陣列雷達自適應多零點單脈沖群目標測角算法

王羅勝斌，徐振海，劉興華，董 瑋，王國玉

(國防科技大學 電子科學學院 電子信息系統(tǒng)復雜電磁環(huán)境效應國家重點實驗室， 湖南 長沙 410073)

位于同一距離單元、角度單元和多普勒單元內，在任何一維度，利用常規(guī)線性處理方法都難以分辨的多個目標集合稱為群目標[1]，學術界也稱為不可分辨目標。在雷達探測領域，尤其在遠程預警中，群目標現象普遍存在。在防空背景下，編隊飛機可構成群目標；在精確制導背景下，飛機和拖曳式誘餌也可構成群目標；在反導背景下，彈道導彈突防時釋放的有源或無源誘餌、箔條以及分離過程中產生的碎片等亦可構成群目標。群目標特性復雜，嚴重影響雷達探測。精確測量群目標角度是跟蹤、識別群目標的前提。

單脈沖技術具有測角精度高、工程易實現等優(yōu)點，但在群目標條件下，測量的角度與任一目標均不對應，并隨著目標間相對幅度和相位劇烈“抖動”，甚至超出雷達角度范圍，這種測量誤差可能導致跟蹤丟失[2]。針對此問題，Sherman等[2]、Lee等[3]將群目標單脈沖比作為確定量，提出利用兩個脈沖的和、差信號求解雙目標角度的方法，但此方法需要兩個獨立的脈沖。Zheng等[4]在此基礎上提出利用四象限單脈沖分辨群內雙目標方法，并推導了矩形陣列的雙目標角度閉式解。Blair等[5-8]將群目標單脈沖比作為隨機量，重點分析其統(tǒng)計特性，針對兩個瑞利目標提出了基于瞬時匹配的角度估計方法。在此基礎上，Sinha等[9]推導了Swerling Ⅰ型和Swerling Ⅲ型目標的似然函數，用柵格搜索得到角度的極大似然估計，但計算量巨大。最近，Glass等[8]提出利用相鄰距離采樣提高分辨精度。然而，單脈沖雷達處理自由度少，大多數方法需要多個脈沖增加時間上的處理維度，難以拓展至多個目標情況，嚴重限制了群目標的測角性能。

另一種思路是利用陣列雷達多樣式、多維度的信號處理方法實現群目標測角。眾多方法中參數法[10](極大似然估計)因為具有更強的魯棒性而應用廣泛。早在20世紀70年代，White[11]針對海面低角目標出現鏡面反射時難以跟蹤的問題，基于極大似然估計原理提出了陣列雙零點單脈沖技術，并給出了該技術應用至空間多目標的思路與應用框架，但沒有進一步的研究報道。文獻[12]將雙零點單脈沖技術進行完善，只需較少的計算量就能實現低角目標跟蹤。文獻[13]將此技術應用至空間雙目標情況，獲得了良好的分辨效果。

1 信號模型與估計方法

1.1 群目標回波模型

N元均勻半波長線型陣列雷達主瓣內存在M個目標，接收信號為多個目標回波的線性疊加。經過信號放大、變頻、采樣等處理，群目標回波模型可表示為：

(1)

下標i表示第i個目標；Ai表示回波復幅度；s(ui)表示陣列導向矢量，

(2)

j表示純虛數；ui=sinθi為目標角度的正弦空間坐標，θi為目標與陣面法向的夾角，ui∈[-u3 dB/2,u3 dB/2]，u3 dB為雷達主瓣波束寬度；n∈CN×1表示陣列接收機熱噪聲矢量，服從零均值高斯分布，熱噪聲功率為σ2。當M=1時，信號模型退化為單目標情況。

1.2 極大似然估計

將群目標回波模型改寫為矩陣形式：

x=Sa+n

(3)

p(x|u1,…,uM,A1,…,AM)

(4)

當回波數據與假設模型之間的均方誤差最小時似然函數最大，所以極大似然估計可表示為：

(5)

復幅度a的極大似然估計實際上是最小二乘問題[14]，估計值為：

(6)

目標函數Q關于u1,…,uM分別求偏導，得到方程組：

(7)

式中，dH(ui)=ds(ui)/dui為信號矢量關于角度的導數，與導向矢量正交，即dH(ui)s(ui)=0。

式(7)為非線性方程組，難以直接求解，必須通過迭代逼近求解[11]。一種求解思路是利用凸優(yōu)化方法求解目標函數Q的極小點，但此類方法需要求解梯度，計算量巨大，并且迭代步長難以控制；另一種思路是利用多維單脈沖測量[15]估計目標角度，這種方法是陣列單脈沖處理的一種多維擴展，計算量小。本文將采取第二種思路，實現群目標的角度估計。

2 群目標角度估計方法

2.1 自適應多零點單脈沖測量

將式(7)可改寫為：

(8)

由于dH(ui)s(ui)=0，式(7)可以進一步寫為：

(9)

將式(6)代入式(9)可得：

Re{dH(ui)[I-S(SHS)-1SH]x}

=Re{dH(ui)PS⊥x}=0

(10)

利用數字波束形成技術生成M套單脈沖系統(tǒng)，分別指向ub1,ub2,…,ubM。令

(11)

(12)

(13)

(14)

其中，Sb=[s(ub1)s(ub2)…s(ubM)]。

每套單脈沖系統(tǒng)和、差接收波束的方向圖分別為：

(15)

(16)

由式(13)～(16)可以推出：

Σi(ubj)=0j≠i；j=1,2,…,M

(17)

Δi(ubj)=0j=1,2,…,M

(18)

式(17)、式(18)說明每套單脈沖系統(tǒng)會在其他系統(tǒng)的波束指向處自適應形成零點，保證和波束輸出能量最大，抑制其他目標信號的影響，故將此類單脈沖測量稱為自適應多零點單脈沖測量。

2.2 迭代優(yōu)化——步長加權法

根據自適應多零點單脈沖的測量結果無法直接測量目標角度。以第一套單脈沖系統(tǒng)為例，輸出的群目標單脈沖比為：

(19)

式中，K1表示第一套單脈沖系統(tǒng)的鑒角斜率。可以看出，多維單脈沖系統(tǒng)輸出的角度實際上是群目標的復指示角[2]，不能像傳統(tǒng)單脈沖一樣“一步”測角，只能通過更新迭代波束指向不斷逼近目標角度，所以這是一種次優(yōu)估計[17]。

當目標數為2時，根據單脈沖系統(tǒng)測量的角度，文獻[12-13]提出如式(20)所示角度迭代方式。

(20)

雙目標條件下，用復指示角直接更新波束指向能夠迅速收斂于目標角度，主要原因為：對于第一套單脈沖系統(tǒng)，和、差波束接收的主要能量來自第一個目標，自適應零點抑制了第二個目標的干擾，更新后的波束指向更逼近于第一個目標，使得接收到第二個目標的能量越來越弱。然而，對于多個目標，更新后的波束指向無法鎖定同一目標，導致迭代不收斂。

從優(yōu)化的角度來看，迭代步長過大導致雙零點測角無法直接擴展至多個目標，必須自適應調整迭代步長。當波束指向偏離目標時，各單脈沖系統(tǒng)形成的零點也偏離目標，無法起到抑制的效果，此時更新步長應該較??；當波束指向接近目標時，抑制效果明顯，復指示角度接近真值，此時更新步長應該較大。

通過以上分析，提出一種步長加權的方式改善迭代過程，其思路為：用目標函數Q反映波束指向偏離目標的程度，從而確定權值w的大小。此處，令調整步長的權值w與目標函數的數量級lgQ成正比關系，即目標函數每下降一個數量級，步長權值相應地線性增加。步長權值的表達式為：

(21)

式中，Q0表示用波束指向初值計算得到的目標函數取值，ε為收斂誤差，w0為權值初始點。權值w是關于Q的函數，Q越小，波束指向越接近目標。w0與信噪比有關，信噪比越高，w0越大。

利用加權的方式在式(20)的基礎上改進波束指向更新：

(22)

2.3 群目標角度估計算法流程

根據以上對自適應多零點單脈沖以及波束指向迭代更新的分析，提出自適應多零點單脈沖群目標測角算法，算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Flowchart of algorithm

圖2給出了自適應多零點單脈沖測角算法、交替投影法[18]、步長回溯法[19]三種方法在三個目標條件下(u1=-0.2u3 dB,u2=0.1u3 dB,u3=0.45u3 dB)的迭代過程。由圖可知，多零點單脈沖測角算法只需300次左右的迭代就能實現高精度的角度估計，而交替投影法需要4000次左右的迭代，步長回溯法雖然能迅速收斂，但估計值與真值存在明顯偏差。相比之下，自適應多零點單脈沖測角迭代次數更少，并且只需計算單脈沖比，計算量遠小于梯度的計算。因此，該測角算法更易于工程實現。

(a) 自適應多零點單脈沖測角算法(a) Angular estimation of adaptive multi-null monopulse

(b) 交替投影法(b) Alternating projection method

(c) 步長回溯法(c) Step backtracking method圖2 迭代收斂過程Fig.2 Iterative convergence process

3 仿真分析

設最大迭代次數為1000，收斂誤差ε=10-12，圖4給出了多種信噪比下不同目標函數對應的步長權值。

定義角度估計均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)為：

(23)

式中，E[·]表示取均值。

進行1000次Mont Carlo仿真，分析算法性能。在假設已知準確群目標數的條件下，將本文方法與前后空間平滑的多重信號分類法(Front Back

(a) 和波束方向圖(a) Sum beampattern

(b) 差波束方向圖(b) Difference beampattern

(c) 單脈沖比鑒角曲線(c) Monopulse ratio curve圖3 自適應多零點單脈沖和、差方向圖以及單脈沖比鑒角曲線Fig.3 Sum/difference beampattern and monopulse ratio curve of adaptive multi-null

圖4 步長權值曲線Fig.4 Weighted step

Spatial Smoothing MUltiple SIgnal Classfication, FBSS-MUSIC)[14](空間平滑預處理的MUSIC算法)以及交替投影法進行對比實驗。

3.1 測角精度與信噪比的關系

在該實驗中，設定三個目標的角度分別為u1=-0.2u3 dB、u2=0.1u3 dB、u3=0.45u3 dB，復幅度分別為A1=1、A2=0.9ejπ/4、A3=ej3π/2。圖5給出了三種算法的RMSE與SNR關系曲線。

可以看出：隨著信噪比的增大，三種算法的測角精度提高，這是普遍規(guī)律；在高信噪比條件下，本文方法的測角性能與交替投影法相近，測角誤差約為0.15u3 dB；在低信噪比條件下，本文方法測角性能更優(yōu)，并且精度遠高于FBSS-MUSIC，說明本文方法的魯棒性更強；FBSS-MUSIC在低信噪比條件下性能很差，其主要原因是MUSIC等子空間方法不適用于相干源，在單次快拍條件下需要空間平滑預處理，但這種處理損失了空間分辨率，難以精確估計信號協(xié)方差矩陣。

3.2 測角精度與角度間隔的關系

在該實驗中，設定三個目標關于陣列法向對稱分布，角度分別為u1=-Δu、u2=0、u3=Δu，復幅度分別為A1=1、A2=0.9ejπ/4、A3=ej3π/2，信噪比SNR=30 dB。圖6給出了三種算法RMSE與Δu的關系曲線。

可以看出：隨著目標角度間隔的減少，測角精度下降，這是群目標測角的特有規(guī)律；當目標角度間隔低于0.25u3 dB時，三種方法都無法精確測角；實際上，若目標角度間隔非常小，群目標可作為單個目標處理。

圖6 測角精度與角度間隔的關系Fig.6 Performance of angular estimation versus Δu

3.3 測角精度與相對復幅度的關系

在該實驗中，假設群內存在一個大目標與兩個小目標，設定三個目標角度分別為u1=-0.2u3 dB、u2=0.1u3 dB、u3=0.45u3 dB；信噪比SNR=30 dB；三目標的相對復幅度分別為A1=1、A2=pejΔφ、A3=pej-Δφ。令ρ=pejΔφ，只考慮FBSS-MUSIC與本文方法，圖7給出了兩種算法RMSE與ρ的關系。可以看出：隨著目標幅度差異的增大，FBSS-MUSIC的測角精度降低，但對目標的相對相位影響不大；而本文方法恰好相反，在目標相對相位為0時測角精度最低，在目標幅度差異較大時仍能保持較高的測角精度。

對于單次快拍，運用子空間方法之前需要進行空間平滑得到滿秩的協(xié)方差矩陣，這種預處理消除了目標之間的相位信息，測角精度只與目標幅度有關。當目標幅度差異較大時，小目標極易被大目標“遮掩”，在空間譜上難以分辨，嚴重影響測角精度。而運用參數法時，所有的參數均由極大似然估計得到，大目標對小目標的“遮蔽”影響得到極大的弱化。所以，當目標幅度相差較大時，參數法具有比子空間方法更好的測角性能。

(a) 對比算法(a) Algorithm for comparison

(b) 本文算法(b) Proposed algorithm圖7 測角精度與相對復幅度的關系Fig.7 Performance of angular estimation versus relative complex amplitude

3.4 測角精度與目標數的關系

在該實驗中，考慮目標數從1增至5。設定多個目標關于陣列法向對稱分布，回波功率相同，信噪比均為SNR=30 dB，相鄰目標的角度間隔均為Δu=0.25u3 dB，相位差均為Δφ=π/6。圖8給出了本文方法RMSE與目標數的關系曲線。

可以看出：隨著目標數的增多，測角精度急劇降低；當目標數為1時，自適應多零點單脈沖退化為陣列幅度和、差單脈沖，測角精度非常高；當目標數超過4時，估計誤差接近于半個波束寬度。這是由于目標數增多，需要估計的參數更多，估計精度下降，當群目標數目較多時，只有在非常高的信噪比條件下才能實現精確測角。

圖8 測角精度與群目標數的關系Fig.8 Performance of angular estimation versus unresolved target number

4 結論

仿真結果表明：在較高信噪比條件下，本文所提算法可以精確測量三個目標角度，測角精度約為0.15倍波束寬度；但當群目標數較多或者目標相位差接近于0時，算法性能嚴重下降。在目標幅度相差較大的條件下，本文方法具有比子空間方法更好的測角性能。

無論是子空間方法還是參數化方法，都需要目標數目的先驗信息，當目標數目估計不準時，測角性能將急劇下降。在群目標數目估計方面，參數化方法可以與目標參數模型匹配方法[15]相結合，通過估計的目標參數修正估計的目標數，以獲得更好的目標數估計性能。