重視“好題”講評(píng)，研發(fā)“一題一課”
——以一道縣區(qū)模考題為例

筅江蘇省南通田家炳中學(xué) 嚴(yán) 莉

不少地區(qū)都是以地級(jí)市為單位組織中考命題，所轄的各縣區(qū)在模擬考試中的命題導(dǎo)向往往都會(huì)精準(zhǔn)應(yīng)對(duì)中考試卷.這些模擬卷中常常會(huì)出現(xiàn)一些精彩的原創(chuàng)題、好題，如何發(fā)揮這些好題的講評(píng)功能，提高學(xué)生解題能力，讓學(xué)生從“解一題”走向“會(huì)解題”的能力發(fā)展呢？近期，筆者針對(duì)本地區(qū)一道?？碱}研發(fā)了一節(jié)“一題一課”考題講評(píng)課，取得了較好的講評(píng)效果，引發(fā)幾點(diǎn)思考，現(xiàn)整理成文，供研討.

一、“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 考題呈現(xiàn)，一題多解

考題：如圖1，△ABC的角平分線BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所對(duì)的邊記分別為a、c.

（1）當(dāng)c=2時(shí)，求a的值；

教學(xué)預(yù)設(shè)：由于第（1）問(wèn)方法很多，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)交流、梳理不同解法后，再全班展示、互相學(xué)習(xí)不同解法.我們預(yù)設(shè)一些解法的思路，以便學(xué)生還沒有出現(xiàn)類似解法時(shí)進(jìn)行思路的啟發(fā).

思路1：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E.結(jié)合角平分線性質(zhì)，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，則BE=

圖2

由BE=BD，得點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，則AD⊥BD.則a=c=2.

思路2：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.結(jié)合外角∠ABH=60°，在Rt△ABH中，BH=c=1，于是可證△ABH△ABD，從而可得∠BDA=90°，進(jìn)一步再證△ABD△CBD，問(wèn)題獲得突破.

圖3

圖4

思路3：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H.在Rt△BDH中，∠ABD=60°，BH=，于是AH=.在Rt△ADH中，可利用銳角三角函數(shù)求出∠ADH=60°.在Rt△BDH中，∠BDH=30°，則BD⊥AC，于是可證△ABD △CBD，從而問(wèn)題獲解.

思路4：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，分別求出BH=.在Rt△ADH中，可利用銳角三角函數(shù)求出∠A=30°，于是由三角形內(nèi)角和可得∠C=30°，則BC=AB=2.

思路5：如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥BC于點(diǎn)G.分別求出BH=，DH=DG=.在Rt△ADH中，可利用銳角三角函數(shù)（或利用三角形相似）求出∠A=30°，于是由三角形內(nèi)角和可得∠C=30°，即BC=AB=2.這種思路比思路4要繁冗，教學(xué)中如果學(xué)生構(gòu)造了兩條垂線段，可以畫在黑板上收集起來(lái)，對(duì)這一小問(wèn)來(lái)說(shuō)有些思維回路，但是對(duì)后續(xù)問(wèn)題的探索是有效的輔助線.

圖5

圖6

思路6：如圖6，過(guò)點(diǎn)D作DM//BC，交AB于點(diǎn)M.先證△BDM是等邊三角形，得BM=BD=1，于是AM=1，接下來(lái)有不少路徑，比如，由DM=AM=BM，可得∠ADB為直角，從而獲得思路貫通；或再證△ADM △ACB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊之比可得BC=2.

限于篇幅，我們不再展示其他思路.據(jù)本題的閱卷報(bào)告，該題多達(dá)20多種方法，教學(xué)時(shí)安排學(xué)生展示出5~8種即可，不必太多，有些路徑相近的可歸到一類解法，如果本質(zhì)上不一樣，要引導(dǎo)學(xué)生敘述它們的不同點(diǎn)，辨析解法的不同也是需要重點(diǎn)培養(yǎng)的能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 拾級(jí)而上，前后呼應(yīng)

問(wèn)題“題干”不變.

（2）求△ABC的面積（用含a、c的式子表示即可）；（要求：至少給出兩種不同解法）

（3）求證：a、c之和等于a、c之積.

教學(xué)預(yù)設(shè)：在第（1）問(wèn)充分探究多種解法之后，第（2）問(wèn)表示△ABC的面積也有很多思路，學(xué)生應(yīng)該能想出多種方法，這里仍然安排學(xué)生進(jìn)行多解展示交流.以下也預(yù)設(shè)幾種解法.

思路1：如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD于點(diǎn)G.

圖7

圖8

思路2：如圖8，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，用含a的式子表示出CH=a.于是S△ABC=AB×CH=

圖9

以上兩種思路都是基于面積法，這時(shí)注意啟發(fā)學(xué)生對(duì)比兩種解答結(jié)果的不同，并檢查過(guò)程中有無(wú)錯(cuò)漏，如果確認(rèn)無(wú)錯(cuò)，進(jìn)一步可將成果擴(kuò)大得出考題第（3）問(wèn)的解答.比如，通過(guò)上面兩種面積表示方法a，就可直接獲解.另外，學(xué)生還可以從上一問(wèn)其他解法得出解答，這里再提及一種思路，如圖9，過(guò)點(diǎn)C作CE//AB，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.可證出△BCE為等邊三角形，所以BE=EC=BC=a，所以DE=a-1.由△CDE△ADB，得所以整理可得a+c=ac.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 變式再練，拓展挑戰(zhàn)

【變式改編】定義：在△ABC的邊AC上取一點(diǎn)D，連接BD.當(dāng)時(shí)，稱線段BD為△ABC的“比例線”.

已知，如圖1，△ABC的“比例線”BD的長(zhǎng)為1，且∠ABC=120°.

（1）當(dāng)AD=CD時(shí)，求BC的長(zhǎng).

（2）△ABC的內(nèi)角∠A、∠C所對(duì)邊是a、c.

①求證：a+c=ac.

（***供學(xué)有余力的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)***）

②分析a、c之和有沒有最小值.如果有，求出它的最小值；如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問(wèn)所給強(qiáng)化條件“點(diǎn)D恰為AC的中點(diǎn)”與原考題的第（1）問(wèn)的強(qiáng)化條件是等價(jià)的，學(xué)生可以從不同角度進(jìn)行突破，有效反饋這節(jié)課的講評(píng)效果.

（2）①對(duì)應(yīng)著上文考題的第（3）問(wèn)，這里略去思路.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.發(fā)揮“一題多解”的教學(xué)功能，促進(jìn)學(xué)生深刻理解關(guān)聯(lián)知識(shí)

一題多解是不少經(jīng)驗(yàn)型教師在解題教學(xué)時(shí)經(jīng)常進(jìn)行的，但是一題多解不能只是簡(jiǎn)單地展示一道習(xí)題的多樣化解法，甚至無(wú)度展示、炫耀不同解法，這對(duì)于提高解題教學(xué)效率無(wú)甚益處.我們認(rèn)為，要努力通過(guò)一題多解促進(jìn)學(xué)生深刻理解與考題相關(guān)聯(lián)的不同知識(shí)點(diǎn)，這才是有意義的.上文考題的第（1）問(wèn)雖然不難，但通過(guò)一題多解的展示、對(duì)話、互評(píng)，能促進(jìn)學(xué)生理解角平分線、60°角、直角三角形、相似三角形、面積法等很多數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).可見開展一題多解的教學(xué)，需要深刻理解考題的結(jié)構(gòu)，還要想清不同解法對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)是否適合本課時(shí)的復(fù)習(xí)目標(biāo).

2.注重變式再練的檢測(cè)反饋功能，結(jié)合學(xué)情相機(jī)給出拓展問(wèn)題

在上文“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們最后給出了“變式再練”，通過(guò)改編設(shè)計(jì)成一道“新定義”習(xí)題，實(shí)質(zhì)上仍然是三角形的角平分線帶來(lái)的比例性質(zhì).結(jié)合學(xué)情，如果多數(shù)學(xué)生都能順利掌握所講評(píng)的問(wèn)題，可相機(jī)給出拓展問(wèn)題，讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)最后一問(wèn)，這一問(wèn)涉及高中“基本不等式”，但是優(yōu)秀學(xué)生利用八年級(jí)就學(xué)習(xí)過(guò)的配方法也可進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.順便提及，這個(gè)拓展問(wèn)題是受一道江蘇高考填空題的啟發(fā)而改編的.當(dāng)然，如果班級(jí)整體學(xué)情不好，對(duì)前面所講評(píng)的不同解法沒有充分消化理解，則這個(gè)拓展提升就不必呈現(xiàn)，這也正是“相機(jī)教學(xué)”的又一內(nèi)涵.