企業(yè)相互持股下的Hotelling拓展模型及其均衡分析

關(guān) 菲， 韓樹新， 任建勇

(1.河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050061; 2.國網(wǎng)河北省石家莊供電公司，河北 石家莊 050000)

0 引言

產(chǎn)品定價在廠商營銷管理中具有重要地位。通常，廠商會綜合考慮市場需求量、目標(biāo)利潤、市場波動等因素進而制定有效的產(chǎn)品定價方案。然而，近年來隨著產(chǎn)品差異化的逐步減小，產(chǎn)品的替代性逐步增強，價格競爭變得越來越激烈。產(chǎn)品如何有效定價問題引發(fā)國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。關(guān)于產(chǎn)品定價研究，Hotelling模型是一個很重要的工具。1883年，Bertrand[1]首次提出了企業(yè)間的價格競爭模型，其主要結(jié)論是，同質(zhì)的企業(yè)在進行價格競爭時，最終結(jié)果是定價等于邊際成本，企業(yè)利潤為零。而這與現(xiàn)實是不相符的，被稱為 Bertrand悖論。1979年，D’Aspremont等人[2]提出了一種解決Bertrand悖論的方法。他們在Hotelling區(qū)位競爭模型[3]中加入了價格競爭，使企業(yè)可以序貫選擇位置與產(chǎn)品價格，得到的最終結(jié)論是：為使得利潤最大化，企業(yè)會選擇生產(chǎn)具有最大化差異的產(chǎn)品，此時產(chǎn)品的價格不再等于邊際成本，而企業(yè)也有了正的利潤。之后，很多學(xué)者對Hotelling模型進行了拓展和應(yīng)用，取得了很多重要的研究成果。比如：文獻[4]針對市場中存在價格領(lǐng)先者和跟隨者的情況，分析了兩廠商在選址固定情況下進行先后定價的Stackelberg均衡。文獻[5]針對現(xiàn)代市場中廣泛存在廠商先后進入的情況，基于 Hotelling 模型構(gòu)建了線性市場上二次運輸成本下兩廠商水平競爭的完全序貫決策模型，兩廠商先后同時選址與定價的博弈模型、兩廠商先同時選址再同時定價的博弈模型、兩廠商先同時選址再先后定價的博弈模型，并對模型進行了對比分析。文獻[6]考慮到網(wǎng)絡(luò)外部效用的廣泛存在性與對稱性，對傳統(tǒng)的Hotelling模型加以改進，分價格競爭和策略選擇兩個階段，對雙寡頭壟斷廠商的定價策略進行了博弈分析。文獻[7]將 Hotelling模型的 Stackelberg價格均衡引入到B2B電子商務(wù)網(wǎng)站的 IT 投資決策模型和終端產(chǎn)品外包決策中，探討了各參數(shù)變化對投資和外包決策的影響。文獻[8,9]求解了反恐防御競爭均衡和非對稱雙邊競爭均衡。文獻[10]分析了爭奪廣告和讀者的報紙出版商市場上的Hotelling競爭及政治分化問題。文獻[11]探討了同時考慮生產(chǎn)技術(shù)和勞動力投入的空間競爭Hotelling模型。文獻[12,13]討論了Hotelling模型在諸如考慮擁塞負效應(yīng)、雙邊平臺競爭、產(chǎn)品多維特征空間等情形下的應(yīng)用。

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第1部分中，我們給出了模型的具體設(shè)定并對均衡結(jié)果進行了討論，討論了均衡存在的條件；第2部分，分析了參數(shù)變化對均衡結(jié)果的影響。第3部分，結(jié)論與研究展望，討論了如何用實證方法驗證該模型所得的結(jié)論，并討論了本文文章一些可能的拓展方向。

1 模型假設(shè)及模型均衡分析

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)某市場上有兩家生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)，分別記為廠商1與廠商2，均勻分布在長度為1的“線性市場”。它們共同為消費者提供產(chǎn)品，每個消費者對產(chǎn)品有1單位的需求，該單位產(chǎn)品對消費者產(chǎn)生的效用為v(假設(shè)v足夠大，使得任何位置的消費者都會購買其中一家廠商的產(chǎn)品)。x位置的消費者若選擇購買廠商i(i=1,2)的產(chǎn)品，其效用函數(shù)為

ui(x)=v-pi-τ(x-li)2

(1)

其中l(wèi)i為廠商i的位置，(x-li)2是消費者的交易成本，pi是廠商i確定產(chǎn)品的價格，v與τ均是公共信息。

由對稱性，我們假定l1≤l2。當(dāng)l1=l2時，兩個廠商均分所有市場份額；當(dāng)l1

v-p1-τ(x-l1)2=v-p2-τ(x-l2)2

(2)

此時很容易得出：兩廠商的市場需求分別為：q1=x*，q2=1-x*。

此外，我們假定廠商1和廠商2相互持有彼此的股份。具體來說，廠商1持有自己λ的股份(λ>1/2)，持有廠商2的(1-λ)的份額；廠商2持有自己λ的股份，持有廠商1的(1-λ)的份額。因此，每個廠商在做決策時，不再單純使自己的盈利極大化，還要考慮對方的盈利。因此，廠商1與廠商2的利潤函數(shù)分別為

(3)

參考文獻[5]，假設(shè)廠商1與廠商2選址與定價的決策順序為：

第1步，兩個廠商同時選定自己的位置l1與l2；

第2步，給定兩個廠商選定的位置，雙方再同時決定產(chǎn)品的價格p1和p2。由此，雙方選擇 (l1,p1)與(l2,p2)以極大化自己的最終收益。

此兩階段完全信息Stackelberg博弈模型可簡述為如下優(yōu)化問題:

(4)

1.2 均衡結(jié)果分析

分析模型(4)，我們可給出如下定理：

定理1當(dāng)廠商的位置l1與l2給定時，雙方的定價為

(5)

(6)

證明廠商 1 的問題為

容易看出

二階條件滿足。

注1當(dāng)λ=1時，我們有

這就是D’Aspremont等人最初考慮的模型所得到的結(jié)論。

注2考慮廠商采用對稱策略，即當(dāng)l1+l2=1時，雙方的定價為

注2說明了對廠商1而言，減小l1，即增大產(chǎn)品差異化程度時，x*會減小，從而它會損失市場份額。同理，對廠商 2而言，增大l2，x*會增大，也會損失自己的市場份額。又由于之前的討論，增大產(chǎn)品差異化程度，會使得自己產(chǎn)品的價格增大，從而，選擇最優(yōu)的l即在產(chǎn)品定價高低與市場份額的大小之間的權(quán)衡。

定理2記λ*為方程4λ2(2λ-1)-1=0的唯一實根。則當(dāng)λ*<λ≤1時，若限制廠商只能在(0,1)上選址，則有

(7)

(8)

若不限制廠商在(0,1)上選址，則有

(9)

(10)

從而，廠商 1 的問題為：

一階條件為：(2λ-1)(l1+l2)(l2-3l1)-4(4λ3-3λ+1)l1+4λ×(2λ2-λ-2)=0,廠商 2 的問題為：

一階條件為(2λ-1)(l1+l2)(3l2-l1)-4(4λ3+λ-1)l2+4λ(2λ2+λ+1)=0,雙方的一階條件相加，得(l2-l1-λ(2λ+1))(l1+l2-1)=0，考慮對稱解，即l1+l2=1的解，代入一階條件，得

且有

2×(4λ3-3λ+1))

2×(4λ3+λ-1))

當(dāng)4λ2(2λ-1)>1, 即λ*<λ≤1時，有

其中λ*是4λ2(2λ-1)-1=0的唯一實根，為0.7328。又由于

由此可見，在企業(yè)間相互持股時，最優(yōu)的選擇仍是追求產(chǎn)品的最大差異化。因此，我們可得出如下結(jié)論：

(1)當(dāng)不限制廠商的選址范圍時，

可計算出兩廠商的利潤為

(2)當(dāng)限制廠商的選址范圍時，若限制廠商只能在(0,1)上選址，則有

可計算出兩廠商的利潤為

當(dāng)λ=1時，上述結(jié)果與文獻[5]的結(jié)果一致。說明了本文模型是文獻[5]中模型的廣義拓展。

2 模型參數(shù)分析

本部分我們討論持股參數(shù)λ的變化對均衡結(jié)果的影響。我們可求

并且

這說明了隨著λ的下降，也即隨著相互持有對方股份比例的增大，廠商均會追求更大的產(chǎn)品差異化，并且差異化的速度越來越快。這一過程如圖 1 所示。

此外，還可計算得

這說明了隨著相互持有對方股份比例的增大，價格會逐漸上升，并且增長幅度越來越快，從而利潤越來越大，這一過程如圖2所示。

3 結(jié)論與研究展望

本文主要討論了企業(yè)相互持股下的區(qū)位競爭模型，得到的主要結(jié)論如下：隨著相互持有對方股份比例的增大，企業(yè)會生產(chǎn)更具差異化的產(chǎn)品，以獲得更大的利潤。并且，隨著相互持股比例的增大，企業(yè)追求產(chǎn)品差異化的速度是越來越快的。但本文研究中也存在一定的不足，如：在本文研究中并沒有給λ*這個分界點一個合理的經(jīng)濟學(xué)解釋。這也是我們接下來要研究的問題。

除此之外，本文也給實證檢驗提供了一個理論參考。我們考慮如下計量模型：

yij,t=αi+αj+γt+δλij,t+ηλij,t+Xitβ+vij,t

其中，y為衡量產(chǎn)品差異化的指標(biāo)，α為個體效應(yīng)，γ為時間效應(yīng)，λ為文章所述的企業(yè)i在企業(yè)j中的股權(quán)持有比例，X為其他的一些控制變量。此回歸模型主要關(guān)注參數(shù)δ與η是否顯著為正。此模型的最大難點在于y應(yīng)采用何種度量方式。在一個行業(yè)中，我們一般只有產(chǎn)品的工業(yè)數(shù)據(jù)，但是單純用這些數(shù)據(jù)來衡量產(chǎn)品的差異化程度似乎不足以說明問題。比如著名的手機品牌iPhone與Galaxy S系列，其系統(tǒng)軟件覆蓋量不一，硬件層面上，從處理器到屏幕都各有不同，如何數(shù)字化度量這些差異，實際上是考察產(chǎn)品差異化程度的最大難點。

該模型還有一些其他的拓展方向。比如，在真實環(huán)境中，人們的成本τ包括主觀成本與客觀成本，那么綜合起來，它應(yīng)該是私人信息。因此有兩個值得拓展的方向，第一，在異質(zhì)性條件下 (即每個位置的消費者的成本不一致，為τx)，消費者如何通過發(fā)送有干擾的信號來實現(xiàn)自己的成本，從而影響企業(yè)的定價的。第二，企業(yè)如何通過有成本的搜索消費者的個體信息來實現(xiàn)最優(yōu)定價的。當(dāng)涉及到私人信息時，得到的結(jié)論應(yīng)該與本文得到的結(jié)論有所不同。以上分析均是本文下一步要研究的工作。