“統(tǒng)計(jì)與概率”易錯(cuò)警示錄

丁 霞

易錯(cuò)警示1 對(duì)總體、個(gè)體等概念理解有誤

例1為了了解果園1000棵果樹(shù)的掛果情況，從中抽取了50棵果樹(shù)的掛果情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，則這個(gè)問(wèn)題中的總體、個(gè)體、樣本各是多少？

【錯(cuò)解】總體是1000棵果樹(shù)，個(gè)體是每棵果樹(shù)，樣本是50棵果樹(shù)。

【分析】總體、個(gè)體、樣本都是對(duì)考查對(duì)象而言，這里考查對(duì)象是果樹(shù)的掛果情況而不是果樹(shù)。

易錯(cuò)警示2 樣本的抽取缺乏代表性

例2為制定本市七、八、九年級(jí)學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門(mén)準(zhǔn)備對(duì)200名初中男生的身高做調(diào)查，現(xiàn)有三種方案：

（1）測(cè)量體校中200名男子籃球、排球隊(duì)隊(duì)員的身高；（2）查閱有關(guān)外地200名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料；（3）在本市和郊區(qū)各任選三所初級(jí)中學(xué)，在這六所學(xué)校所有的年級(jí)（1）班中，用抽簽的方法分別選出15名男生，然后測(cè)量他們的身高。為了達(dá)到估計(jì)本市初中三個(gè)年級(jí)男生身高分布的目的，你認(rèn)為采用上述哪種調(diào)查方案比較合理？

【錯(cuò)解】采用方案（2）比較合理。

【分析】在運(yùn)用抽樣調(diào)查的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)收集時(shí)，一定要保證所抽取的樣本具有代表性。要判斷一個(gè)樣本相對(duì)于總體而言是否具有代表性，一看樣本中調(diào)查范圍的大小，一般來(lái)說(shuō)，范圍過(guò)小不具備代表性；二看樣本是否具有普遍性，是否能反映總體的一般情況；三看抽樣是否隨機(jī)。在本題中，體校男子籃球、排球隊(duì)隊(duì)員的身高一般高于一般學(xué)生，樣本的選取比較特殊，所以這樣的樣本不具有代表性；外地學(xué)生的身高由于地域或生活條件的差異，也不能準(zhǔn)確地反映本地學(xué)生身高的實(shí)際情況；方案（3）中的抽樣方法符合隨機(jī)的原則，而且考慮到了年級(jí)、市郊的區(qū)別，樣本中個(gè)體的數(shù)目也比較合適，樣本具有代表性。

【正解】方案（3）比較合適。

易錯(cuò)警示3 統(tǒng)計(jì)圖的局部夸大或縮小帶來(lái)的視覺(jué)誤導(dǎo)

例3某廠家將甲、乙兩種品牌產(chǎn)品連續(xù)三年單價(jià)變化情況制成不同的兩種圖：

問(wèn)：上圖中哪一個(gè)產(chǎn)品價(jià)格增幅較大？

【錯(cuò)解】明顯甲品牌產(chǎn)品價(jià)格增幅較大。

抽象思維的形成需要反復(fù)的練習(xí)，通過(guò)練習(xí)，可以幫助學(xué)生更好地理解概念性的知識(shí)，并對(duì)課文內(nèi)容進(jìn)行拓展延伸，讓學(xué)生學(xué)以致用。對(duì)此，在高中物理教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)好練習(xí)題，讓學(xué)生多練習(xí)，在練習(xí)中發(fā)散思維，提升抽象思維能力[4]。如，在教習(xí)完《牛頓第二定律》后，教師可以布置作業(yè)，讓學(xué)生針對(duì)汽車(chē)拐彎、汽車(chē)過(guò)橋等現(xiàn)象建立模型，結(jié)合這方面的知識(shí)，讓學(xué)生做相關(guān)的練習(xí)，進(jìn)而使學(xué)生知道這些現(xiàn)象都是圓周運(yùn)動(dòng)的特例。值得注意的是，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)，要確保題目難度適中，符合學(xué)生能力范疇，繼而更好地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

【分析】?jī)蓤D放在一起，給人的視覺(jué)是甲種品牌產(chǎn)品價(jià)格增幅較大，乙種品牌產(chǎn)品價(jià)格增幅趨向平緩。我們計(jì)算一下甲、乙兩種品牌產(chǎn)品連續(xù)三年價(jià)格增幅。甲種品牌產(chǎn)品單價(jià)由80元漲到100元，漲幅是25%，由100元漲到120元，漲幅是20%；乙品牌產(chǎn)品單價(jià)由40元漲到50元，漲幅是25%，由50元漲到60元，漲幅是20%。不難看出，甲、乙兩種品牌產(chǎn)品價(jià)格增幅是相同的。統(tǒng)計(jì)在現(xiàn)代商業(yè)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)和社會(huì)生活中有著廣泛的應(yīng)用，當(dāng)我們看到任何統(tǒng)計(jì)分析的最終結(jié)果時(shí)，務(wù)必十分謹(jǐn)慎。統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們要弄清樣本的大小及取樣方法，合理選擇，制作統(tǒng)計(jì)圖要有一定的整體比例，不能夸大局部的作用。

【正解】甲、乙兩種品牌產(chǎn)品價(jià)格增幅是相同的。

易錯(cuò)警示4 對(duì)三個(gè)事件的概念理解不透徹

例4 下列說(shuō)法中：①“任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的正好是5次”是必然事件；②“概率為0.0001的事件”是不可能事件；③“任意畫(huà)出一個(gè)等邊三角形，它是軸對(duì)稱(chēng)圖形”是必然事件；④“小明購(gòu)買(mǎi)了一張福利彩票，正好中獎(jiǎng)”是確定事件。其中正確的是（填序號(hào)）________。

【錯(cuò)解】①②③④。

【分析】任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的有可能是5次，但不一定是5次，因此是隨機(jī)事件，①錯(cuò)誤；概率為0.0001的事件也有可能發(fā)生，因此是隨機(jī)事件，②錯(cuò)誤；等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，因此是必然事件，③正確；購(gòu)買(mǎi)一張彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，不確定是否中獎(jiǎng)，因此是隨機(jī)事件，④錯(cuò)誤。

【正解】③。

易錯(cuò)警示5 忽視等可能性的條件

例5兩個(gè)正四面體骰子的各面上分別標(biāo)明數(shù)字1、2、3、4，如果同時(shí)投擲這兩個(gè)正四面體骰子，則著地的面所得的點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為多少？

【錯(cuò)解】因?yàn)橹氐囊幻纥c(diǎn)數(shù)之和最小為2，最大為8，共有7種不同的結(jié)果，所以著地的一面的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是

【分析】著地的一面點(diǎn)數(shù)之和是2、3、4、5、6、7、8的結(jié)果不是等可能的，從樹(shù)狀圖分析：

可看出，共有16種情況，著地的面點(diǎn)數(shù)之和等于5的情況共有4種，則此種情況出現(xiàn)的概率為

【正】著地的一面的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是

易錯(cuò)警示6 不能正確理解頻率與概率

例6 小亮與小明做投骰子（質(zhì)地均勻的正方體）的試驗(yàn)與游戲。他們共做了50次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如下：

根據(jù)此次試驗(yàn)，小亮說(shuō)：“根據(jù)試驗(yàn)，出現(xiàn)1點(diǎn)朝上的概率最大?！彼恼f(shuō)法正確嗎？為什么？

【錯(cuò)解】正確。理由：“1點(diǎn)朝上”出現(xiàn)了10次，因此出現(xiàn)1點(diǎn)朝上的概率是0.2，是最大的。

【分析】此次試驗(yàn)50次，“1點(diǎn)朝上”出現(xiàn)了10次，因此頻率是0.2，但“根據(jù)此次試驗(yàn)，說(shuō)明出現(xiàn)1點(diǎn)朝上的概率最大”不正確，因?yàn)橹挥挟?dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率才趨近于概率。

【正解】不正確，因?yàn)橹挥挟?dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率才趨近于概率。本次試驗(yàn)只進(jìn)行了50次，試驗(yàn)次數(shù)少，有偶然性，不能說(shuō)明問(wèn)題。