δσ保持單位和Hom-結(jié)構(gòu)映射。

另一方面, 對(duì)任意的x,y∈B, 我們有

x[1]y[1]?x[1]y[1]

這就證明了Δσ保持乘法運(yùn)算。證畢。

例3.4考慮Sweedler 4維Hopf代數(shù)H4=k{1H,g,x,y|g2=1H,x2=0,y=gx=-xg}, 其結(jié)構(gòu)如下:

δ(g)=g?g,δ(x)=x?1H+g?x,δ(y)=y?g+1H?y,

ε(g)=1,ε(x)=ε(y)=0,S(g)=g,S(x)=-y,S(y)=x。

則直接計(jì)算可知, 若α:H→H為Hopf代數(shù)同構(gòu), 則其滿足

α(1H)=1H,α(g)=g,α(x)=cx,α(y)=cy。

其中0≠c∈k。此時(shí)我們得到如下的Sweedler 4維Hom-Hopf代數(shù)

αH4=(H4,α,1H,α°m,Δ=δ°α,ε)}。

更進(jìn)一步地, 經(jīng)過(guò)直接驗(yàn)算可知,αH4中的扭曲子具有如下形式:

· (1) 當(dāng)c2=1時(shí), 扭曲子為

σ=λ1H?1H+(1-λ)(1H?g+g?1H-g?g);

σ′=1H?1H+μy?x.

· (2) 當(dāng)c2≠1時(shí), 扭曲子為

σ=λ1H?1H+(1-λ)(1H?g+g?1H-g?g)。

ρ′=σ′-1=1H?1H+μy?x,

此時(shí), 利用定理3.3, 我們即可得到基于H4的一類(lèi)張量型Hom-雙代數(shù):

(αH4)σ=(αH4,α,1H,α°m,Δσ=(δ°α)σ,ε)。

例3.5對(duì)任意的x∈B, 定義B上的新的余乘Δσ如下:

Δσ(x)=x(1)?x(2):=(σΔ(α-3(x)))ρ，

(3.5)

則易證(B,Δσ,ε)為數(shù)域k上的余代數(shù)。此時(shí),Bσ=(B,α-1°m,η,Δσ,ε)為k-雙代數(shù)。

證明:類(lèi)似于定理3.3, 不再贅述。

注記3.6由定理3.3和定理3.5可知, Hom-雙代數(shù)與張量型Hom-雙代數(shù)、雙代數(shù)有扭曲等價(jià)關(guān)系。