高等數(shù)學緒論課的教學策略與實踐

侯彩霞

（廣州南洋理工職業(yè)學院，廣東 廣州 510925）

緒論是一門課的先導(dǎo)，是課程的綱領(lǐng)，是教材的濃縮和內(nèi)容的引領(lǐng)。緒論課是學生學習一門新課程的指南，是建立新課程整體觀念的起步，能為學生回答“為什么學”“學什么”“怎么學”三個基本問題。同時每一位學生都渴望任課老師是一位學識淵博、謙遜有禮、思維縝密、樂觀進取、講授有方的人。每一位高校教師都應(yīng)該為學生上好第一課而精心設(shè)計、巧妙引入。良好的開端意味著成功的一半，如果上好了緒論課，能把握并利用好學生的求知心理，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，使他們懷著期待信心滿滿地投入到這門課程的學習,可以收到事半功倍的效果。為使學生從初等數(shù)學快速順利地過渡到高等數(shù)學的學習中，更好的使用好數(shù)學，來解決各自專業(yè)中遇到的實際問題，成長為高素質(zhì)的人才，越來越多的教師不斷探索緒論課的教學模式、講授策略、教學藝術(shù)等[1-4]。

“高等數(shù)學”是高等教育中的一門重要公共基礎(chǔ)課，大學教育中的其他數(shù)學課程以及專業(yè)課程幾乎都與高等數(shù)學相關(guān)，它以微積分為核心，體系完整，應(yīng)用廣泛，在培養(yǎng)學生抽象思維、邏輯能力和創(chuàng)新意識上起著舉足輕重的作用。所以，如何在學生進入大學后，學習高等數(shù)學課程的開始，就給學生以全面、準確、有效的引導(dǎo)，以期讓學生了解本課程的發(fā)展、內(nèi)容、思想、方法、意義、應(yīng)用等，并產(chǎn)生濃厚的學習興趣，成為緒論課的重要任務(wù)，因此，在教學中，從以下幾方面對緒論課展開了探索與實踐。

一、巧妙引入，勵志教育

在課堂開始，拋出這樣一個數(shù)字游戲，易知，1365=1，問題1：請同學們猜一猜“1.01365=?”“0.99365=?”。學生的答案幾乎都是與1差不多大小的數(shù)。這時，出示結(jié)果“1.01365≈37.7834，0.99365≈0.0255”，該答案與學生的猜測相距甚遠，引起學生思維的碰撞，激發(fā)學生的興趣。教師接著拋出問題2：這其中蘊含了什么道理，開始學生并無頭緒，教師加以引導(dǎo)，提示“如果1代表原地踏步，365代表一年的天數(shù)”，這時學生容易體會出這樣的道理：積跬步以致千里，積怠惰以致深淵。為了加深理解，教師給出“1.02365≈ 1377.4，0.98365≈ 0.0006”，引導(dǎo)學生體會出：“只比你努力一點的人，其實已經(jīng)甩你很遠”，這與“積土而為山，積水而為?！庇兄惽ぶ睢＿@時，教師激勵學生，新的學期開始了，大家每天多努力一點點，一年后肯定能有很大的進步與提升，努力遇見更好的自己，此時，學生信心百倍，充滿興趣，開始新課程的學習。

二、歷史介紹，提升認識

讀史可以明智，對學習一門課程來說，亦是如此。學生從小學階段就開始學習數(shù)學，并且數(shù)學在人生的重要轉(zhuǎn)折點都起著關(guān)鍵的作用，簡要介紹數(shù)學的發(fā)展史，幫助學生了解為什么要繼續(xù)學習數(shù)學，學習什么內(nèi)容，數(shù)學的發(fā)展程度等問題，起到引領(lǐng)作用，提升學生對數(shù)學的認識。

數(shù)學的發(fā)展可以歸結(jié)為以下幾個階段。數(shù)學的萌芽時期：遠古時代至公元前6世紀，這一時期的數(shù)學知識是零碎的，沒有命題的證明和演繹推理。常量數(shù)學時期：公元前6世紀至17世紀上半葉，具有比較系統(tǒng)的知識體系、比較抽象的并有獨立的演繹體系的學科。中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》是代表作。現(xiàn)在中學數(shù)學課程的主要內(nèi)容基本上是這一時期的成果。變量數(shù)學時期：公元十七世紀上半葉至十九世紀二十年代，迪卡爾的解析幾何學、牛頓-萊布尼茨的微積分及圍繞微積分理論和應(yīng)用而發(fā)展起來的一大批數(shù)學分支，使數(shù)學進入了一個繁榮的時代。近代數(shù)學時期：十九世紀二十年代至二十世紀四十年代。微積分基礎(chǔ)的嚴格化、近世代數(shù)的問世、非歐幾何的誕生、集合論的創(chuàng)立都是這一時期的成就?？涨暗膭?chuàng)造精神和嚴格化是其主要特點。現(xiàn)代數(shù)學時期：二十世紀四十年代至現(xiàn)在。以數(shù)學理論為基礎(chǔ)的計算機的發(fā)明使數(shù)學得到空前廣泛的應(yīng)用。泛函分析、模糊數(shù)學、分形幾何、混沌理論等新興數(shù)學分支產(chǎn)生，這些理論已進入大學高年級及研究生的學位課程中。

三、內(nèi)容思想，比較分析

高等數(shù)學的基本內(nèi)容為微積分學。微積分學是高等數(shù)學的核心，研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等分析性質(zhì)。

高等數(shù)學與初等數(shù)學的主要區(qū)別在于研究的對象和研究方法的不同；初等數(shù)學主要研究規(guī)則、平直的幾何圖形和均勻、靜止的、不變的、有限過程的常量；高等數(shù)學主要研究不規(guī)則、彎曲的幾何對象和非均勻、運動的、變化的、無限過程的變量。圖1以圖形對照的形式說明二者的區(qū)別和聯(lián)系。

圖1 初等數(shù)學與高等數(shù)學區(qū)別示例

微積分的出現(xiàn)，可以解決許多上述及其他應(yīng)用初等數(shù)學的知識無法解決的問題，大大推動了科技的進步及數(shù)學理論的發(fā)展，高等數(shù)學比初等數(shù)學更加全面，更加深刻，更加細微，更加本質(zhì)，更加理論化，更加系統(tǒng)化；從 研究“常量”發(fā)展到研究“變量”，從 研究“有限”發(fā)展到研究“無限”，初等數(shù)學更多地在“有限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“有限”為手段和工具進行討論；高等數(shù)學則更多地在“無限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“無限”為手段和工具進行討論。為了讓學生快速直觀的了解微積分，首先介紹其中蘊含重要思想的數(shù)學——無限，下面舉兩個例子說明之。

顯而易見0.9<1，0.99<1，0.999<1，那么問學生，是否有幾乎所有的學生都認為于是問學生比1小多少，有的學生回答是，0.000…1，那么該數(shù)是一個有限的數(shù)，與上面有限與無限數(shù)的差，結(jié)果不符，教師提出結(jié)論，學生聚精會神，但滿臉疑惑，這是教師給出證明，方法有多種，略舉如下。

看到教師給出的證明，學生既感到趣味盎然，眼神里又充滿疑惑，此時，教師引導(dǎo)學生，其實無限和有限存在既對立又統(tǒng)一的關(guān)系，我們要用辯證的觀點看待世界。

例2 “有無限個座位”的教室。

有限和無限的特點可以從下面的小故事反映出來。

無限的情況：把剛剛的教室和學生人數(shù)無限化，設(shè)甲班課堂中有學生無窮多個，記為教室中有無窮多個座位，編號為：此時，每人一個座位，很容易安排，令即可。問題是：又有乙班有學生無窮多個，記為，也要到該教室來上課，問能否實現(xiàn)每人對應(yīng)唯一的座位。引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)方法：即可。教師再拋出問題：該教室坐滿后，如果又來了無窮多個班級，且每個班級中都有無窮多個學生，還能否安排，使得每個學生一個座位？此時，學生積極思考，并已經(jīng)感受到“無限”的神奇魅力，“無窮大”正如此有效地激勵著學生的智力。引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)，在無限集合中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。建議學生課后了解“芝諾悖論”“阿基里斯追不上烏龜”等趣味問題，培養(yǎng)興趣，對比分析。

四、結(jié)合專業(yè)，互相聯(lián)系

隨著科技和社會的飛速發(fā)展，學科間知識的交叉和滲透越來越頻繁，高等數(shù)學這個工具被越來越多的應(yīng)用到生產(chǎn)、工作和社會活動中。例如，電氣工程的設(shè)計與計算、氣象站匯集的氣壓雨量等資料、藥物療效的分析、城市發(fā)展規(guī)劃的決策、工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)、成本、費用的優(yōu)化等都需要建立數(shù)學模型來解決問題?？梢哉f高等數(shù)學的應(yīng)用覆蓋到物理、化學、生物、醫(yī)學、經(jīng)濟管理、軍事戰(zhàn)爭等眾多不同學科領(lǐng)域以及日常生活中。以廣州南洋理工職業(yè)學院開設(shè)的專業(yè)為例，簡要論述高等數(shù)學在經(jīng)濟學、計算機領(lǐng)域以及日常生活中的應(yīng)用，闡述數(shù)學的實用價值，亦可激發(fā)學生學習興趣，促進數(shù)學與專業(yè)課的融合，進而使學生意識到學習高等數(shù)學的重要性和必要性。

1.數(shù)學在經(jīng)濟方面的應(yīng)用

有效的處理經(jīng)濟和社會合作活動中的效益分配問題，可以用Shapley值方法。經(jīng)濟中各部門之間投入產(chǎn)出的平衡關(guān)系，需要用矩陣的理論、代數(shù)方程等來更好的解決。微積分在經(jīng)濟分析中占舉足輕重的地位，對于一個企業(yè)來說，企業(yè)要獲得更好的發(fā)展，就要對經(jīng)濟問題的分析定量化、準確化和精密化。對導(dǎo)數(shù)概念的引入，用經(jīng)濟學中的生產(chǎn)成本的邊際效應(yīng)和金融資產(chǎn)價格對利率的敏感性引入，讓學生感覺數(shù)學“親近”得多。經(jīng)濟中諸如最低成本、最小費用、最大利潤等問題，在數(shù)學上可歸結(jié)為最值問題。經(jīng)濟中的邊際成本、邊際收益、邊際利潤、彈性分析，歸結(jié)為數(shù)學中的絕對變化率及相對變化率問題，要用導(dǎo)數(shù)的知識來解決。經(jīng)濟總量及變動分析、消費者盈余等問題，也要用微積分的知識。利用極限解決連續(xù)復(fù)利問題。例：本金A為1元，年利率r為100%，一年計息一次，則一年后的本利和為A(1+r)=2元。若一年分n次計算復(fù)利，則每期利率為一年后的本利和為可以看出，一年內(nèi)，計算利息的次數(shù)越多，一年后的本利和越大，但會不會無限增大呢？利用極限的知識，知k年后的本息和[5]。

2.數(shù)學在計算機方面的應(yīng)用

隨著人們對大容量數(shù)據(jù)的存儲需求，光盤制品的數(shù)據(jù)容量大小取決于信道的總長度和信道上存儲數(shù)據(jù)的線密度，如何使信息存儲最大化，信道長度的計算，需要建立螺旋線的極坐標下方程，根據(jù)極坐標下曲線弧長的微分，寫出螺旋線的式子，然后需要用到定積分的知識求解；計算機斷層成像（CT）技術(shù)的圖像重建，需要利用積分變換的公式、代數(shù)方程、矩陣的理論、迭代算法等知識來解決等；

3.數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用

計算平放的圓柱形油桶里還剩下多少油；求盤山公路的長度，即求光滑曲線弧長問題；湖泊中的含某污染物A的濃度不得超過國家規(guī)定指標，計算經(jīng)過多長時間，湖泊中污染物A的含量降至規(guī)定指標內(nèi)；藥品在體內(nèi)的含量隨時間的變化分布與排除問題；用定積分計算交流電路中電阻元件從電源吸收的平均功率；香煙過濾嘴的作用；人口的預(yù)測與控制等等，這些問題的解決，要用還可以繼續(xù)計算，到微分方程等知識。討論空氣污染問題，可以用馬氏鏈模型等?？荚囍袑W生作弊現(xiàn)象的調(diào)查與估計，亦可建立概率模型分析。這些例子讓學生感受到，生活中無處不用數(shù)學。

五、注重方法，提升能力

結(jié)合學生的認知水平及數(shù)學具有的概念的抽象性、推理的嚴謹性、結(jié)論的明確性、應(yīng)用的廣泛性和知識的積累特性等特點，告訴學生學習過程中應(yīng)注意：準確理解基本概念、正確理解基本定理和公式、掌握基本的計算技能；鼓勵學生探索這些基本概念和技巧在其他課程和學術(shù)研究中的延伸和應(yīng)用；掌握好重點與難點；注意每個問題的引例，還應(yīng)該把握好幾個關(guān)系：有限與無限的關(guān)系、靜止與變化的關(guān)系、離散與連續(xù)的關(guān)系。

實踐證明，采取以上教學策略的緒論課，受到學生的一致好評，學生了解本課程的歷史、基本內(nèi)容和思想、與專業(yè)課的聯(lián)系等，興趣盎然、信心滿滿，對繼續(xù)學習本課程充滿期待和探索的欲望。教師想要使緒論課更豐富、精彩、完善，需要結(jié)合學生的特點、專業(yè)特征及社會發(fā)展的需求，不斷的探索與實踐，與時俱進，在新時代新使命的社會背景下，探索新方法、新策略、新技巧、新藝術(shù)，使高等數(shù)學緒論課能更好地為本課程奠定基礎(chǔ)。