中學數(shù)學中的無窮級數(shù)問題*

☉廣東省佛山市順德區(qū)廣東碧桂園學校 李傳洲

☉武漢晴川學院計算機學院 楊 艷

一、前言

合情推理是數(shù)學里面非常重要的推理方法，它包含歸納和類比兩種推理方法，在數(shù)學研究中，合情推理常常能幫助我們猜測并發(fā)現(xiàn)一個新結論；在證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.法國數(shù)學家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比.”

但是合情推理所得的結論是需要證明的，這正是數(shù)學區(qū)別于其他學科的顯著特點.美籍匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞（1887-1985）說過：“合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的.”合情推理所獲的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠.例如，法國數(shù)學家費馬觀察到

221+1=5，

222+1=17，

223+1=257，

224+1=65537

都是質數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如22n+1（n∈N*）的數(shù)都是質數(shù).這就是著名的費馬猜想.半個世紀后，善于計算的歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)

F5=225+1=4294967297=641×6700417

不是質數(shù)，從而推翻了費馬的猜想.

在中學數(shù)學的教學中，類比和歸納的推理方法有著廣泛的應用，如數(shù)學歸納法、立體幾何與平面幾何的類比、向量與數(shù)的類比、無限與有限的類比等等.本文將著重討論中學數(shù)學的實際教學中無限與有限類比時所產(chǎn)生的問題與困惑，以及如何利用無窮級數(shù)來解決所產(chǎn)生的問題.

二、無限求和與無窮級數(shù)

在學習有理數(shù)概念的時候，我們需要討論無限循環(huán)小數(shù)是否是有理數(shù)，關鍵在于無限循環(huán)小數(shù)能否轉化為分數(shù)形式.如0.134513451345…能否轉化為分數(shù)？中學或小學階段老師所教的將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的方法如下：

問題1：如何將0.134513451345…化為分數(shù)？

解：假設x=0.134513451345…

則10000x=1345.134513451345…

將兩個等式相減得9999x=1345

上述方法中讓10000x與x的無限小數(shù)部分抵消了，思考這樣做是否合理？

受到這個問題的啟發(fā)，有很多學生又提出了新的問題，問題如下：

問題2：“令S＝1+2+4+8+…，則2S＝2+4+8+…，那么S-2S＝1.”到底S與2S誰大？

上述兩個問題在計算時用到了同樣的方法，但第二個卻出現(xiàn)了矛盾，這是為什么呢？如果老師不能合理地解釋這兩個問題，想必在學生心中教師的權威也會降低不少吧.

本質上，上面兩個問題都可以看成是無窮級數(shù)的問題.在中小學階段，由于所學知識有限，只進行有限求和運算，而對于無限求和當然是不涉及的.數(shù)學是嚴謹?shù)?，由問題2可知，有限求和法則不一定適合無限求和的運算，那么我們應該如何處理無限求和運算呢？本文關于無限求和運算的討論主要針對上述兩個簡單的問題.

定義1：給定一個數(shù)列{un}，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式

稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（常簡稱為級數(shù)），其中un稱為數(shù)項級數(shù)（1）的通項.

數(shù)項級數(shù)（1）也常寫作：或簡寫為∑un.

數(shù)項級數(shù)（1）的前n項和，記為

稱它為數(shù)項級數(shù)（1）的第n個部分和，也簡稱為部分和.

定義2：若數(shù)項級數(shù)（1）的部分和數(shù)列{Sn}收斂于S（即limSn=S），則稱數(shù)項級數(shù)（1）收斂，稱S為數(shù)項級數(shù)（1）n→∞的和，記作S=u1+u2+…+un+…或S=∑un.

若{Sn}是發(fā)散的，則數(shù)項級數(shù)（1）發(fā)散.

例1討論等比級數(shù)（也稱為幾何級數(shù)）

的收斂性，其中|q|＜1，a≠0.

回到問題1，可以將0.134513451345…寫成無窮級數(shù)的形式，

0.134513451345…=0.1345+0.1345×10-4+0.1345×10-8+…+0.1345×10-4n+…

由例1可知，這是一個等比級數(shù)，其中a=0.1345，q=10-4＜1，所以該級數(shù)收斂且

實際上，對于更一般的情形，設一個含有n（0＜n＜+∞）個整數(shù)的有限數(shù)列：

B={b1，b2，…，bn}，其中bi∈{1，2，…，9}，（i∈1，2，…，n），

則對任意一個循環(huán)節(jié)不含0的純循環(huán)小數(shù)m，均可表示為：

顯然m是一個收斂的幾何級數(shù)，由例1可知，

同理可證任意一個循環(huán)節(jié)含0的純循環(huán)小數(shù)也可化為分數(shù)，所以任意的循環(huán)小數(shù)均可化為分數(shù).

對于問題2，無窮級數(shù)S的前n項和Sn=1+2+…+2n-1→∞（n→+∞）發(fā)散，故無窮級數(shù)S不存在和，所以“S-2S=1”的結論顯然是錯的.

我們再看一個類似的問題：

問題3：研究級數(shù)

于是，從第二項起全部抵消，故S=1.

括號內從第二項起全部抵消，故

顯然，上述兩種解法的結果是矛盾的.

對于上述問題中的無窮級數(shù)求和問題，若不討論其是否收斂隨便求和，企圖用有限求和的計算法則去處理無限求和的問題，這是不嚴謹?shù)?，并且容易出現(xiàn)錯誤的認知.實際上，對無窮級數(shù)的收斂問題討論得不深入透徹是引發(fā)第二次數(shù)學危機的原因之一，且引起了長達百余年的混亂.19世紀以來，由于法國數(shù)學家達朗貝爾，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯（Weirstrass，1815～1897）和法國數(shù)學家柯西（Cauchy，1789～1857）詳細而系統(tǒng)地提出了極限理論，而后來由德國數(shù)學家戴德金（Dedekind，1831～1916），康托（Cantor，1845～1918）等人完善了實數(shù)理論，從而結束了長達百余年的混亂，所謂第二次數(shù)學危機亦得到解決.

三、結束語

作為新世紀的中學數(shù)學老師，需打下牢固的數(shù)學理論基礎，不斷地積累學習數(shù)學知識和解決數(shù)學問題的經(jīng)驗，不能將對數(shù)學的認識僅僅停留在經(jīng)驗水平上，對數(shù)學的起源和發(fā)展以及發(fā)展過程中的矛盾和斗爭需要有一個全面的認識，深化并提高對數(shù)學具體方法的了解，把握數(shù)學家的創(chuàng)造所賴以產(chǎn)生的時代背景以及數(shù)學家的這些創(chuàng)造對數(shù)學發(fā)展的貢獻，自覺樹立正確的數(shù)學觀，否則就不能達到全面貫徹數(shù)學課程的目標，更不能正確的傳播數(shù)學思想.