分離法破解高考函數(shù)壓軸題

陳小波

【摘 要】“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，歷屆高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)與函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸思想，體現(xiàn)了綜合性、應(yīng)用性、靈活性。

【關(guān)鍵詞】高考；函數(shù)；分離法

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0042-02

分離法可以將方程或不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過求導(dǎo)研究其性質(zhì)來解決。常見分離法有：分離參數(shù)法，分離函數(shù)法等。

1 分離參數(shù)法

含參數(shù)的不等式中，常用分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決。

例1 （2017全國II卷文21題）[1]設(shè)函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性；（過程略）

（2）當(dāng)≥0時，≤，求的取值范圍.

分析：因為≥0時，恒有≤，即≤0

即≤0，可得：≤，

觀察不等式≤，容易想到構(gòu)造差函數(shù)輔助解決。

進(jìn)一步觀察，不等式≤中的和很容易分離到不等號兩邊，可以考慮分離參數(shù)法。

當(dāng)時，不等式恒成立。

當(dāng)時，需證≥恒

成立。

設(shè)，

則，注意到

設(shè)，

則

因為，所以，則恒

成立。

所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，且。

所以，則在時單調(diào)遞減，且，

因為，

所以，

則≥1，綜上所述，的取值范圍是。

2 分離函數(shù)法

如果不等式中同時出現(xiàn)類似和等組合，可以先進(jìn)行拆分，將函數(shù)進(jìn)行分離，構(gòu)造多個新函數(shù)，分離后便于求導(dǎo)和簡化運(yùn)算。

例2（2014全國I卷理21題）[2]設(shè)函數(shù)。曲線在點（1，）處的切線為。

（1）求，；（，過程略）。

（2）證明：。

分析：結(jié)合（1）知，因為，所以，觀察不等式，嘗試構(gòu)造差函數(shù)，在證明函數(shù)值大于0，若直接求函數(shù)的最小值，通過證明這個函數(shù)的最小值大于1，會遇到較大困難。

進(jìn)一步觀察，進(jìn)行適當(dāng)變換，將不等式轉(zhuǎn)化為證明恒成立，可以利用分離函數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)和函數(shù)，然后再分別研究這兩個函數(shù)的性質(zhì)，作出這兩個函數(shù)的圖像（如圖1），會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，的最小值大于等于的最大值，問題得以解決。

圖1

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

則在的最小值為。

圖2

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以在的最大值為。又因為，

所以，當(dāng)時，，即成立。

事實上，觀察不等式，也可以轉(zhuǎn)化為不等式，然后構(gòu)造函數(shù)和函數(shù)，做出這兩個函數(shù)的圖像（如圖2），可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)>0時，函數(shù)的圖像總是在函數(shù)的圖像的上方，則當(dāng)時，不等式恒成立，所以恒成立，所以成立。

總之，分離法是高中數(shù)學(xué)中比較常見的數(shù)學(xué)思想方法，特別是對于含有參數(shù)的不等式或者方程的問題，分離法是解決此類問題的重要途徑[3]。使用分離法，容易理清解題思路，簡化運(yùn)算，提高做題的正確率，越來越多的壓軸題都需要使用該思想方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛朝陽，邵利.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷文科壓軸題的研究與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（09）.

[2]徐堅.轉(zhuǎn)換觀點 化繁為簡[J].數(shù)學(xué)通訊，2016（Z4）.

[3]徐章韜，劉創(chuàng)業(yè).MKT：化無形思想為有形技巧——基于對一道“函數(shù)的零點”高考試題的分析[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（08）.