借用三角換元妙解競(jìng)賽試題

方志平

三角換元是一種用三角函數(shù)代替問(wèn)題中的字母，然后利用三角函數(shù)之間的關(guān)系而達(dá)到解題目的一種代換方法.合理的三角換元，不僅能化繁為簡(jiǎn)，化難為易，而且能啟迪學(xué)生思維，拓寬視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.本文精選部分高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題為例，供讀者參考.

1 妙解有關(guān)整式問(wèn)題

例1 （2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試題）實(shí)數(shù)x，y滿足4x2—5xy+4y2=5，若S=X2+y2，___________.

評(píng)注 條件X2+y2=S讓我們聯(lián)想到圓的參數(shù)方程，利用三角換元，反解出S，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，求得p，q.其思想方法可謂匠心獨(dú)運(yùn)，令人贊嘆！

例2 （2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試題）若實(shí)數(shù)x，y滿足X2-2xy+5y2=4，則X2+y2的取值范圍是_________.

解 由X2-2xy+5y2=4，

評(píng)注 由本題條件X2—2xy+5y2=4，容易想到等式左邊配方（x-y）2+（2y）2=4，該式啟發(fā)我們類比圓的參數(shù)方程，借用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，再用三角運(yùn)算問(wèn)題迎刃而解.特別要注意，例l與例2因題目條件中結(jié)構(gòu)式不同，而采用的處理方法有別.

2 妙解有關(guān)根式問(wèn)題

例3 （2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽試題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足17（X2+y2）-30xy-16=o，則

評(píng)注 根據(jù)題設(shè)條件，經(jīng)過(guò)恰當(dāng)配方出現(xiàn)平方和為常數(shù)的關(guān)系式，于是想到三角換元.特別要注意的是4x-2y巧妙變形為3（x-y）+（x+y），為整體代入換元?jiǎng)?chuàng)造了有利條件.其構(gòu)思巧妙，方法新穎，獨(dú)辟蹊徑.

例4 （2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西省預(yù)賽試

評(píng)注 本題為一道含有兩個(gè)根式且求無(wú)理函數(shù)的值域問(wèn)題，直接進(jìn)行代數(shù)變形相當(dāng)困難.如果本題單純求最大值，則可考慮用柯西不等式求解.經(jīng)觀察、分析式子的結(jié)構(gòu)特征，令x=2+sin2 a（0≤a≤實(shí)乃新奇，構(gòu)思精巧，意境高遠(yuǎn).

例6 （2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試

解 函數(shù)定義域是[-l，1]，由于原函數(shù)是奇函數(shù)因求函數(shù)y的最大值，不妨設(shè)0

評(píng)注 本題條件中函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，我們不難想到三角換元，但巧用函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)的手段來(lái)求最大值，是很有創(chuàng)意的，且讓人耳目一新.

3 妙解有關(guān)絕對(duì)值問(wèn)題

例7 （2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽試

評(píng)注 本題進(jìn)行了兩次換元，我們不難發(fā)現(xiàn)，借用三角換元的關(guān)鍵在于通過(guò)對(duì)題中條件或結(jié)構(gòu)的有規(guī)律的“模式識(shí)別”，充分利用題目中的有效信息，積極思考，巧用化歸與轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)建合適合理的解題方法. 例8 （2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省預(yù)賽試題）已知x，y∈R，2x2+3y2≤12，則|x+2y|的最大值為_(kāi)_______.

評(píng)注本題除了借用三角換元求解以外，題目結(jié)構(gòu)特征也容易讓我們油然而生地想到用柯西不等式然流暢，豐富了學(xué)生的解題思想.

4 妙解有關(guān)解幾問(wèn)題

例9 （2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西省預(yù)賽試

對(duì)稱軸分別交于點(diǎn)A，B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值是____.

解設(shè)切點(diǎn)為P（5cosθ，3 sinθ），

則橢圓在點(diǎn)P處的切線方程為：

故線段AB長(zhǎng)度的最小值是8.

評(píng)注 借用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)切點(diǎn)P（5cosθ，3 sinθ），從而得出橢圓的切線方程，弦長(zhǎng)|AB|即可用三角函數(shù)表示，再巧用柯西不等式，問(wèn)題的瓶頸得了實(shí)質(zhì)性的突破！

綜上，一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題看似新奇，構(gòu)思精巧，意境深遠(yuǎn)，通過(guò)聯(lián)想、類比、變形，便可發(fā)現(xiàn)這些考題植根于三角函數(shù)，巧妙運(yùn)用三角換元，將問(wèn)題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化和化歸，不僅降低了解題難度，而且提高了解題效率，從而達(dá)到事半功倍的效果.