三角恒等變換中數(shù)學運算能力培養(yǎng)

朱慶華

【摘要】在高中數(shù)學的學習中，運算能力是極為重要的三大基本能力之一，主要是對數(shù)學概念與公式的靈活運用能力.在實際的高考試題中，對運算能力的考查是極為基礎(chǔ)的一部分，融入每一道題目的考查中.因此，本文主要以三角恒等變換為例，對目前教育模型中數(shù)學運算能力培養(yǎng)存在的問題、在分析問題的基礎(chǔ)上結(jié)合具體教學實例提出一些改進意見.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);恒等變換;數(shù)學運算能力

高中階段數(shù)學的學習壓力極大，學生需要學習的內(nèi)容多，且難度也較大，因此，教師在進行教學時，需要高度重視學生的基礎(chǔ)能力培養(yǎng)，幫助學生更好地學習數(shù)學，在高考階段取得更好的數(shù)學成績，為此要格外重視學生的運算能力的培養(yǎng)，只有具備扎實的運算能力基礎(chǔ)，才能較好地面對高考數(shù)學靈活的考查方式.下面主要以三角恒等變換為例對學生數(shù)學運算能力進行探討思考.

一、三角恒等變換的特點

選擇三角恒等變換作為學生運算能力培養(yǎng)的研究點，有兩個主要原因：第一，三角恒等變換涉及的三角函數(shù)公式較多，其主要內(nèi)容就是通過對基礎(chǔ)三角函數(shù)的公式進行分析，學習各種公式之間轉(zhuǎn)變的方法.在高考的考查中，對三角函數(shù)公式的內(nèi)容極為重視，考查方法也靈活多變，是對學生運算能力考查的重點章節(jié).第二、三角恒等變換的內(nèi)容邏輯性較強，對這一類問題的研究分析有助于學生的邏輯思維成長，數(shù)學運算能力不是盲目運算，而是在嚴密的邏輯論證的基礎(chǔ)上進行推理運算.因此，三角恒等變換知識是高中數(shù)學中展現(xiàn)數(shù)學運算能力的一部分，需要廣大教師同仁重視其中對學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)意義.

二、對三角恒等變換培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力的具體建議

高考試題中，三角函數(shù)的考查一般在第17題，當然在選擇題與填空題中也一定會考查，17題的難度一般不大，只要學生熟悉三角函數(shù)考查的一般模式，可以避免失分.其中極為關(guān)鍵的一點就是利用三角恒等變換將題中較為復雜的三角函數(shù)關(guān)系式進行轉(zhuǎn)化，變成y=Asin（ωx+φ）+k的形式，但是在實際高考中，往往會存在運算能力不足，導致丟分的情況，因此，筆者對這一部分內(nèi)容的教學有以下幾點意見.

（一）加強公式的理解與運用

對三角函數(shù)變換公式，教師在教學中，不能僅僅做簡單介紹，要更加全面地為學生講解其具體含義，增強學生對公式的理解與記憶.對三角恒等變換的推導過程可以簡單總結(jié)如下：首先對較為簡單的余弦兩角和公式進行推導，之后在這一公式的基礎(chǔ)上，利用誘導公式推導出正弦函數(shù)的兩角和、差公式;之后在利用上述公式與同角三角函數(shù)關(guān)系式導出正切的三角恒等變化公式.而后對兩角和公式等進行講解說明.

（二）重視運算策略的講解說明

運算能力的提高在高中階段主要是為了更好解答高考問題，而在三角函數(shù)的高考考查中，一般會設(shè)置較為巧妙的解答方式，因此，教師要重視靈活運算策略的講解.三角恒等變換涉及的考查方面多種多樣，在三角函數(shù)求值、化簡、證明以及幾何問題的解答中都會用到三角恒等變換.學生在面對這一類問題時需要學會靈活運用運算策略，在加深三角變換公式理解運用的同時，發(fā)展邏輯思維能力，理解高中數(shù)學解題中存在的內(nèi)在聯(lián)系.

三、高考實例講解

（一）函數(shù)名變換

在一些求值問題中，為了更好解答問題，需要減少或統(tǒng)一出現(xiàn)的三角函數(shù)式，這里需要進行函數(shù)名變換，是函數(shù)歸一思想的體現(xiàn).這對一些較難題目而言是打開思路的一個重要突破口，近年來對這一方面的考查不多，因此，簡單介紹其中的解答思路.例如，2008年重慶高考試題，f（x）=sinx5+4cosx，求該三角函數(shù)關(guān)系式的值域.這其實是一道選擇題，本文中以一個大題來進行講解，這一題如果不將函數(shù)歸一處理，解答邏輯就比較混亂，得出的答案可能不準確.要解答這一題，首先要認識到x是一個未知數(shù)，定義域范圍是實數(shù)集，因此，可以將x認為是x2的兩倍，在利用二倍角公式將原式化簡，得到21-cos2x2cosx21+8cos2x2，這一式子乍一看可能更加復雜，但是實際上只涉及一個三角函數(shù)式，再對值域進行討論就清晰許多.

（二）將數(shù)字代換為三角函數(shù)式

數(shù)學問題的考查要靈活運用一些潛在條件，例如，在三角函數(shù)中，對一些實數(shù)要充分認識到這些實數(shù)背后可能的三角函數(shù)意義，而在許多情況下需要將三角函數(shù)式中的具體數(shù)字改寫為三角函數(shù)式，如1=sin2x+cos2x以及各種特殊角的三角函數(shù)值，這是對數(shù)學認識的更進一步，對數(shù)學運算能力的提高意義重大.例如，14年課標卷理科卷1中：已知a，b為兩個銳角，且滿足函數(shù)式tana=1+sinbcosb，求這兩個角之間的關(guān)系.這里不僅僅需要將b變換為二倍角，還需要將1轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)式，最終得出tana=sin2b2+cos2b2+2sinb2cosb2cos2b2-sin2b2，最終得到tana=sinb2+cosb2cosb2-sinb2=tanb2+11-tanb2.按照正切兩角和公式可以得到tana=tanb2+45°.

四、結(jié) 語

綜上所述，三角恒等變換這一節(jié)的內(nèi)容對學生數(shù)學運算能力的要求較高，在學生的實際反映中，出現(xiàn)了許多關(guān)于計算能力弱，運算簡潔性不足，這在高考中會造成不必要的失分.因此，在進行高中數(shù)學的講解時，要重視學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)，提高運算的效率與質(zhì)量.

【參考文獻】

[1]葉琪飛.注重解題技巧，優(yōu)化恒等變換——高中數(shù)學三角恒等變換解題技巧概述[J].高中數(shù)學教與學，2017（2）：44-46.

[2]李莉.高中生三角恒等變換學習困難研究[D].漳州：閩南師范大學，2017.