四川
函數(shù)零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、不等式的重要載體,其充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,從近幾年高考試題來看,函數(shù)零點(diǎn)問題備受青睞,特別是在研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在,但又不能求出零點(diǎn)的具體值時(shí),常根據(jù)二分法思想找出零點(diǎn)的大致范圍,再借助零點(diǎn)范圍及其等量關(guān)系,解決不等關(guān)系或參數(shù)范圍問題,從而由考查函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)性逐步向工具性轉(zhuǎn)變,這也體現(xiàn)新課標(biāo)精神由知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)變,本文與大家一起探討函數(shù)“隱零點(diǎn)(虛擬零點(diǎn))”為載體藝術(shù)與“小不等式”過渡轉(zhuǎn)化在導(dǎo)數(shù)不等式中的應(yīng)用.
例1.已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).
(Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最值.
(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)>0.
試題分析:問題(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值為零建立等量關(guān)系,求出參數(shù)的值;再判斷f(x)在[1,2]上的單調(diào)性,從而求出f(x)的最值.
問題(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí),要證f(x)>0.即證ex-ln(x+m)>0,
思路1:因ln(x+m)≤ln(x+2),放縮即證當(dāng)m=2時(shí)f(x)>0即可;
思路2:直接證明,二次求導(dǎo),利用討論的思想證明其最小值大于零;
思路3:利用小不等式ex≥x+1放縮證明.
試題解析:(Ⅰ)最大值e2-ln3,最小值e-ln2.
設(shè)g(x)=(x+m)ex-1,而g′(x)=(x+m+1)ex>0,所以g(x)在(-m,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x→-m時(shí),g(x)→-1,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞,必存在一個(gè)數(shù)x0,使得g(x0)=0,則當(dāng)x∈(-m,x0)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;故f(x)min=f(x0),
綜上,當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.
解法3:對x∈R時(shí),設(shè)k(x)=ex-x-1,則k′(x)=ex-1,令k′(x)=0得x=0.
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),k′(x)<0,k(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),k′(x)>0,k(x)單調(diào)遞增.
故k(x)min=k(0)=0,即k(x)=ex-x-1≥0得ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)).
當(dāng)m≤2時(shí),要證f(x)>0,即證x+1>ln(x+m).
當(dāng)x∈(1-m,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
故h(x)min=h(1-m)=2-m≥0.因?yàn)榍昂蟛坏仁讲荒芡瑫r(shí)取到等號(hào),
所以當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.
評析:此題第(Ⅱ)問解法1充分利用參變量的放縮,大大減小計(jì)算量,但解法1、2本質(zhì)都是先運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理確定導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),并對其零點(diǎn)設(shè)而不求,然后采取整體代換的策略,把最值表達(dá)式中的超越式轉(zhuǎn)化為普通代數(shù)式,構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的函數(shù),結(jié)合零點(diǎn)的范圍,利用函數(shù)單調(diào)性,基本不等式,放縮等手段求最值達(dá)到證明不等式.解法3,先利用ex≥x+1把超越不等式放縮成普通的代數(shù)不等式,再構(gòu)造函數(shù)證明不等關(guān)系.三種方法的共性都是想辦法把超越不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式,再構(gòu)造新函數(shù)解決問題.
變式訓(xùn)練1:已知函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),證明:對任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.
試題解析:(Ⅰ)2x+y-2=0.
(Ⅱ)當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
即ex-lnx-2>0在(0,+∞)上恒成立,
所以對任意x>0,f(x)+ex>x2+x+2恒成立.
解法2:對x∈R時(shí),設(shè)k(x)=ex-x-1,則k′(x)=ex-1,令k′(x)=0得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),k′(x)<0,k(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),k′(x)>0,k(x)單調(diào)遞增;故k(x)min=k(0)=0,即k(x)=ex-x-1≥0得ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)),
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
故h(x)min=h(1)=0,即h(x)=x-1-lnx≥0得lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)).
當(dāng)a=1時(shí),要證不等式f(x)+ex>x2+x+2可變?yōu)閑x-lnx-2>0,由ex≥x+1與lnx≤x-1即證x+1-(x-1)-2≥0恒成立,由于不能同時(shí)取到等號(hào),故對任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.
例2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ln(x-1).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)g(x)=-a(x-1)+f(x)在區(qū)間[2,e2+1]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若k∈Z,且f(x)+x-1-k(x-2)>0對x>2恒成立,求k的最大值.
試題分析:問題(Ⅰ)轉(zhuǎn)化為g′(x)=0在[2,e2+1]有零點(diǎn).
問題(Ⅱ)當(dāng)x>2時(shí),采用分參思想,構(gòu)建新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題,在通過隱零點(diǎn)過渡找到最值的范圍,從而確定所求整數(shù)的最值.
試題解析:(Ⅰ)a的取值范圍為(1,3).
因?yàn)閤>2,所以v′(x)>0,即v(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
又因?yàn)関(4)=-ln3+1<0,v(5)=-2ln2+2>0.
所以?x0∈(4,5),使得v(x0)=0即u′(x0)=0,所以u(x)在(4,x0)上遞減,在(x0,5)上遞增.
所以u(x)min=u(x0)
=x0-1∈(3,4).
k
評析:此題第(Ⅱ)問通過分參構(gòu)造第一個(gè)函數(shù),求導(dǎo)尋找最值,借助隱零點(diǎn)過渡構(gòu)造第二個(gè)函數(shù),結(jié)合隱零點(diǎn)的范圍,確定第二個(gè)函數(shù)的值域,從而確定整參變數(shù)的最值.
變式訓(xùn)練2:已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+b在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為3x-y-2=0.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
試題解析:(Ⅰ)f(x)=xlnx+2x-1.
所以h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).又h(2)=1-ln3<0,h(3)=2-ln4>0,
故存在唯一的x0∈(2,3)使得h(x0)=0,即x0-1=ln(x0+1).
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h(x)<0,
所以g′(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)>0,
所以g′(x)>0,所以g(x)在(x0,+∞)上為增函數(shù).
所以k>x0+2.因?yàn)閤0∈(2,3),所以x0+2∈(4,5).因?yàn)閗∈Z,所以k的最小值為5.
(Ⅰ)當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
試題分析:問題(Ⅰ)在函數(shù)定義域(0,+∞)上求導(dǎo),再通過因式分解討論單調(diào)性.
思路3:利用不等式ex≥x+1在x=0時(shí)取等號(hào),求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)解法1:利用“隱零點(diǎn)(虛擬零點(diǎn))”為載體過渡構(gòu)建k(x)=xlnx.
g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(x0),
解法2:利用“隱零點(diǎn)(虛擬零點(diǎn))”為載體過渡構(gòu)建k(x)=xex.
g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(x0),
解法3:利用不等式ex≥x+1在x=0時(shí)取等號(hào)求解.