線性模型的?；茖?dǎo)系統(tǒng)誤差分離方法性能分析

周萱影，王正明，李 冬，王炯琦

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073； 2. 國(guó)防科技大學(xué) 前沿交叉學(xué)科學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073；3. 中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì)， 遼寧 大連 116023)

在遠(yuǎn)程導(dǎo)彈進(jìn)行精確打擊時(shí)，慣性器件誤差是影響導(dǎo)彈打擊精度的重要因素之一。在飛行器精度鑒定過程中，由于經(jīng)濟(jì)成本限制，只能進(jìn)行少量特殊彈道的飛行試驗(yàn)，并利用遙測(cè)與外測(cè)數(shù)據(jù)，分離出特殊彈道的制導(dǎo)系統(tǒng)誤差，將其造成的落點(diǎn)偏差折算到最大射程彈道上，進(jìn)而獲得全程彈道的命中精度[1]。實(shí)際上，對(duì)于導(dǎo)彈的落點(diǎn)偏差，制導(dǎo)系統(tǒng)誤差引起的落點(diǎn)偏差是總落點(diǎn)偏差的主要因素之一[2]。

對(duì)于陸基導(dǎo)彈來(lái)說，制導(dǎo)系統(tǒng)誤差主要為制導(dǎo)工具誤差。然而，對(duì)于發(fā)射平臺(tái)是?；膽T性導(dǎo)彈來(lái)說，除了與陸基導(dǎo)彈共有的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差之外，潛射導(dǎo)彈的系統(tǒng)誤差還包括由移動(dòng)發(fā)射原點(diǎn)造成的原點(diǎn)定位、定向、定速以及平臺(tái)調(diào)平等初始誤差[3]，因此，?；鶎?dǎo)彈的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離問題要比陸基導(dǎo)彈復(fù)雜。提高制導(dǎo)系統(tǒng)誤差分離精度的關(guān)鍵是針對(duì)各項(xiàng)誤差源的物理特性，建立誤差模型，設(shè)計(jì)合理的參數(shù)估計(jì)策略以及合適的參數(shù)估計(jì)方法。

傳統(tǒng)的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差估計(jì)方法的基礎(chǔ)是對(duì)速度域上的線性回歸模型[4]進(jìn)行整體估計(jì)，主要方法有最小二乘估計(jì)方法、Bayes估計(jì)方法、主成分估計(jì)方法(Principal Component Analysis，PCA)[5-6]、正則化分析方法[7]等；此外，文獻(xiàn)[8]給出了基于動(dòng)力系統(tǒng)求解的制導(dǎo)誤差分離方法。以上研究均是基于陸基情況下的誤差估計(jì)方法，文獻(xiàn)[9]建立了關(guān)于海基導(dǎo)彈初始誤差分離的線性模型，將初始誤差與工具誤差進(jìn)行了線性分離。由于?；鶎?dǎo)彈存在的初始誤差與制導(dǎo)工具誤差相互耦合，使得誤差模型具有較大的病態(tài)性。

為了對(duì)比分析海基慣性導(dǎo)彈背景下不同制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離策略的差異，本文從線性模型下陸基制導(dǎo)工具誤差分離方法入手，針對(duì)?；茖?dǎo)工具誤差的主要誤差源[3]，分析了Bayes估計(jì)、主成分估計(jì)以及正則化分析的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了適合于海基制導(dǎo)工具誤差分離的整體、分段以及迭代等分離策略。

1 線性分離模型及參數(shù)估計(jì)方法

傳統(tǒng)的制導(dǎo)工具誤差分離線性模型為[4-8]：

(1)

實(shí)際應(yīng)用中，由于待分離的誤差系數(shù)C較多，環(huán)境函數(shù)矩陣Sm×n的復(fù)共線性，傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)性能較差，通常采用相應(yīng)的改進(jìn)誤差分離方法，包括結(jié)合待分離誤差系數(shù)先驗(yàn)信息的Bayes估計(jì)[10-11]、主成分優(yōu)選的主成分估計(jì)[5,12-13]，以及結(jié)合誤差分離系數(shù)稀疏約束的正則化估計(jì)[7]。

表1 幾種估計(jì)方法比較

2 海基制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離策略

?；鶎?dǎo)彈的制導(dǎo)誤差包括制導(dǎo)工具誤差、由移動(dòng)發(fā)射原點(diǎn)引起的初始狀態(tài)誤差。?；鶓T性制導(dǎo)導(dǎo)彈的初始誤差實(shí)際上和工具誤差一樣，與總體系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系是線性的[9]，因此可以將總體系統(tǒng)誤差分成初始誤差與工具誤差兩類進(jìn)行分離，這樣可以降低由初始誤差與工具誤差之間的耦合性引起的模型病態(tài)性，從而提高誤差分離精度。

本文根據(jù)導(dǎo)彈初始誤差與工具誤差的不同性質(zhì)，提出了整體估計(jì)、分段估計(jì)以及迭代估計(jì)的三種誤差估計(jì)策略。

將式(1)改寫成如下形式：

ΔW=ΔWinitial+ΔWtool=S0C0+S1C1+ε

(2)

其中：ΔWinitial,ΔWtool∈Rm×1分別為?；鶎?dǎo)彈特有的初始誤差部分以及與陸基相同的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差部分；C0∈Rn0×1,C1∈Rn1×1為待估計(jì)的初始誤差系數(shù)和工具誤差系數(shù)；n0,n1為待估計(jì)的初始誤差項(xiàng)數(shù)和工具誤差項(xiàng)數(shù)；S0∈Rm×n0為初始誤差的環(huán)境函數(shù)矩陣，S1∈Rm×n1為工具誤差的環(huán)境函數(shù)矩陣。

2.1 整體估計(jì)策略

實(shí)際上，由于制導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型較大，且部分誤差項(xiàng)之間的耦合關(guān)系嚴(yán)重，在3.1節(jié)的仿真部分，其環(huán)境函數(shù)矩陣S的條件數(shù)高達(dá)1035，最小特征值為10-18。而由

(3)

以及參數(shù)估計(jì)的相關(guān)理論[14-15]可知，小特征值會(huì)引起矩陣的病態(tài)性。當(dāng)矩陣病態(tài)性很強(qiáng)時(shí)，參數(shù)估計(jì)的結(jié)果會(huì)缺少數(shù)值穩(wěn)定性，即輸入數(shù)據(jù)中極小的擾動(dòng)也會(huì)引起輸出結(jié)果很大的變動(dòng)。因此，除了對(duì)參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn)以外，還應(yīng)設(shè)法降低環(huán)境函數(shù)矩陣的病態(tài)性。

本文提出通過減少環(huán)境函數(shù)矩陣S維度的方法來(lái)減弱模型的病態(tài)性。由此，針對(duì)工具誤差以及初始誤差的特性，提出了以下兩種估計(jì)策略：分段估計(jì)策略以及迭代估計(jì)策略。

2.2 分段估計(jì)策略

針對(duì)海基制導(dǎo)系統(tǒng)誤差含有初始誤差的特性，以及初始誤差與工具誤差之間耦合性而引起的病態(tài)性，分段估計(jì)策略給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：初始段測(cè)量數(shù)據(jù)ΔW0=ΔWm0×1?ΔWm×1中只含有初始誤差ΔWinitial，即ΔW0=ΔWinitial，且后段中初始誤差的值始終保持不變。

在此假設(shè)下，首先將系統(tǒng)誤差ΔW根據(jù)時(shí)間分成前段系統(tǒng)誤差ΔW0∈Rm0×1和后段系統(tǒng)誤差ΔW1∈R(m-m0)×1，其中數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)m0通常根據(jù)實(shí)際背景選取，并根據(jù)相應(yīng)誤差系數(shù)的環(huán)境函數(shù)矩陣S0、S1，分別對(duì)C0、C1進(jìn)行估計(jì)。

具體的步驟如下：

Step1：設(shè)置初始段與后段數(shù)據(jù)分界點(diǎn)m0；

分段估計(jì)策略的合理性在于?；鶎?dǎo)彈發(fā)射初期，由發(fā)射原點(diǎn)造成的初始誤差比重相對(duì)制導(dǎo)工具誤差較大，故可以忽略初段數(shù)據(jù)中的制導(dǎo)工具誤差，先對(duì)初始誤差進(jìn)行分離；再將后段測(cè)量數(shù)據(jù)中的初始誤差扣除后，得到剩余的制導(dǎo)工具誤差；此時(shí)，再對(duì)工具誤差進(jìn)行估計(jì)則能得到更準(zhǔn)確的誤差分離結(jié)果。

2.3 迭代估計(jì)策略

分段估計(jì)結(jié)果的合理性是建立在假設(shè)1的前提下。但實(shí)際上，在?；鶎?dǎo)彈的發(fā)射初期存在制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差，且移動(dòng)發(fā)射原點(diǎn)造成的初始誤差并非常值，而是隨時(shí)間變化的。因此，迭代估計(jì)策略在分段估計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，通過對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的初始誤差與工具誤差進(jìn)行迭代分離，以此得到收斂后準(zhǔn)確的誤差系數(shù)估計(jì)。

具體步驟如下：

Step1：設(shè)置迭代終止條件δ，以及最大迭代次數(shù)N；

3 仿真算例

制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差估計(jì)的線性分離方法是在假設(shè)2的前提下，在模型(2)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

3.1 仿真條件

基于對(duì)算例中的環(huán)境函數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，在初始誤差中，與過載無(wú)關(guān)的三個(gè)方向初始平臺(tái)角偏差Φ0x、Φ0y、Φ0z與經(jīng)度λ0、緯度B0、高程h0具有很強(qiáng)的耦合性，因此本文主要對(duì)21項(xiàng)工具誤差系數(shù)以及包括三個(gè)方向的初始速度v0x、v0y、v0z和經(jīng)度λ0、緯度B0、高程h0在內(nèi)的6項(xiàng)海基初始誤差系數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)建模與仿真估計(jì)。

3.2 仿真結(jié)果

本小節(jié)中給出了27項(xiàng)制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差系數(shù)在不同策略下的Bayes估計(jì)、主成分分析、正則化分析三種方法的估計(jì)結(jié)果，并給出了方差3σ準(zhǔn)則以及彈道差3σ準(zhǔn)則兩種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的具體估計(jì)結(jié)果，這兩種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)即是從待估參數(shù)C層面以及待估信號(hào)SC層面對(duì)誤差分離方法以及誤差分離策略進(jìn)行分析與評(píng)定，具體結(jié)果如下。

3.2.1 方差3σ準(zhǔn)則

具體地，表2～4分別給出了整體估計(jì)策略、分段估計(jì)策略以及迭代估計(jì)策略下三種估計(jì)方法的全部27項(xiàng)方差結(jié)果，其中，加粗項(xiàng)為3σ標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，第1～21項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差系數(shù)，第22～27項(xiàng)為初始誤差項(xiàng)。

從表2中可以看出，對(duì)于整體估計(jì)策略，Bayes估計(jì)方法共分離出11項(xiàng)誤差，其中5項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差，其余6項(xiàng)初始誤差均可估計(jì)；而PCA方法共分離出4項(xiàng)系統(tǒng)誤差，全部為初始誤差，正則化方法共分離出6項(xiàng)誤差，其中1項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差，其余5項(xiàng)為初始誤差。

從表3中可以看出，對(duì)于分段估計(jì)策略，Bayes估計(jì)方法共可分離27項(xiàng)系統(tǒng)誤差中的26項(xiàng)，其中20項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差，6項(xiàng)初始誤差均可估計(jì)；而PCA方法以及正則化方法分別分離出8項(xiàng)系統(tǒng)誤差，且全部方法均能分離出6項(xiàng)初始誤差。

從表4中可以看出，對(duì)于迭代估計(jì)策略，Bayes估計(jì)方法可分離出全部27項(xiàng)誤差，而PCA方法以及正則化估計(jì)方法在分段估計(jì)策略的誤差分離結(jié)果基礎(chǔ)上，又分離出了第1項(xiàng)以及第9項(xiàng)制導(dǎo)工具誤差。

3.2.2 彈道差3σ準(zhǔn)則

表2 整體估計(jì)策略下三種方法的方差結(jié)果

實(shí)際上，在本次仿真背景中，彈道X方向的彈道誤差對(duì)于落點(diǎn)偏差來(lái)說是最主要的影響因素。因此，在彈道差標(biāo)準(zhǔn)下，本文分別給出了三種估計(jì)策略下X方向彈道差。

表3 分段估計(jì)策略下三種方法的方差結(jié)果

為了準(zhǔn)確地對(duì)三種估計(jì)策略的誤差分離效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，圖1～3首先給出了三種方法下的彈道差，其中Bayes、PCA和R分別表示Bayes估計(jì)、主成分分析方法以及正則化方法。由圖2、圖3可以看出，在整體估計(jì)策略下，三種方法的彈道差

表4 迭代估計(jì)策略下三種方法的方差結(jié)果

相差不大，均在30 s左右以后才滿足3σ標(biāo)準(zhǔn)。而在采用分段策略以及迭代策略時(shí)，主成分分析與正則化估計(jì)方法的彈道誤差均有了明顯的降低，且由于這兩種方法之間的精度差別極小(僅10-7～106m/s)，因此兩者的彈道差曲線在圖示區(qū)域內(nèi)幾乎重疊。

圖1 整體估計(jì)下的X方向彈道差Fig.1 Difference value of trajectory of the total strategy at X direction

圖2 分段估計(jì)下的X方向彈道差Fig.2 Difference value of trajectory of the piecewise strategy at X direction

圖3 迭代估計(jì)下的X方向彈道差Fig.3 Difference value of trajectory of the iteration strategy at X direction

為了更好地觀察并分析仿真結(jié)果，圖4～6單獨(dú)給出了正則化方法下的三種參數(shù)估計(jì)策略彈道誤差結(jié)果?？梢钥吹?，分段估計(jì)策略及迭代估計(jì)策略的彈道誤差始終在3σ范圍之內(nèi)，并且迭代估計(jì)策略得到的彈道誤差結(jié)果比分段估計(jì)策略得到的結(jié)果也有進(jìn)一步的改善。

圖4 整體估計(jì)下正則化估計(jì)的X方向彈道差Fig.4 Difference value of trajectory of the total strategy at X direction

圖5 分段估計(jì)下正則化估計(jì)的X方向彈道差Fig.5 Difference value of trajectory of the piecewise strategy at X direction

圖6 迭代估計(jì)下正則化估計(jì)的X方向彈道差Fig.6 Difference value of trajectory of the iteration strategy at X direction

3.3 結(jié)果分析

通過以上仿真計(jì)算的結(jié)果，得到如下結(jié)論。

3.3.1 估計(jì)方法評(píng)定

1)通過方差3σ準(zhǔn)則的評(píng)價(jià)結(jié)果，可以看到在三種估計(jì)方法中，Bayes估計(jì)方法分離出的制導(dǎo)系統(tǒng)誤差系數(shù)是最多的。這說明，在先驗(yàn)信息準(zhǔn)確的情況下，Bayes方法具有最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果；

2)主成分分析與正則化方法所分離出的誤差系數(shù)結(jié)果差異不明顯，造成這一現(xiàn)象的原因是由于這兩種方法的基本思想原理是一致的，均為廣義嶺估計(jì)；

4)雖然在彈道誤差標(biāo)準(zhǔn)下，Bayes方法結(jié)果較差，但由于迭代估計(jì)策略逐步將工具誤差與初始誤差分離出來(lái)，使得迭代策略下Bayes估計(jì)結(jié)果比分段策略下的結(jié)果有了顯著的提高，這也說明了迭代策略在改善模型病態(tài)性上有較強(qiáng)的效果。

3.3.2 估計(jì)策略評(píng)定

1)通過方差3σ準(zhǔn)則，從表2～4可以看出，整體估計(jì)策略下，Bayes方法僅能估計(jì)出11項(xiàng)，而分段估計(jì)策略下，Bayes方法能估計(jì)出27項(xiàng)中的26項(xiàng)，且迭代估計(jì)策略下，Bayes估計(jì)方法能估計(jì)出全部27項(xiàng)誤差系數(shù)，這說明通過減少環(huán)境函數(shù)矩陣間的相關(guān)性，逐步分離出工具誤差與初始誤差，能較大程度上提高估計(jì)結(jié)果的精度；

2)從主成分分析方法以及正則化估計(jì)方法來(lái)看，利用分段估計(jì)策略得到的誤差分離項(xiàng)數(shù)結(jié)果相比傳統(tǒng)的整體估計(jì)策略，也有顯著的增加，且迭代估計(jì)策略也在一定程度上優(yōu)于分段估計(jì)；

3)從三種估計(jì)策略的彈道殘差圖來(lái)看，迭代估計(jì)策略與分段估計(jì)策略在彈道差上均減小了一個(gè)量級(jí)，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的整體估計(jì)策略；無(wú)論在彈道差3σ標(biāo)準(zhǔn)下或是方差3σ標(biāo)準(zhǔn)下，迭代估計(jì)的結(jié)果都要優(yōu)于分段估計(jì)結(jié)果，這是由于迭代估計(jì)策略通過不斷的迭代過程將初始誤差與工具誤差逐步分離，從而能更精確地利用先驗(yàn)信息進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

4 結(jié)論

本文以?；鶓T性制導(dǎo)導(dǎo)彈為背景，在制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差線性分離模型的基礎(chǔ)上，考慮到誤差模型中環(huán)境函數(shù)矩陣的病態(tài)性，采用了Bayes估計(jì)方法、主成分分析方法以及正則化分析方法對(duì)誤差系數(shù)進(jìn)行估計(jì)；針對(duì)?；赜械闹茖?dǎo)系統(tǒng)初始誤差，提出了整體估計(jì)策略、分段估計(jì)策略以及迭代估計(jì)策略，并進(jìn)行了數(shù)值的仿真計(jì)算。結(jié)果表明，在彈道誤差最小的條件下，主成分分析及正則化估計(jì)方法結(jié)果較好，并且分段估計(jì)策略和迭代估計(jì)策略的結(jié)果比傳統(tǒng)的整體估計(jì)效果要好，這一結(jié)果證實(shí)了本文針對(duì)海態(tài)數(shù)據(jù)特性建立的對(duì)制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離策略的合理性與可行性。