加權(quán)模糊C均值聚類算法實現(xiàn)BDS三頻組合觀測值優(yōu)選

孟凡軍，李樹軍，潘宗鵬，孫亦成，李忠盼

(1. 海軍大連艦艇學院 軍事海洋與測繪系， 遼寧 大連 116018； 2. 信息工程大學 地理空間信息學院， 河南 鄭州 450001)

我國的北斗系統(tǒng)是全球首個全星座播發(fā)三頻導(dǎo)航信號的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，三頻載波相位組合觀測值的優(yōu)化選取是我國北斗系統(tǒng)優(yōu)勢發(fā)揮的關(guān)鍵[1-3]。一般來講，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)多頻導(dǎo)航信號的出現(xiàn)為載波相位觀測值提供了更多的組合方式，其中同時滿足波長較長、電離層延遲較弱、觀測噪聲較小的多頻組合為優(yōu)選組合，傳統(tǒng)上獲取該類優(yōu)選組合的方法一般為按照優(yōu)選標準遍歷搜索后進行人工篩選與分析，或者是運用經(jīng)典的聚類算法實現(xiàn)多頻觀測系數(shù)組合的自動優(yōu)選，但隨著GNSS多系統(tǒng)的兼容性越來越高，多系統(tǒng)多頻數(shù)據(jù)的應(yīng)用將會越來越廣，這時，傳統(tǒng)方法便無法滿足多頻觀測值優(yōu)化選取中對高效性和可靠性的需求。因此，近年來GNSS多頻載波相位組合觀測值的優(yōu)化選取一直為該領(lǐng)域的研究熱點。

文獻[4]引入模糊聚類理論，采用基于圖論的最大樹方法對GPS三頻載波相位組合觀測值進行分類，由此找到具有優(yōu)良特性的組合；文獻[5]利用基于相異度矩陣的自適應(yīng)聚類算法，實現(xiàn)了GPS三頻載波相位觀測值的有效分類，并運用矩陣變換算法驗證了該方法的有效性；文獻[6]通過對樣本中心與聚類中心距離的修正，獲得合理的隸屬度，并通過構(gòu)建基于距離校正的聚類指標，自動獲得最優(yōu)聚類數(shù)；文獻[7]構(gòu)建了BDS/GPS四頻載波相位組合觀測模型，并采用傳統(tǒng)搜索分析法選擇了特性較好的BDS/GPS多頻組合。

可見，目前對于單系統(tǒng)雙頻或三頻的載波相位觀測值優(yōu)化選取方法已經(jīng)比較成熟，但在多種聚類方法中，對于多頻高維數(shù)據(jù)自動分類選取方法的研究仍然較少或方法傳統(tǒng)，針對以上不足，本文以北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BeiDou navigation Satellite system, BDS)三頻載波相位觀測值為例，在對其進行誤差分析的基礎(chǔ)上，采用了一種基于加權(quán)的模糊C均值混合數(shù)據(jù)聚類算法，通過將不同的權(quán)重值賦予同一維度上的不同簇集來影響聚類結(jié)果，有效解決了傳統(tǒng)三頻載波相位觀測值篩選方式的不足，并提高了高維稀疏混合數(shù)據(jù)聚類算法的準確度。

1 BDS三頻組合及優(yōu)選標準

BDS原始觀測量受很多因素的干擾，如衛(wèi)星鐘差、接收機鐘差、電離層延遲、對流層延遲等，以上誤差通過站、星間求雙差可以大大削弱或消除[8-11]。

為表達方便，同一歷元時刻，略去雙差符號及衛(wèi)星、接收機標識，BDS載波相位雙差觀測方程可以表示為：

φi=λiφi=ρ-μiI+εi+λiNi

(1)

式中：i=1，2，3，分別代表BDS三個頻率；φi和φi分別對應(yīng)以cycle為單位和以m為單位的雙差載波相位觀測值；λi(i=1，2，3)分別對應(yīng)不同頻率的波長；ρ表示衛(wèi)地幾何距離(以m為單位)；μi=(f1/fi)2(i=1,2,3)，為電離層延遲放大系數(shù)；I為B1頻點的電離層延遲誤差；Ni(i=1，2，3)為模糊度；εi(i=1,2,3)為觀測噪聲誤差(以m為單位)。BDS三頻載波的標準頻率及波長見表1。

表1 BDS三頻載波

對BDS三頻載波進行線性組合可得三頻載波相位組合觀測值的觀測方程為：

φc=αφ1+βφ2+γφ3…

=(α+β+γ)ρ-μcI+εc+λcNc

(2)

式中：φc為三頻組合觀測值(單位為m)；α，β，γ為組合觀測系數(shù)。

由于組合觀測量中衛(wèi)地幾何距離ρ不可隨組合系數(shù)的不同而發(fā)生改變，須令

α+β+γ=1

(3)

因此三頻組合觀測方程可表示為：

φc=ρ-μcI+εc+λcNc

(4)

其中，

(5)

由式(5)可得，

Nc=(αλ1/λc)N1+(βλ2/λc)N2+(γλ3/λc)N3

(6)

式(6)中，令

(7)

則三頻組合模糊度可表示為：

Nc=jN1+kN2+lN3

(8)

為保證組合模糊度依舊具有整數(shù)特性，要求j,k,l均為整數(shù)。則式(7)可變換為：

(9)

結(jié)合式(3)和式(9)可得，組合頻率和波長分別表示為：

fc=jf1+kf2+lf3

(10)

(11)

通過以上推導(dǎo)，獲得了三頻組合觀測值波長、電離層延遲系數(shù)以及觀測噪聲放大系數(shù)的表達式。為統(tǒng)一系數(shù)單位，得到以cycle為單位的電離層延遲誤差的放大系數(shù)為：

(12)

假設(shè)BDS觀測過程中三個頻點觀測精度相同，即σε1=σε2=σε3=σε。則以cycle為單位的組合觀測噪聲標準差σεc可以表示為：

(13)

理論上來講，BDS三頻觀測量可以形成無數(shù)組的組合，但要保證整周模糊度的快速解算，實現(xiàn)BDS高精度定位，優(yōu)選組合需要滿足長波長、弱電離層延遲、弱觀測噪聲的標準，具體分析可見文獻[11]。

本文綜合以上幾項篩選標準，通過限定波長、電離層延遲系數(shù)、觀測噪聲放大系數(shù)這三個指標量，并將組合系數(shù)j，k，l的取值范圍限定在[-10,10]以內(nèi)，遍歷搜索選出了一些特征值較優(yōu)的線性組合見表2。

表2 BDS三頻載波相位組合觀測值

2 加權(quán)FCM算法實現(xiàn)觀測值篩選

模糊C均值聚類(fuzzy C means)算法的主要目的是將包含有N個L維向量的數(shù)據(jù)集X劃分為C個不同的簇，使得同一個簇中的數(shù)據(jù)對象比不同簇中的數(shù)據(jù)對象具有更高的相似度。結(jié)合本文應(yīng)用需求，這里的維度理解為聚類指標的數(shù)目。

2.1 經(jīng)典FCM算法概述

在FCM算法中，設(shè)待分類樣本空間X={x1,x2,…,xi,…,xN}，該數(shù)據(jù)空間包含N個樣本，其中每個樣本都為L維向量，可以表示為xi={xi1,xi2,…,xik,…,xil}，其中xik代表樣本xi的第k個特性值。

結(jié)合其定義，可設(shè)FCM算法的目標函數(shù)為：

(14)

由約束條件可知，F(xiàn)CM算法是一個反復(fù)循環(huán)迭代的過程，為了求得滿足該條件的目標函數(shù)的極值，通過拉格朗日因子來構(gòu)造新的目標函數(shù)，并結(jié)合對目標函數(shù)求極值的最優(yōu)化條件，可得隸屬度和聚類中心的計算公式為：

(15)

根據(jù)上述公式不斷迭代求出滿足條件的隸屬度以及聚類中心[11]。

2.2 加權(quán)FCM算法流程

已有研究表明，經(jīng)典的聚類算法在實現(xiàn)GNSS多頻組合觀測值上的有效性[3-6,11]，但在多頻高維數(shù)據(jù)集的聚類過程中，經(jīng)典的算法在應(yīng)用上仍然存在兩點不足：一是高維數(shù)據(jù)的屬性之間互不相關(guān)或存在冗余，增加了分類的難度；二是高維數(shù)據(jù)空間分布相對稀疏，數(shù)據(jù)對象之間歐式距離的差異并不明顯，難以利用傳統(tǒng)的距離度量方式來劃分簇[12-13]。

針對以上問題，本文結(jié)合Ahmad和Dey所提出的基于監(jiān)督學習的距離計算方法[12]以及王振博所提出的基于加權(quán)模糊C均值的混合數(shù)據(jù)聚類算法[13]，采用基于加權(quán)歐氏距離的度量方式對不同維度的對象屬性在簇內(nèi)所占權(quán)重不同進行加權(quán)，并通過同一維度在不同簇上賦予不同的權(quán)重值來影響聚類結(jié)果，有效提高了高維混合數(shù)據(jù)聚類算法的準確度，文中相關(guān)定義見文獻[13]。

改進后的FCM算法流程如圖1所示。

圖1 改進FCM算法流程Fig.1 Flowchart of improved FCM algorithm

步驟1：首先給定一個由N個L維向量組成的數(shù)據(jù)集X以及所要分得的類別個數(shù)C(2≤C≤N)，自定義隸屬度矩陣。結(jié)合表2，N=15，L=3，取C=4。設(shè)定模糊系數(shù)m(一般取2)和迭代停止閾值ε(一般取0.001至0.01)；設(shè)置迭代計數(shù)次數(shù)l，初始化聚類原型v(l)(l=0)。

步驟2：初始化加權(quán)值，初始化簇質(zhì)心內(nèi)對象的屬性值個數(shù)。

步驟3：隨即選擇C個對象作為初始質(zhì)心。

步驟4：計算對象到每個簇質(zhì)心的距離。

步驟5：計算每個對象屬于各個質(zhì)心的數(shù)值隸屬度。

步驟6：更新簇的數(shù)值質(zhì)心和分類質(zhì)心。

步驟7：更新每個對象屬于各個質(zhì)心的加權(quán)值。

步驟8：重復(fù)步驟4～7，直到目標函數(shù)的值與上一次的值小于閾值。

3 結(jié)果分析與算法驗證

3.1 結(jié)果分析

基于上述改進的FCM算法，選取長波長、弱電離層延遲和低觀測噪聲三個維度的聚類指標，對表2中通過遍歷搜索法所列出的15組優(yōu)選BDS三頻組合觀測值進行了聚類分析，設(shè)定聚類類別數(shù)目C=4，迭代停止閾值ε為0.001[14]，聚類結(jié)果如表3和圖2所示。

表3 模糊聚類結(jié)果

圖2 模糊聚類輸出結(jié)果Fig.2 Fuzzy clustering results

下面對每一類組合的適用范圍進行分析。

第Ⅰ類組合，7(φ0，-1，1)、11(φ1，4，-5)的組合波長均大于4 m，以cycle為單位的電離層延遲誤差放大系數(shù)和噪聲觀測系數(shù)均相對較小，滿足最優(yōu)選組合的標準。

第Ⅱ類組合，1(φ-1，-9，10)、2(φ-1，-8，9)、3(φ-1，-7，8)在表2各組合中波長較短，同時以cycle為單位的電離層延遲誤差放大系數(shù)和觀測噪聲系數(shù)相對較大，不是優(yōu)選組合。

第Ⅲ類組合，13(φ2，6，-8)、14(φ2，7，-9)、15(φ2，8，-10)波長較短，觀測噪聲系數(shù)較大，而電離層延遲誤差放大系數(shù)特別小，因此這類組合比較適合應(yīng)用于中長基線條件下整周模糊度的固定，但由于其波長較小，故在模糊度解算中應(yīng)充分考慮到對流層延遲對定位的影響。

第Ⅳ類組合，4(φ0，-4，4)、5(φ0，-3，3)、6(φ0，-2，2)、8(φ1，1，-2)、9(φ1，2，-3)、10(φ1，3，-4)、12(φ2，5，-7)，該類組合優(yōu)選性在第Ⅰ類組合與第Ⅱ類組合之間，電離層延遲誤差放大系數(shù)和噪聲觀測系數(shù)相對第Ⅰ類組合較小，相比第Ⅱ類組合較大。其中，組合6(φ0，-2，2)和組合10(φ1，3，-4)在該類組合中波長相對較大，因此在短基線條件下，電離層延遲誤差和對流層延遲誤差可以通過組合雙差解算大大削弱或消除，此時該類組合可以選用。

3.2 算法驗證

為進一步驗證文中優(yōu)選組合的可靠性，本文采用無幾何層疊模糊度解算(Cascading Integer Resolution, CIR)方法對實測BDS三頻載波相位組合觀測值進行模糊度的解算。

無幾何CIR方法是無幾何序貫取整算法的一種，其解算思路是根據(jù)不同的載波組合觀測量的波長和相應(yīng)的組合電離層誤差、噪聲誤差特點，在保證組合觀測量的綜合誤差小于1/2的組合波長情況下，對模糊度浮點解四舍五入直接取整固定，最后再確定原始的雙差模糊度[15-17]。

略去雙差符號以及衛(wèi)星與接收機標識，雙差偽距觀測量可以表示為以下形式：

P=ρ+qpI+Tp+ep

(16)

式中：qp表示雙差電離層延遲放大系數(shù)；Tp表示雙差對流層延遲誤差；I表示 B1頻點上的雙差電離層延遲誤差；ep表示偽距觀測噪聲。

同時，用下標“E”“W”“N”分別表示超寬巷、寬巷和窄巷載波，那么以m為單位超寬巷、寬巷和窄巷載波相位組合觀測量ΦEWL、ΦWL和ΦNL形式可以寫成：

ΦE=λEφE=ρ-λENE-μEI1+TE+λEεE

(17)

ΦW=λWφW=ρ-λWNW-μWI1+TW+λWεW

(18)

ΦN=λNφN=ρ-λNNN-μNI1+TN+λNεN

(19)

無幾何CIR方法的具體步驟如下。

步驟1：選取B3頻點偽距觀測量求解超寬巷模糊度，直接取整固定。

B3頻點的雙差偽距觀測方程與組合系數(shù)為(0，-1，1)的超寬巷組合觀測值ΦE雙差觀測方程如下：

P3=ρ+q3I+T3+ep3

(20)

ΦE=λφE=ρ-λENE-μEI1+TE+εE

(21)

由上兩式可得超寬巷模糊度表達式為：

(22)

對于上式，略去對流層延遲誤差、電離層延遲誤差和觀測噪聲，并對其直接進行取整固定，超寬巷模糊度整數(shù)解可以表示為：

(23)

式中，round[·]為取整符號。

步驟2：將求解得到的超寬巷模糊度整數(shù)解作為已知值，求解寬巷模糊度。

將載波超寬巷組合觀測量與載波寬巷組合觀測量進行差分：

(24)

略去對流層延遲誤差、電離層延遲誤差和觀測噪聲，并對其直接進行取整固定，寬巷模糊度整數(shù)解可以表示成

(25)

步驟3：利用固定后的寬巷模糊度，求解原始載波的雙差模糊度。

B1頻點的載波雙差觀測方程為：

λ1φ1=ρ-λ1N1-μ1I1+T1+λ1ε1

(26)

將式(25)代入式(18)并結(jié)合式(26)可得 B1頻點的雙差模糊度為：

(27)

忽略電離層誤差和噪聲誤差四舍五入取整得B1頻點雙差模糊度為：

(28)

(29)

(30)

以上就是無幾何CIR方法解算的全過程。

根據(jù)實測BDS觀測數(shù)據(jù)，利用B1、B2、B3三個頻點的觀測值，測定不同組合的模糊度估值殘差解算結(jié)果如圖3～6所示。

圖3 (φ0，-1，1)組合模糊度估值殘差Fig.3 Residual ambiguity difference of combination(φ0，-1，1)

圖4 (φ1，4，-5)組合模糊度估值殘差Fig.4 Residual ambiguity difference ofcombination(φ1，4，-5)

圖5 (φ-1，-9，10)組合模糊度估值殘差Fig.5 Residual ambiguity difference of combination(φ-1，-9，10)

圖6 (φ-1，-8，9)組合模糊度估值殘差Fig.6 Residual ambiguity difference of combination(φ-1，-8，9)

由圖3～6可知，組合1(φ-1，-9，10)和2(φ-1，-8，9)模糊度估值殘差解算結(jié)果較大，最大接近2 cycle，在表2 所列優(yōu)選組合中對模糊度的固定效率最低。組合7(φ0，-1，1)和11(φ1，4，-5)模糊度殘差解算結(jié)果較小，在0.5 cycle以內(nèi)，對模糊度的固定效率最高。由此可得，組合7(φ0，-1，1)、11(φ1，4，-5)的特性要比組合1(φ-1，-9，10)、2(φ-1，-8，9)好。

4 結(jié)論

本文引入三頻載波相位組合觀測值定義，對其進行誤差分析，以長波長、弱電離層延遲、弱觀測噪聲作為優(yōu)選組合系數(shù)的篩選標準，針對高維多頻混合數(shù)據(jù)的聚類需求，采用基于加權(quán)的模糊C均值聚類算法，通過對同一維度的篩選標準在不同簇集上賦予不同的權(quán)重值，對傳統(tǒng)遍歷搜索法得到的部分組合進行分類，并對分類結(jié)果進行分析，確定了每一類組合的適用范圍，最后結(jié)合北斗三頻實測數(shù)據(jù)，利用無幾何CIR算法計算組合模糊度估值殘差，通過優(yōu)選組合與非優(yōu)選組合之間的比較證明，本文所選方法可以有效地對高頻數(shù)據(jù)進行自動分類。