一道課本習(xí)題的研究與推廣

胡永強 趙小花

[摘? 要] 文章通過對一道課本習(xí)題的深入研究與拓展，探究出多邊形的一個內(nèi)角、這個內(nèi)角相對的若干個內(nèi)角與已知內(nèi)角相鄰的兩個內(nèi)、外角平分線的夾角之間的關(guān)系. 整個探究過程自然流暢、不斷深入、循序漸進，對培養(yǎng)教師與學(xué)生的探究意識、提升探究能力有一定的借鑒意義.

[關(guān)鍵詞] 課本習(xí)題;解題;多邊形;角平分線

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，對數(shù)學(xué)問題的深入探究一直都是一線數(shù)學(xué)教師孜孜以求的工作，也是教師自身發(fā)展的推動力. 而對基礎(chǔ)問題適當?shù)淖兪?、挖掘和推廣也有助于鞏固學(xué)生的四基，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，更能培養(yǎng)學(xué)生面對新鮮事物時探究問題本質(zhì)的思維習(xí)慣.

筆者在教學(xué)過程中，經(jīng)常對一些有代表性的數(shù)學(xué)問題進行變式與推廣. 蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊第42頁有一道習(xí)題，筆者對其進行研究與推廣. 授課對象是普通中學(xué)的實驗班，學(xué)生基礎(chǔ)較好，有良好的探究能力和合作意識.

此外，如果將第（1）和第（2）題中的圖形結(jié)合起來，如圖1所示，因為BO，BO′分別平分∠ABC與∠DBC，所以∠OBO′=∠OBC +∠CBO′=∠ABC+∠CBD=（∠ABC+∠CBD）=×180°=90°，同理可得∠OCO′=90°，所以在四邊形OBO′C中，∠BOC+∠BO′C=360°-180° =180°.

該題是在已知三角形一個內(nèi)角度數(shù)的情況下，求出了另外兩個內(nèi)角平分線的夾角以及與這兩內(nèi)角相鄰的兩外角平分線的夾角度數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)這兩個夾角存在互補的關(guān)系. 筆者在此處給學(xué)生留下足夠的思考與討論的時間，讓他們提出關(guān)于此題的一些思考. 在小組合作交流之后有學(xué)生提出如下問題：若將三角形推廣到四邊形、五邊形或其他的多邊形，此時與這個內(nèi)角相鄰的兩內(nèi)角平分線的夾角與對應(yīng)的兩外角平分線的夾角又是多少度呢？這些多邊形中相應(yīng)的角又有怎樣的規(guī)律呢？針對這些問題筆者引導(dǎo)學(xué)生做出以下幾點推廣研究.

4. 結(jié)論

根據(jù)上面的3個推廣，我們可以得到更具一般性的結(jié)論：在任意的n邊形AB Q…QC中，∠A=α，∠BQQ=β，…，∠QQC=β，作與∠A相鄰的兩內(nèi)角的平分線及對應(yīng)的兩外角的平分線：

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為：學(xué)習(xí)不是教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自主地、有意義地建構(gòu)知識的過程. 基于這一觀點，在研究完成之后，教師要給學(xué)生留足反思、整理的時間，讓他們將探究的結(jié)論及時建構(gòu)到自己原有的知識體系中.

筆者認為對一道題目進行推廣與拓展的原則是能夠借助這道題目的背景，圍繞一個中心主題，將研究的問題不斷加深，挖掘出本題的內(nèi)涵與外延，形成一個完整的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在解決這些問題的時候找到與原題的共性與不同之處，這樣學(xué)生就不再只是單純地解決一個問題，而是對一系列的問題都進行了研究. 最后總結(jié)歸納方法，揭示規(guī)律，進行升華，讓學(xué)生體會到“以不變應(yīng)萬變”，認識到知識的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識體系. 由于本題所做的推廣需要學(xué)生有著良好的分類素養(yǎng)及扎實的計算功底，所以適用于學(xué)生整體水平較高的班級或者是數(shù)學(xué)興趣班授課時使用.

通過本題及推廣的教學(xué)，學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)帶給自己的快樂，培養(yǎng)了他們探究數(shù)學(xué)知識的興趣，同時對數(shù)學(xué)思想方法進行了巧妙的滲透. 同學(xué)們在小組合作的時候相互幫助，對建設(shè)學(xué)習(xí)共同體也是一次有益的嘗試和訓(xùn)練.

眾所周知，中考及平時測試中有很多“似曾相識題”，其實這些問題都來源于數(shù)學(xué)教材的例題、習(xí)題與思考題等，因此對教材中出現(xiàn)的問題進行深入研究與推廣是十分有必要的. 在平時的教學(xué)中，教師不僅自身要鉆研教材，深挖習(xí)題，還要適當?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生進行變式與推廣.對這些問題的研究與推廣有助于拓寬學(xué)生的視野、提升學(xué)生的思維水平、幫助學(xué)生從題海中解放出來，減輕學(xué)生的負擔(dān)、培養(yǎng)學(xué)生更高水平的認知能力.