數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

劉昕

摘 要：對(duì)初中生而言，“形”比“數(shù)”更加形象，容易被理解、接受。從學(xué)生的興趣以及認(rèn)知出發(fā)，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思想是有必要的。在常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，融入數(shù)形結(jié)合思想，能夠保證學(xué)生在系統(tǒng)認(rèn)識(shí)“數(shù)”“形”聯(lián)系的前提下，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，理解與掌握問(wèn)題的解決策略以及方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-03-03 文章編號(hào)：1674-120X（2019）14-0039-02

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的必要性

（一）有助于推動(dòng)學(xué)科發(fā)展

從數(shù)學(xué)發(fā)展情況來(lái)看，數(shù)形結(jié)合思想當(dāng)中的“數(shù)”與“形”彼此影響，所以在數(shù)形結(jié)合教學(xué)法應(yīng)用的過(guò)程中，需要將“數(shù)”與“形”進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系，保證二者的深度融合，使學(xué)生可以全面掌握學(xué)科含義，從而深入了解數(shù)學(xué)問(wèn)題，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，從腦海中構(gòu)建完備的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）有助于提升教學(xué)質(zhì)量

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)法，可以有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)模式的改革創(chuàng)新，也是提升教學(xué)成果以及教學(xué)質(zhì)量的有效方法。教師向?qū)W生灌輸教學(xué)方法的時(shí)候，利用數(shù)形結(jié)合的方法有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)難題的轉(zhuǎn)化，以幫助學(xué)生全面、快速而又準(zhǔn)確地理解題目的意思。

（三）有助于啟發(fā)學(xué)生思維

數(shù)學(xué)學(xué)科與實(shí)際生活有著緊密的聯(lián)系，很多生活案例都具備不同的數(shù)學(xué)圖形。比如，每天氣溫變化造成了溫度計(jì)中水銀柱的刻度變化、過(guò)馬路的時(shí)候看到的路標(biāo)、學(xué)生做廣播體操的時(shí)候的站位等，都是由各種各樣的圖形所組成。假如可以引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)這些圖形，在思考以及分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，合理地使用數(shù)形結(jié)合的方法，特別是在一元二次方程以及不等式、反比例函數(shù)中，可以有效地簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生的思維，便于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

由此可見(jiàn)，只有在思想上充分地認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想，才可以更加深入地思考相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)相結(jié)合

“數(shù)”和“形”不單單是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個(gè)不同的對(duì)立面，同時(shí)也能夠有效解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。觀察是最能夠直接獲得感官認(rèn)知的方法，圖形則可以為這種獲得提供更大可能，實(shí)現(xiàn)對(duì)感官認(rèn)知的深入分析。事實(shí)上，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含了多種圖形性質(zhì)，聯(lián)系數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)貙?duì)它們進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜化的數(shù)字問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的形象，從而揭示出暗含的數(shù)量關(guān)系，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法。

比如，為了計(jì)算+++…+的數(shù)值，設(shè)計(jì)了邊長(zhǎng)是1的正方形紙片，在紙片上采用不同的標(biāo)記標(biāo)識(shí)出了整個(gè)面積的+++…，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合思想計(jì)算出當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，+++…+的數(shù)值。對(duì)剛接觸數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)生而言，該問(wèn)題難度較大，但是也并非是無(wú)法解決的。講解的時(shí)候，為了能夠方便學(xué)生理解問(wèn)題，教師可以選擇一塊正方形紙板，用剪刀剪掉整塊紙板的，然后再剪掉剩余部分的，得到整個(gè)圖形面積的，依此類推，最終

將減下來(lái)的紙板面積進(jìn)行相加，可以獲得+++…+

=1-。

（二）教材與數(shù)形結(jié)合思想的融合

教材對(duì)概念所做的表述較為抽象，同時(shí)對(duì)概念呈現(xiàn)的形式也并非是以現(xiàn)成結(jié)論展開(kāi)的，而是將概念界定融入知識(shí)探索過(guò)程中。在開(kāi)展概念教學(xué)的過(guò)程中，教師要將學(xué)生感性思維作為主要內(nèi)容，通過(guò)文字及數(shù)據(jù)傳遞，使學(xué)生可以在大腦中構(gòu)建表象。而幾何圖形能夠成為學(xué)生空間觀念以及感性認(rèn)知的知識(shí)載體，是初中生以形助學(xué)的關(guān)鍵形式。所以，概念教學(xué)需要注重引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)概念，認(rèn)識(shí)圖形對(duì)概念形成過(guò)程的重要性。概念教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)以形引數(shù)，有助于學(xué)生理解概念的產(chǎn)生過(guò)程，同時(shí)能夠利用圖形演示出概念本質(zhì)，提升學(xué)生的感悟能力。

例如，在探究數(shù)軸概念的時(shí)候，如果教師只是向?qū)W生講授教材中的概念，學(xué)生或許可以理解，可是當(dāng)學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的時(shí)候，學(xué)生就無(wú)法理解數(shù)和點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系了。包括在數(shù)軸后面需要學(xué)習(xí)的絕對(duì)值、相反數(shù)、平面直角坐標(biāo)系以及函數(shù)相關(guān)概念，依然是將數(shù)能夠在數(shù)軸上以點(diǎn)的方式呈現(xiàn)作為基礎(chǔ)而提出的。

（三）練習(xí)與數(shù)形結(jié)合思想的融合

數(shù)學(xué)練習(xí)貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師向?qū)W生講解題目答案，只可以暫時(shí)性地讓學(xué)生知道問(wèn)題的解決方法，想要保證學(xué)生可以正確地解答這類題目，需要充分使用數(shù)形結(jié)合的思想方法。在練習(xí)的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目所給出的已知條件實(shí)現(xiàn)由數(shù)變形，或者是由形化數(shù)，而并非就題論題，并將獲得正確答案作為根本目標(biāo)。數(shù)形結(jié)合思想在解題當(dāng)中的應(yīng)用目標(biāo)是充分發(fā)揮數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及邏輯性、形的形象性與直觀性，二者之間相輔相成、相互滲透，選擇合理化的方法，以提升解題的速度，提升答案的正確率。

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候，每個(gè)章節(jié)對(duì)應(yīng)的習(xí)題做法都是相仿的，可是依然有很多學(xué)生在多次練習(xí)以后，還會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，導(dǎo)致這類現(xiàn)象產(chǎn)生的原因在于學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的解答方法掌握得不夠透徹。例如，在二元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，y1=kx+a，y2=kx+b，在y1>y2的時(shí)候，通過(guò)確定圖像焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式求解，只要知道函數(shù)的圖像交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)不等式解集產(chǎn)生影響，再次遇到這類題目就會(huì)想出解決的方法與思路。

（四）教學(xué)方法與數(shù)形結(jié)合思想的融合

1.邏輯列舉法

教師在使用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，可以嘗試?yán)眠壿嬃信e法的形式讓學(xué)生搭建“數(shù)”“形”間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系。邏輯列舉法實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生充分理順數(shù)學(xué)知識(shí)在“數(shù)”與“形”上的呈現(xiàn)形式，并且打通二者的脈絡(luò)。例如，y=-x2-3x-，在x取何值的時(shí)候，y能夠隨著x的增大而不斷增大？x取何值的時(shí)候，y會(huì)隨著x的增大而不斷減??？很明顯，如果單純看這個(gè)函數(shù)，學(xué)生可以想到的最為常見(jiàn)的方式就是利用多次賦值代入的形式加以驗(yàn)證，可是這類方法耗時(shí)相對(duì)較長(zhǎng)，對(duì)驗(yàn)證次數(shù)有最低的要求。對(duì)這類情況，數(shù)形結(jié)合的工具就可以派上用場(chǎng)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用描點(diǎn)法的形式繪制圖像如下：

利用圖形，y的遞增遞減關(guān)系可以很清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，在x<-3的時(shí)候，y伴隨著x的增大而不斷增大;在x>-3的時(shí)候，y隨著x的增大而不斷減小。此外，y軸與x軸之間的交點(diǎn)坐標(biāo)也可以很清晰地呈現(xiàn)在圖像上。

2.案例模擬法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)是解決實(shí)際問(wèn)題。教師在講授數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候，可以使用案例模擬法提升學(xué)生解決問(wèn)題的基本能力。將“一次函數(shù)”作為實(shí)例，如某個(gè)工地派了48人運(yùn)土與挖土，假如每人每天可以挖5方土，運(yùn)輸3方土，挖土與運(yùn)土人數(shù)該如何分配才能夠及時(shí)地運(yùn)走所有挖出的土？該問(wèn)題就是一個(gè)實(shí)踐性的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)問(wèn)題在實(shí)際生產(chǎn)中的具體應(yīng)用。在解決該問(wèn)題的時(shí)候，需要學(xué)生列出方程組，采用圖像法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，比如將挖土的人數(shù)設(shè)定為x，運(yùn)土人數(shù)設(shè)定為y，根據(jù)題目可以列出：

根據(jù)方程組能夠繪制出圖像：

然后就可以根據(jù)圖像求出其最優(yōu)解?？傮w來(lái)看，案例模擬法主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生可以實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的有效融合，真正掌握以及使用數(shù)形結(jié)合的思想。

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合需要關(guān)注的問(wèn)題

教師在傳遞數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中，不僅需要在備課過(guò)程中加強(qiáng)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系性，也要在課堂教學(xué)中注重以下問(wèn)題：

第一，掌握概念形成的幾何意義以及代數(shù)意義，從形、數(shù)兩個(gè)方面探究題目當(dāng)中的已知條件。在習(xí)題處理的過(guò)程中，確定參數(shù)范圍，在條件已然成立的時(shí)候，合理地使用參數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化。第二，正確地描繪草圖。在畫圖不夠準(zhǔn)確或者存在誤差的情況下，不僅無(wú)法使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化，同時(shí)還會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜化或者得出錯(cuò)誤結(jié)論。例如，在畫示意圖的時(shí)候，要嚴(yán)格規(guī)范尺規(guī)作圖，假如將一些不相等的線段均等化，或者是將圖形的長(zhǎng)短畫反、圖形大小不一，會(huì)在問(wèn)題分析的過(guò)程中導(dǎo)致錯(cuò)覺(jué)，最終得出錯(cuò)誤結(jié)論。第三，除了知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程中需要推導(dǎo)知識(shí)數(shù)形以外，在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，通常圖形也能夠提供數(shù)的信息。

此外，在做題的時(shí)候，要認(rèn)真閱讀題目?jī)?nèi)容，理清題干。當(dāng)遇到題目相對(duì)較長(zhǎng)的情況下，不要著急理清思路，要作出相應(yīng)的圖，一旦題意理會(huì)錯(cuò)誤，后續(xù)再怎么做也是錯(cuò)誤的。教師在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，要充分理解初中生思維比較狹隘的特征，在開(kāi)展教學(xué)工作的時(shí)候要強(qiáng)化引導(dǎo)，充分培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的意識(shí)，并且在一題多解的時(shí)候盡量講解每種方法，使學(xué)生能夠深刻感受。學(xué)生在面對(duì)不同題型的時(shí)候要畫不同的圖形，每一種題目都有對(duì)應(yīng)的做法，如遇到了方程組題目就需要列出方程式，并且畫出交點(diǎn)坐標(biāo);如選擇錯(cuò)誤的方法，就會(huì)出現(xiàn)卡住的現(xiàn)象，導(dǎo)致思路受阻，會(huì)浪費(fèi)較多時(shí)間，同時(shí)也會(huì)對(duì)學(xué)生答題水平的發(fā)揮產(chǎn)生影響。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中合理使用數(shù)形結(jié)合的思想能夠提升實(shí)際的教學(xué)效果，同時(shí)可以充分活躍課堂的氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。在創(chuàng)新教育的過(guò)程中，如果數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用不得當(dāng)，會(huì)產(chǎn)生相反的效果。為了提升數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用效果，需要采用更加靈活、多變的方法，克服教學(xué)中存在的各種弊端。

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