淺析數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

肖厚國(guó)

摘? 要：數(shù)學(xué)在高等教育階段扮演著舉足輕重的角色，大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模思想一直發(fā)揮著重要的作用，它對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和解決問(wèn)題的能力，有著非常重要的意義。在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候滲透數(shù)學(xué)建模思想，加強(qiáng)了實(shí)際生活及專業(yè)知識(shí)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，能夠強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。最后用實(shí)例說(shuō)明，數(shù)學(xué)建模思想對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)? 數(shù)學(xué)建模思想? 線性規(guī)劃? 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G623.5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-3791（2019）03（c）-0133-02

數(shù)學(xué)是工科院校必不可少的基礎(chǔ)課程，是一門博大精深的科學(xué)，其具有概念的抽象性、結(jié)論的明確性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性與體系的完整性等特性，也是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程中，一直與各種各樣的問(wèn)題相聯(lián)系。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展與計(jì)算機(jī)的日益普及，人們對(duì)問(wèn)題的解的要求也越來(lái)也精確，這不可避免地使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來(lái)越普及、深入;并且依靠數(shù)學(xué)對(duì)所研究問(wèn)題的建模技術(shù)與強(qiáng)大的求解能力，使得其在自然科學(xué)、工作技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，數(shù)學(xué)的理論和方法已經(jīng)滲透到社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)模型是描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的圖形、數(shù)學(xué)公式或算法，一般是由字母、數(shù)字或者其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成。它根據(jù)問(wèn)題本身固有的規(guī)律，做一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具得到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)完整的過(guò)程，在理清問(wèn)題后，進(jìn)行數(shù)據(jù)搜集，建立模型求解并對(duì)答案進(jìn)行解釋，并逐步修改模型，因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模過(guò)程的同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的信息加工能力，它能彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的不足，更注重知識(shí)的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)公共課由于課程的特性——概念多、性質(zhì)多、公式多、抽象難懂，輕應(yīng)用，很多學(xué)生學(xué)起來(lái)沒(méi)有興趣。而在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，融入數(shù)學(xué)建模思想，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂的效率，還能能夠最大限度地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力。

1? 大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)存在的問(wèn)題

目前在普通高等院校中公共課的教學(xué)現(xiàn)狀不容樂(lè)觀，存在著數(shù)學(xué)教學(xué)中理論教學(xué)與實(shí)踐脫節(jié)、學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的缺失等問(wèn)題。數(shù)學(xué)公共課課程側(cè)重理論，概念多、性質(zhì)多、公式多、抽象難懂，過(guò)分強(qiáng)調(diào)教材，按部就班，不能因材施教，沒(méi)有專業(yè)針對(duì)性，使學(xué)生覺(jué)得大部分?jǐn)?shù)學(xué)課程缺乏應(yīng)用性，空洞，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題能力不足;部分學(xué)生還存在著錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的唯一用途就是用來(lái)應(yīng)付各種數(shù)學(xué)考試;很多學(xué)生學(xué)起來(lái)沒(méi)有興趣，教師上課也沒(méi)有積極性，教學(xué)效果不佳。這些問(wèn)題的存在影響著學(xué)生數(shù)學(xué)思維及應(yīng)用能力的培養(yǎng)及創(chuàng)新實(shí)踐能力的形成，缺乏能激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的積極性，缺少培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的能力，不利于培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。

2? 數(shù)學(xué)建模思想的主要概念

數(shù)學(xué)建模是一門十分重視理論聯(lián)系實(shí)際的課程，它有別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程，它需要學(xué)習(xí)眾多的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、解析幾何、數(shù)學(xué)分析、微分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)、圖論等課程，其以實(shí)際問(wèn)題為載體，把數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)編程有機(jī)結(jié)合，融知識(shí)性、啟發(fā)性、實(shí)用性和實(shí)踐性于一體。簡(jiǎn)單地講， 數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)等相關(guān)學(xué)科知識(shí)，建立模型解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科。數(shù)學(xué)建模的主要分為以下幾個(gè)步驟：建模準(zhǔn)備→基本假設(shè)→模型建立與求解→模型分析→模型的檢驗(yàn)。

數(shù)學(xué)建模首先去了解要解決問(wèn)題的實(shí)際背景，掌握對(duì)象的信息，明確建模的目的。在建模過(guò)程中，需要對(duì)采集的信息進(jìn)行加工整理，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化比較具體的、復(fù)雜的問(wèn)題原型，來(lái)把握其本質(zhì)屬性，將那些反映問(wèn)題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來(lái)，形成對(duì)建模有用的信息資源與前提條件，即把那些對(duì)我們關(guān)心的問(wèn)題影響甚微的因素忽略掉，使得所建模型不會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)太復(fù)雜而失去數(shù)學(xué)可解性。在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條件，建立各個(gè)量之間的等式或者不等式關(guān)系，確定其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具與構(gòu)造模型的方法對(duì)其進(jìn)行表征，構(gòu)造出刻畫實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)已知條件與數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出求解模型的數(shù)學(xué)方法和算法，特別是需要輔助計(jì)算機(jī)編程，完成對(duì)模型的求解。最后根據(jù)建模的目的、要求，對(duì)模型求解的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行變量間的依賴關(guān)系分析，或進(jìn)行靈敏度、穩(wěn)定性、誤差等方面的分析，如果不符合要求，重新建模;如果符合要求，可以對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)、優(yōu)化、預(yù)測(cè)。模型分析符合要求以后，必須回到實(shí)際中對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

3? 建模思想在數(shù)學(xué)公共課教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)上的不少概念、方法或理論，有些本身就來(lái)自在現(xiàn)實(shí)生活中的原型，高等數(shù)學(xué)中許多重要的概念是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，如極限、導(dǎo)數(shù)和積分等，在數(shù)學(xué)公共課教學(xué)過(guò)程中，在引入數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容時(shí)，我們首先要鉆研教材，挖掘出應(yīng)用數(shù)學(xué)的材料進(jìn)行篩選、加工、應(yīng)用，對(duì)原有的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，找出一些通俗易懂的實(shí)例，盡量以實(shí)際問(wèn)題引出抽象概念，再回到實(shí)際應(yīng)用中去。如在講重要極限時(shí)，可引入如下例子，以便加深理解：設(shè)某地當(dāng)年的人口總數(shù)為a0，人口增長(zhǎng)率為r，問(wèn)t年后該地區(qū)的人口總數(shù)為多少？若人口每年增長(zhǎng)一次，則t年后該地區(qū)的人口總數(shù)為a0（1+r）t，而這種方法與實(shí)際不吻合，因?yàn)槊繒r(shí)每刻都有人出生，若單位時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)率相同，如一年分為12個(gè)月，每個(gè)月增長(zhǎng)率相同，則t年后該地區(qū)的人口總數(shù)為，如果把一年分為n期，當(dāng)n→∞時(shí)的極限即為則t年后該地區(qū)的人口總數(shù)。通過(guò)這個(gè)式子，讓學(xué)生掌握一些數(shù)學(xué)建模的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在講導(dǎo)數(shù)幾何意義和積分以后，引入盯梢和追擊模型：甲乙二人，乙對(duì)甲進(jìn)行盯梢，即乙與甲保持一定距離，甲沿直線運(yùn)動(dòng)，乙盯著甲而動(dòng)，求乙的運(yùn)動(dòng)路線。在建立模型時(shí)需要建立坐標(biāo)系，使y軸為甲運(yùn)動(dòng)的直線，設(shè)乙開始時(shí)在x軸上的點(diǎn)（a，0），甲在原點(diǎn)，設(shè)乙運(yùn)動(dòng)軌跡為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得到以下式子，上式為盯梢的數(shù)學(xué)模型。積分可以得到解，從上式可知，當(dāng)時(shí)，;但，說(shuō)明乙開始在甲的側(cè)方盯著甲而動(dòng)，但后來(lái)受到甲的牽曳。

再比如在講解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，研究在一組線性約束條件下，求解線性函數(shù)的最值問(wèn)題。引用如下例子，建立運(yùn)輸規(guī)劃和分配模型：設(shè)某種物質(zhì)需要分別從n個(gè)產(chǎn)地A1，A2，...，An運(yùn)往m個(gè)經(jīng)銷地B1，B2，...，Bn，每個(gè)產(chǎn)地的產(chǎn)量分別為a1，a2，...，an，每個(gè)經(jīng)銷地的銷量分別為b1，b2，...，bn，從產(chǎn)地Ai到Bj的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為cij，問(wèn)如何調(diào)運(yùn)可使中運(yùn)輸成本最少？該問(wèn)題屬于線性規(guī)劃的運(yùn)輸問(wèn)題，只要有產(chǎn)銷平衡和不平衡兩種。設(shè)從產(chǎn)地Ai到經(jīng)銷地Bj的運(yùn)輸量為xij，當(dāng)產(chǎn)銷平衡時(shí)有，其標(biāo)準(zhǔn)模型為;約束條件為：，，;當(dāng)產(chǎn)量之和大于銷量之時(shí)，有，其標(biāo)準(zhǔn)模型為;約束條件為：，，xij≥0，;當(dāng)產(chǎn)量之和小于銷量之和時(shí)，有，其標(biāo)準(zhǔn)模型為;約束條件：，，。通過(guò)上述引例，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在一些實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生在生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。

4? 結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)建模思想，能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，提高大學(xué)生的自學(xué)能力和理解能力，在潛移默化中提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，能夠?qū)旧蠈W(xué)到的理論知識(shí)和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型加以分析，利用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、物理等相關(guān)學(xué)科知識(shí)解決問(wèn)實(shí)際題，并且能夠促進(jìn)學(xué)科與學(xué)科的融合，提高大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)大學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，開拓學(xué)生的知識(shí)視野。

參考文獻(xiàn)

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