透過(guò)全等思想看中考題中的線段關(guān)系

宮慶軍

(山東省淄博市博山中學(xué) 255200)

在歷年的中考中經(jīng)常出現(xiàn)三角形及隱形三角形(需添加輔助線)的問(wèn)題，問(wèn)題涉及到線段的關(guān)系，有位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，此時(shí)考生能否順利完成試題的關(guān)鍵是要有全等的思想和類比的思想，抓住這兩點(diǎn)可能問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.下面就幾個(gè)中考的題或者經(jīng)典的題做論述.

例1(經(jīng)典)如圖，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作兩個(gè)等邊△ABM和△CAN．D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)E，求證：DE=EF．

解題分析本題中多個(gè)中點(diǎn)會(huì)聯(lián)想到中位線定理，進(jìn)而作輔助線MC和BN，它們的關(guān)系就是DE和EF的關(guān)系，等邊三角形中有相等的邊和角自然想到△AMC和△ABN的全等問(wèn)題，進(jìn)而證得MC=BN，所求問(wèn)題依據(jù)中位線定理自然解決了.具體過(guò)程不再贅述.

例2(淄博中考)(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是____；位置關(guān)系是____．

(2)類比思考：如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB>AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)深入研究：如圖③，小明在(2)的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究．向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．

解題分析和例1比較它把外接等邊三角形換成了等腰直角三角形，使問(wèn)題變得復(fù)雜了，GM與GN的關(guān)系可能就不止是相等這么簡(jiǎn)單了，應(yīng)該能想到是垂直關(guān)系，先猜測(cè)再去證明是關(guān)鍵.此類問(wèn)題均是從一個(gè)三角形出發(fā)，向外作幾何圖形，從而產(chǎn)生問(wèn)題，讓學(xué)生作答，抓住全等三角形這個(gè)工具，同時(shí)體會(huì)類比思想的重要性.

∴MG=NG，MG⊥NG.故答案為：MG=NG，MG⊥NG.

(2)連接CD，BE，相交于H，同(1)的方法得MG=NG，MG⊥NG.

(3)連接EB，DC，延長(zhǎng)線相交于H.

同(1)的方法得MG=NG.

同(1)的方法得△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，∴∠DHE=90°，同(1)的方法得MG⊥NG．

例3(濟(jì)南中考)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1、S2、S3.

(1)猜想S1、S2、S3的大小關(guān)系,深入研究;

(2)請(qǐng)對(duì)(1)的猜想，任選一個(gè)關(guān)系進(jìn)行證明；

(3)若將圖1中的Rt△ABC改為圖2中的任意△ABC，若S△ABC=5，求出S1+S2+S3的值；

(4)若將圖2中的任意△ABC改為任意凸四邊形ABCD，若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=a，四邊形ABCD的面積為____.(直接用含a的代數(shù)式表示結(jié)果)

解題分析此題和淄博中考題類似，它外接的是正方形，內(nèi)部圖形無(wú)論怎么變化，它的解題思路不變，利用全等找出相等的線段關(guān)系，進(jìn)而證得面積相等，不過(guò)它的線段相等更具有隱藏性，輔助線的作法稍微有點(diǎn)難度，更加考驗(yàn)考生的思維能力.具體思路如下：很容易得到S3=S△ABC.進(jìn)一步猜想其它的兩個(gè)三角形面積也等于S△ABC，此時(shí)需要證明它們的高或底邊相等，延長(zhǎng)FA至H作EH⊥AH，由△ABC≌△AEH得到EH=BC，進(jìn)而得到S1=S△ABC，進(jìn)而得到S1=S2=S3，用類比的思想就能解決后面的問(wèn)題.

全等三角形的運(yùn)用一直是數(shù)學(xué)的重要組成部分，它就像數(shù)學(xué)中的一個(gè)根源所在，許多問(wèn)題皆由它而來(lái)，它涉及了幾何中最重要的角和線段的關(guān)系.不僅在于它讓學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的幾何證明方法，也讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.它具有很大的靈活性，也具有一定的難度，有時(shí)候找不到哪兩個(gè)三角形全等，此時(shí)就要從三角形全等的性質(zhì)入手，具體數(shù)學(xué)問(wèn)題具體分析，體現(xiàn)了學(xué)生的各種綜合能力.全等三角形知識(shí)是幾何教學(xué)的中軸線，是基礎(chǔ)，是代數(shù)和幾何連接的紐帶.