高考全國卷立體幾何“球”的考查特點和備考策略

廣東

隨著課程改革實施的推進，“新課程標準(2017版)”逐漸為一線教師所熟悉，與“舊課程標準(2013版)”相比，不論是課程體系的設(shè)置，還是具體的內(nèi)容要求，都發(fā)生了不同程度的變化.其中，與空間幾何體相關(guān)的內(nèi)容要求發(fā)生了較大的變化，主要體現(xiàn)在三個方面：第一，刪除了三視圖，以及與三視圖有關(guān)的平行投影和中心投影；第二，提高了關(guān)于球、棱柱、棱錐、棱臺表面積和體積公式的要求，行為動詞從“了解”調(diào)整為“知道”和“能用”；第三，提高了關(guān)于簡單空間圖形的要求，從“簡易組合”調(diào)整為“簡單組合”.課程標準的變化在2018年的高考試題中也有所體現(xiàn)，未出現(xiàn)與三視圖有關(guān)的試題，因此，高考備考有必要研究三視圖以外的其他題型，本文對歷年全國卷與球有關(guān)的試題進行了深入的分析，與讀者分享.

1.歷年全國卷高考“球”的試題考點統(tǒng)計

續(xù)表

通過對歷年全國卷高考試題的研究，不難發(fā)現(xiàn)與“球”有關(guān)的考題極具規(guī)律，重在考查常見幾何體與球組成的簡單圖形，以及常見幾何體的表面積和體積.下面結(jié)合2019年高考考試說明和全國卷高考試題具體分析“球”的考查內(nèi)容、方式，以及備考策略.

2.全國卷高考“球”的考查特點及備考策略

2019版《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱說明》(文、理相同)中與“球”有關(guān)的描述主要有“認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征”“能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖”“了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式”.通過考試說明來看，高考對“球”的考查內(nèi)容和形式與以往保持一致，依然會體現(xiàn)在對“球的結(jié)構(gòu)特征”“識圖、畫圖”“表面積和體積公式”等方面的考查.

2.1突出對簡單幾何體外接球的考查

例1.(2017·全國卷Ⅲ理·8)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為

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【備考策略】對簡單幾何體外接球的考查，多以長方體、正棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐為考查核心，復習備考時可將幾何體分為柱體、錐體兩大類.對于長方體、正棱柱等柱體，可以利用圓柱作為載體來研究其外接球的問題，研究方法類似于例1；對于正棱錐等錐體，可以利用圓錐作為載體來研究其外接球的問題，研究方法類似于例2.反之，也可以利用圓柱的內(nèi)接柱體、圓錐的內(nèi)接錐體來設(shè)計一些幾何體的外接球問題，合理拓寬備考路徑.

2.2強調(diào)對球的幾何性質(zhì)的考查

【備考策略】對球的幾何性質(zhì)的考查，以性質(zhì)R2=r2+d2為考查核心，其中R為球的半徑，r為小圓的半徑，d為小圓圓心到球心的距離.復習備考時，可從兩個角度對例3進行變式設(shè)計，角度一：將球內(nèi)正四棱錐替換成其他常見幾何體(如三棱錐等)或平面圖形，如截面圓(2013年卷Ⅰ文15、2012年文8)、矩形(2011年理15)等；角度二：將球內(nèi)幾何體替換成球外幾何體，如將球放置于正方體上(2013年卷Ⅰ理6)等.不論幾何圖形如何變化，都可以通過培養(yǎng)學生利用截面的眼光尋找?guī)缀螆D形中的直角三角形，來強化球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

2.3注重對與球有關(guān)的幾何圖形畫圖能力的考查

例4.(2017·全國卷Ⅰ文·16)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.

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【備考策略】上述兩道試題的難點集中體現(xiàn)在幾何圖形的畫圖能力上，充分體現(xiàn)了幾何直觀素養(yǎng)的命題導向.其中，例4體現(xiàn)了靜態(tài)的幾何圖形，畫圖時需要引導學生選擇恰當?shù)膱D形(平面SAC或平面SBC)作為底面，例5體現(xiàn)了動態(tài)的幾何圖形，畫圖時需要引導學生選擇相對靜態(tài)的圖形(平面ABC)作為底面，不論哪種幾何圖形，在畫底面的直觀圖形時，都需要引導學生畫好水平基線.總之，球的復習備考要關(guān)注幾何圖形的畫法教學，培養(yǎng)學生的畫圖能力.

2.4指向與球有關(guān)的三視圖識圖能力的考查

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A.17π B.18π

C.20π D.28π

2.5著眼于幾何體內(nèi)最大球的考查

例7.(2016·全國卷Ⅲ理·10)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是

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【備考策略】與幾何體的外接球相比，全國卷很少考查幾何體的內(nèi)切球，例7的考查與內(nèi)切球有一定的聯(lián)系，但是能力要求較高.作為新興題型，復習備考可以考慮從常見幾何體的內(nèi)切球問題開始，掌握軸截面法和等體積法等基本方法，再復習幾何體內(nèi)的最大球問題，強化分類討論的思想方法，以及平面化的研究方法，從水平軸截面和豎直軸截面兩個維度求解幾何體內(nèi)最大球的半徑，突破新興題型.

3.一點感想