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      重視“好題”講評(píng),研發(fā)“一題一課”
      ——以一道縣區(qū)模考題為例

      2019-06-25 01:56:34筅江蘇省南通田家炳中學(xué)
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年10期
      關(guān)鍵詞:好題平分線過(guò)點(diǎn)

      筅江蘇省南通田家炳中學(xué) 嚴(yán) 莉

      不少地區(qū)都是以地級(jí)市為單位組織中考命題,所轄的各縣區(qū)在模擬考試中的命題導(dǎo)向往往都會(huì)精準(zhǔn)應(yīng)對(duì)中考試卷.這些模擬卷中常常會(huì)出現(xiàn)一些精彩的原創(chuàng)題、好題,如何發(fā)揮這些好題的講評(píng)功能,提高學(xué)生解題能力,讓學(xué)生從“解一題”走向“會(huì)解題”的能力發(fā)展呢?近期,筆者針對(duì)本地區(qū)一道??碱}研發(fā)了一節(jié)“一題一課”考題講評(píng)課,取得了較好的講評(píng)效果,引發(fā)幾點(diǎn)思考,現(xiàn)整理成文,供研討.

      一、“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)

      教學(xué)環(huán)節(jié)(一) 考題呈現(xiàn),一題多解

      考題:如圖1,△ABC的角平分線BD=1,∠ABC=120°,∠A、∠C所對(duì)的邊記分別為a、c.

      (1)當(dāng)c=2時(shí),求a的值;

      教學(xué)預(yù)設(shè):由于第(1)問(wèn)方法很多,教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)交流、梳理不同解法后,再全班展示、互相學(xué)習(xí)不同解法.我們預(yù)設(shè)一些解法的思路,以便學(xué)生還沒有出現(xiàn)類似解法時(shí)進(jìn)行思路的啟發(fā).

      思路1:如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E.結(jié)合角平分線性質(zhì),在Rt△ABE中,∠ABE=60°,則BE=

      圖2

      由BE=BD,得點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,則AD⊥BD.則a=c=2.

      思路2:過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.結(jié)合外角∠ABH=60°,在Rt△ABH中,BH=c=1,于是可證△ABH△ABD,從而可得∠BDA=90°,進(jìn)一步再證△ABD△CBD,問(wèn)題獲得突破.

      圖3

      圖4

      思路3:如圖4,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H.在Rt△BDH中,∠ABD=60°,BH=,于是AH=.在Rt△ADH中,可利用銳角三角函數(shù)求出∠ADH=60°.在Rt△BDH中,∠BDH=30°,則BD⊥AC,于是可證△ABD △CBD,從而問(wèn)題獲解.

      思路4:如圖4,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,分別求出BH=.在Rt△ADH中,可利用銳角三角函數(shù)求出∠A=30°,于是由三角形內(nèi)角和可得∠C=30°,則BC=AB=2.

      思路5:如圖5,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,DG⊥BC于點(diǎn)G.分別求出BH=,DH=DG=.在Rt△ADH中,可利用銳角三角函數(shù)(或利用三角形相似)求出∠A=30°,于是由三角形內(nèi)角和可得∠C=30°,即BC=AB=2.這種思路比思路4要繁冗,教學(xué)中如果學(xué)生構(gòu)造了兩條垂線段,可以畫在黑板上收集起來(lái),對(duì)這一小問(wèn)來(lái)說(shuō)有些思維回路,但是對(duì)后續(xù)問(wèn)題的探索是有效的輔助線.

      圖5

      圖6

      思路6:如圖6,過(guò)點(diǎn)D作DM//BC,交AB于點(diǎn)M.先證△BDM是等邊三角形,得BM=BD=1,于是AM=1,接下來(lái)有不少路徑,比如,由DM=AM=BM,可得∠ADB為直角,從而獲得思路貫通;或再證△ADM △ACB,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊之比可得BC=2.

      限于篇幅,我們不再展示其他思路.據(jù)本題的閱卷報(bào)告,該題多達(dá)20多種方法,教學(xué)時(shí)安排學(xué)生展示出5~8種即可,不必太多,有些路徑相近的可歸到一類解法,如果本質(zhì)上不一樣,要引導(dǎo)學(xué)生敘述它們的不同點(diǎn),辨析解法的不同也是需要重點(diǎn)培養(yǎng)的能力.

      教學(xué)環(huán)節(jié)(二) 拾級(jí)而上,前后呼應(yīng)

      問(wèn)題“題干”不變.

      (2)求△ABC的面積(用含a、c的式子表示即可);(要求:至少給出兩種不同解法)

      (3)求證:a、c之和等于a、c之積.

      教學(xué)預(yù)設(shè):在第(1)問(wèn)充分探究多種解法之后,第(2)問(wèn)表示△ABC的面積也有很多思路,學(xué)生應(yīng)該能想出多種方法,這里仍然安排學(xué)生進(jìn)行多解展示交流.以下也預(yù)設(shè)幾種解法.

      思路1:如圖7,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD于點(diǎn)G.

      圖7

      圖8

      思路2:如圖8,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H,用含a的式子表示出CH=a.于是S△ABC=AB×CH=

      圖9

      以上兩種思路都是基于面積法,這時(shí)注意啟發(fā)學(xué)生對(duì)比兩種解答結(jié)果的不同,并檢查過(guò)程中有無(wú)錯(cuò)漏,如果確認(rèn)無(wú)錯(cuò),進(jìn)一步可將成果擴(kuò)大得出考題第(3)問(wèn)的解答.比如,通過(guò)上面兩種面積表示方法a,就可直接獲解.另外,學(xué)生還可以從上一問(wèn)其他解法得出解答,這里再提及一種思路,如圖9,過(guò)點(diǎn)C作CE//AB,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.可證出△BCE為等邊三角形,所以BE=EC=BC=a,所以DE=a-1.由△CDE△ADB,得所以整理可得a+c=ac.

      教學(xué)環(huán)節(jié)(三) 變式再練,拓展挑戰(zhàn)

      【變式改編】定義:在△ABC的邊AC上取一點(diǎn)D,連接BD.當(dāng)時(shí),稱線段BD為△ABC的“比例線”.

      已知,如圖1,△ABC的“比例線”BD的長(zhǎng)為1,且∠ABC=120°.

      (1)當(dāng)AD=CD時(shí),求BC的長(zhǎng).

      (2)△ABC的內(nèi)角∠A、∠C所對(duì)邊是a、c.

      ①求證:a+c=ac.

      (***供學(xué)有余力的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)***)

      ②分析a、c之和有沒有最小值.如果有,求出它的最小值;如果沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      教學(xué)預(yù)設(shè):第(1)問(wèn)所給強(qiáng)化條件“點(diǎn)D恰為AC的中點(diǎn)”與原考題的第(1)問(wèn)的強(qiáng)化條件是等價(jià)的,學(xué)生可以從不同角度進(jìn)行突破,有效反饋這節(jié)課的講評(píng)效果.

      (2)①對(duì)應(yīng)著上文考題的第(3)問(wèn),這里略去思路.

      二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

      1.發(fā)揮“一題多解”的教學(xué)功能,促進(jìn)學(xué)生深刻理解關(guān)聯(lián)知識(shí)

      一題多解是不少經(jīng)驗(yàn)型教師在解題教學(xué)時(shí)經(jīng)常進(jìn)行的,但是一題多解不能只是簡(jiǎn)單地展示一道習(xí)題的多樣化解法,甚至無(wú)度展示、炫耀不同解法,這對(duì)于提高解題教學(xué)效率無(wú)甚益處.我們認(rèn)為,要努力通過(guò)一題多解促進(jìn)學(xué)生深刻理解與考題相關(guān)聯(lián)的不同知識(shí)點(diǎn),這才是有意義的.上文考題的第(1)問(wèn)雖然不難,但通過(guò)一題多解的展示、對(duì)話、互評(píng),能促進(jìn)學(xué)生理解角平分線、60°角、直角三角形、相似三角形、面積法等很多數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).可見開展一題多解的教學(xué),需要深刻理解考題的結(jié)構(gòu),還要想清不同解法對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)是否適合本課時(shí)的復(fù)習(xí)目標(biāo).

      2.注重變式再練的檢測(cè)反饋功能,結(jié)合學(xué)情相機(jī)給出拓展問(wèn)題

      在上文“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)中,我們最后給出了“變式再練”,通過(guò)改編設(shè)計(jì)成一道“新定義”習(xí)題,實(shí)質(zhì)上仍然是三角形的角平分線帶來(lái)的比例性質(zhì).結(jié)合學(xué)情,如果多數(shù)學(xué)生都能順利掌握所講評(píng)的問(wèn)題,可相機(jī)給出拓展問(wèn)題,讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)最后一問(wèn),這一問(wèn)涉及高中“基本不等式”,但是優(yōu)秀學(xué)生利用八年級(jí)就學(xué)習(xí)過(guò)的配方法也可進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.順便提及,這個(gè)拓展問(wèn)題是受一道江蘇高考填空題的啟發(fā)而改編的.當(dāng)然,如果班級(jí)整體學(xué)情不好,對(duì)前面所講評(píng)的不同解法沒有充分消化理解,則這個(gè)拓展提升就不必呈現(xiàn),這也正是“相機(jī)教學(xué)”的又一內(nèi)涵.

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