一題多解“論”變式，化歸思想“談”解法

李慶林

不等式恒成立問題貫穿于整個高中階段，筆者以高一初始階段的不等式恒成立為例，與學(xué)生共同復(fù)習(xí)總結(jié)判別式法、分離參數(shù)法等方法，通過一題多解來展開教學(xué)，從中滲透化歸思想，厘清解決不等式恒成立問題的基本方法.

1 巧設(shè)情境初探問題

在課堂教學(xué)中，開始階段非常重要，能夠影響學(xué)生整節(jié)課學(xué)習(xí)狀態(tài)，因此，數(shù)學(xué)教師必須重視上課初始階段.成功的開端教學(xué)能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，營造出民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維，提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在教學(xué)過程中，教師要重視吸引學(xué)生的注意力，發(fā)散他們的數(shù)學(xué)思維，使其快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).

在本節(jié)課中，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生回顧了以前學(xué)過的二次函數(shù)求最值的方法，要求他們完成當(dāng)x∈[2，4]時，求函數(shù)y=X2-2x+1的最大值和最小

值，（引導(dǎo)學(xué)生用初中所學(xué)的二次函數(shù)知識求解，為下面引出二次函數(shù)求最值的方法做鋪墊）.學(xué)生畫出函數(shù)圖象，觀察圖象得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)的最值及取得最值時自變量x的值，讓學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了當(dāng)對稱軸在區(qū)間[2，4]左側(cè)時的二次函數(shù)最值的求法.接著筆者再利用自制的拋物線教具結(jié)合黑板上已畫的直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生思考：“當(dāng)隨著拋物線的對稱軸落在給定區(qū)間[2，4]內(nèi)或右側(cè)時，如何求二次函數(shù)的最大值和最小值？”隨著問題解決過程的逐步深入，充分調(diào)動學(xué)生回憶起已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ).

2 變式訓(xùn)練積淀經(jīng)驗(yàn)

在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是講授新知識還是復(fù)習(xí)課都要用到變式訓(xùn)練，因此，變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了重要的作用.借助于變式訓(xùn)練，教師能夠?qū)栴}進(jìn)行不斷深化，學(xué)生也可以在熟悉的問題情境中不斷地訓(xùn)練，深入研究和探討問題，這就大大節(jié)約了讀題所需要的時間.此外，變式訓(xùn)練還能幫助學(xué)生深入理解問題，引導(dǎo)他們思考條件改變時結(jié)論如何變化，從而積淀對本類型題目的解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率.在實(shí)際教學(xué)中，筆者一直強(qiáng)調(diào)傳授學(xué)生解題方法，變式訓(xùn)練就是一種較好的授之以漁的訓(xùn)練方法，這也是我們核心素養(yǎng)教學(xué)根本之所在.

在課堂探究階段，筆者先給出引例：若關(guān)于x的不等式2x2-8x+4-a>o在x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生很快得到以下解法：

因此a的取值范圍為（一∞，-4）.

在教師進(jìn)一步地引導(dǎo)下，學(xué)生想到了參數(shù)分離法，從而化歸到求函數(shù)的最值問題.解法如下：

依題意得a<2x2—8x+4在x∈R上恒成立，

設(shè)函數(shù)g（x）=2x2—8x+4，

易知，當(dāng)x=2時，g（X）min=g（2）=-4，

故a的取值范圍為（一∞，-4）.

在正確解答問題的基礎(chǔ)上，筆者給出了上題的變式：

變式1 若關(guān)于x的不等式2x2-8x+4-a>o在X∈[I，4]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2 若關(guān)于x的不等式2x2-（a+8）x+4>o在X∈[1，4]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式3 若關(guān)于x的不等式2x2-（a+8）x+4>o在x∈[-2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

大部分學(xué)生能夠正確完成變式l，對于變式2，學(xué)生給出了兩種不同的解法.

解法1 由己知得ax<2x2-8x+4，

解法2設(shè)函數(shù)f（x）=2x2-（a+8）x+4，

函數(shù)f（x）在[1，4]上為減函數(shù)，

∴f（X）min=f（4）>0，

∴32-4a-32+4>0.

即a

在這基礎(chǔ)上再解答變式3，學(xué)生有了更廣闊的思維空間，在教師引導(dǎo)和學(xué)生自由選擇下，班上學(xué)生分成了兩組，分別按變式2的兩種方法完成了變式3的解答，然后通過生生討論和師生互動進(jìn)行對比總結(jié)，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生用參數(shù)分離法的時候，或者沒有對x分類，或者把每一類的結(jié)果求并集導(dǎo)致錯誤，而用另一種解法的學(xué)生，除了計算上的錯誤，沒有邏輯上的錯誤.通過以上變式的教學(xué)，讓學(xué)生感受到因題目條件的變化，而引起解題策略的變化，進(jìn)而提升了學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化水平.

3 對比研究開闊思路

在高中數(shù)學(xué)中，化歸思想的滲透要通過教學(xué)實(shí)例來達(dá)成，在對比研究過程中，學(xué)生可以開闊自己的思路，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維，在潛移默化中感受到化歸思想的妙處.在問題逐步轉(zhuǎn)換和求解過程中，學(xué)生能夠體悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略和化歸思想方法，總結(jié)出完整的解題思路，拓寬解題思維.在此，筆者采用了一題多解的形式，拓展學(xué)生的解題思路，滲透化歸思想.

圖象均不在函數(shù)J=-x圖象上方，求a的取值范圍.

分析上述三種解法，學(xué)生領(lǐng)略了解決恒成立問題的多種常見求解方法（化歸最值、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合），但是這些方法并非獨(dú)立存在，在具體解題實(shí)踐中要綜合考慮、活學(xué)活用，才能順利解決數(shù)學(xué)問題.但是，不管應(yīng)用哪一種解法，都需要通過化歸來得到函數(shù)求其最值進(jìn)行處理，體現(xiàn)了化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的重要性.

4 總結(jié)歸納鞏固方法

根據(jù)上述內(nèi)容，在高一年初始階段，我們可以總結(jié)得到解決恒成立不等式問題的思路：（l）直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值;（2）分離參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)法）;（3）數(shù)形結(jié)合.含參不等式恒成立問題涉及到非常多的知識點(diǎn)，解題方法也多種多樣，但是不管如何變化，核心思想還是等價轉(zhuǎn)化，只有抓住問題的本質(zhì)才能在解題時以不變應(yīng)萬變，這就要求教師要提升教學(xué)的質(zhì)量和效益，引導(dǎo)學(xué)生不斷地去領(lǐng)悟、體會和總結(jié).在課后，筆者也為班級學(xué)生布置了相應(yīng)的練習(xí)題，幫助他們鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容.

在本節(jié)課教學(xué)過程中，筆者始終堅持“教師主導(dǎo)”與“學(xué)生主動”同時并重，認(rèn)為“教師主導(dǎo)”與“學(xué)生主動”是相輔相成的，它們互相影響，相互促進(jìn)，兩者的理想狀態(tài)是達(dá)到和諧.同時，筆者要求學(xué)生要積極完成課堂練習(xí)，幫助遇到困難的學(xué)生積極應(yīng)對困難，引導(dǎo)他們親身體悟一題多解、化歸思想，確保每個人都能從中有所收益.筆者欣慰地看到，絕大多數(shù)學(xué)生能夠感受到化歸思想所帶來的解題樂趣，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到了有效提升.

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（本文系福建省“十三五”第一批中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人培養(yǎng)對象科研課題《基于化歸思想的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究》（課題編號：DTRSX2017021）的階段性成果之一）