化歸思想在數(shù)學應用中的五種思維形態(tài)

姬梁飛

摘 ? ?要：化歸思想不是一成不變的，它是發(fā)展的、創(chuàng)新的.隨著教育條件和學習環(huán)境的變化，它的教育形態(tài)是升華的、多元的、趣味的、易親近的.教師應該研究化歸思想的意境與魅力，運用教育智慧和教學邏輯去自然綻放其在應用過程中的思維形態(tài).

關鍵詞：化歸思想;數(shù)學知識;教育形態(tài);數(shù)學思維

一般地，數(shù)學界將數(shù)學知識的存在形式分為原始形態(tài)、學術形態(tài)及教育形態(tài).原始形態(tài)的知識被認為是客觀的、稚嫩的、尚待完善的，學術形態(tài)的知識被認為是美麗的、高貴的、冰冷的.國際數(shù)學教育委員會前主席H.弗賴登塔爾曾評論道，任何一種數(shù)學思想的公開發(fā)表形式均非是它當初被發(fā)現(xiàn)時的模樣，一旦它被作為解決問題的工具時，就相應地發(fā)展成某種形式化的技巧，至于它的求解與發(fā)現(xiàn)過程則被漠視在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗[1].教育形態(tài)的數(shù)學知識是知識在教育環(huán)境下所呈現(xiàn)的形態(tài)，也是需要教育工作者進行轉化的知識形式.張奠宙教授曾主張將數(shù)學知識的學術形態(tài)轉換為教育形態(tài)，并作為數(shù)學教學的基本目標之一[2].他認為，學術形態(tài)的數(shù)學往往表現(xiàn)成一種冰冷的美麗，教育形態(tài)的數(shù)學卻是一種火熱的思考[3].化歸是轉化和歸結的合稱，它是一種思維方法，是提升學生數(shù)學素養(yǎng)的利器.化歸思想的構建與完善經(jīng)歷了原始形態(tài)和學術形態(tài)，數(shù)學教育工作者的職責是把它的學術形態(tài)轉換為合適的教育形態(tài).重視教育語言與學術語言的表述差異、教育形態(tài)與學術形態(tài)的知識功能差異、學生與教師的思維層次差異.教師需要引導學習主體深刻理解隱藏“冰冷美”背后的知識本質和思維過程，讓化歸思想的“冰冷的美麗”回歸于學習者的“火熱思考”，用教育智慧和邏輯去表達與轉化，充分暴露化歸思想形成的思維形態(tài).本文謹從化歸思想在數(shù)學應用中的五種思維形態(tài)入手，闡釋化歸思想在應用中的一般路徑.

一、從合情推理到公理系統(tǒng)的演繹

思維的推演離不開化歸思想，邏輯系統(tǒng)是數(shù)學中應用化歸思想比較顯著和高度集中的一個板塊.早期，人們根據(jù)已有的事實或問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、比較得到一些合乎情理的推理論斷，這種推演方法主要是類比和歸納，也統(tǒng)稱為合情推理.例如，類比平面直角三角形中的勾股定理（a2+b2=c2），推演出空間直角四面體的性質，即三個直角面的面積平方和之和等于斜面的面積平方（S12+S22+S32=S2）.這些推理過程借助化歸思維，將三維空間“降維”為二維空間，用二維空間圖形性質類推立體圖形性質.演繹推理是從已知的一般原理出發(fā)，推出研究對象在某種特殊情況下具有的性質，帶有拋磚引玉、借古諷今、以舊引新的意蘊.波利亞曾指出“合情推理是冒險的、有爭議的、暫時的”.事實上，演繹推理，既要有合情推理的成分，又要有論證推理的證明.后來，歐幾里得利用演繹推理將《原本》轉化為一個典型的邏輯系統(tǒng)，用盡可能少的原始概念和不需證明的原始公設.這種公理化方法在數(shù)學發(fā)展史上具有豐碑式的不朽價值，它基本上完善了初等幾何理論體系，此后這種公理化方法被迅速應用到社會科學和自然科學領域.正如波利亞所言，歐幾里得幾何不僅是一個公理系統(tǒng)，而且是此類系統(tǒng)中的第一個，也是最了不起的一個，其他科學領域已經(jīng)而且至今都在努力模仿[4].

化歸思想是如何滲透其中的呢？首先，化歸方法有助于幾何學研究對象的確立.幾何學的研究內容繁多，需要通過化歸方法將煩瑣的幾何要素歸結為最普遍情形予以考察.研究幾何問題，只需抓住幾何研究要素中的本質特征，即研究對象：點、線、面.其次，公理系統(tǒng)的建立需將系列的、具體的事實概括、轉化、歸結為一般公設、公理.從這些公設、公理出發(fā)，超越事物的具體表象，尋求幾何世界里的普遍規(guī)律，利用化歸與演繹方法，將公理、公設逐步推演出467條定理.最后，化歸思想促進歐氏幾何公理系統(tǒng)的不斷完善.在認識世界的過程中，人們通過觀察、實驗、推理等方式獲得知識經(jīng)驗，這些經(jīng)驗的真理性、完備性、相容性都需要得到檢驗和辨別.從邏輯結構上看，初等幾何理論作為一個封閉的演繹體系，從基本假設演繹出眾多復雜的結論，從一般原理到特殊問題的推理，這些結論和推理都需要經(jīng)過嚴格的數(shù)學證明，而證明思路的發(fā)現(xiàn)、構建、實施，除了必要的邏輯規(guī)則外，較大程度上還需依賴于基本的數(shù)學思想方法，尤其是化歸方法.通過化歸方法的輔助證明，幾何公理系統(tǒng)更加條理化、系統(tǒng)化，走向相容和完備，最終趨于成熟和完善.

二、從具體表征到數(shù)學抽象的歸結

從哲學角度看，表象與本質是人們研究事物外部表現(xiàn)和內部聯(lián)系的一對辯證法概念.表象是事物外部的具體表現(xiàn)，本質是事物內在的根本屬性，兩者是辯證統(tǒng)一的，表象反映本質，本質決定事物的內涵和發(fā)展趨向.在實踐中，需要去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，最后實現(xiàn)從現(xiàn)象到本質、從不深刻到更深刻的無限過程[5].從心理學角度看，事物表征分為表象、圖式以及認知地圖.一方面它代表著客觀事物形態(tài)，并反映客觀事物的特征.另一方面，它是外界事物在人們心理活動中的再現(xiàn)，是人們心理活動需要持續(xù)加工、建構的目標對象.轉化思想在具體表征和數(shù)學抽象之間的轉換有雙層內涵.具體來說，有兩種體現(xiàn)，以無限觀為基礎的極限論和以坐標系為基礎的數(shù)形互化.

綜上所述，研究化歸思想的思維形態(tài)有利于優(yōu)化數(shù)學知識的教育形態(tài)，升華數(shù)學知識的學術形態(tài)，將數(shù)學知識真正轉化為數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)，將隱藏在“冰冷的美麗”背后的數(shù)學本質、數(shù)學思維呈現(xiàn)出來.化歸思維也能夠引發(fā)學生的合情思考，領會知識的來龍去脈，提升學生探求知識的愿望，這種愿望才是他們持久學習的內驅力.

參考文獻：

[1]FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures[M]. Dordrecht： Reidel， 1983： 9.

[2]張奠宙.關于數(shù)學知識的教育形態(tài)[J].數(shù)學通報，2001（5）：2.

[3]張奠宙，王振輝.關于數(shù)學的學術形態(tài)和教育形態(tài)——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J].數(shù)學教育學報，2002（2）：1-4.

[4]波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011：198.

[5]列寧.列寧全集（第38卷）[M].中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局，編譯.北京：人民出版社，1986：239.

[6]徐利治.論無限——無限的數(shù)學與哲學[M].大連：大連理工大學出版社，2018：14-29.