幾何直觀的內(nèi)涵、分類與教學(xué)要領(lǐng)

王強(qiáng)國(guó)

（寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225800）

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的三個(gè)核心詞之一。事實(shí)上，“直觀”是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的教學(xué)手段，因而對(duì)于“幾何直觀”，一線的教者往往局限于從“理性到感性”的教學(xué)回歸的認(rèn)知層面，洞悉不到背后的“超越”。盡管提出多年，實(shí)踐中，“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象比比皆是，有必要對(duì)之進(jìn)行更為深入的剖析與解讀，以落實(shí)相關(guān)的課程目標(biāo)。

一、“幾何直觀”的內(nèi)涵解讀

（一）“幾何直觀”的課標(biāo)詮釋

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！盵1]

這段話可分為三層理解：第一句話指出了“幾何直觀”特殊性的一面——利用圖形，同時(shí)將“幾何直觀”的兩種主要表現(xiàn)進(jìn)行精煉的概括；后兩句話進(jìn)一步解釋幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，或者說(shuō)它的作用（功能）。這里仍然采用描述性的定義方式，將義務(wù)教育三個(gè)學(xué)段的共性特征加以闡述。其中的兩個(gè)地方值得注意：一是第一句話“幾何直觀主要指……”中的“主要”一詞，關(guān)于“幾何直觀”的含義，國(guó)內(nèi)的一些專家學(xué)者從不同視角發(fā)表自己的看法，但迄今為止尚未達(dá)成共識(shí)，這樣的描述，為理論研究者以及實(shí)踐工作者提供了進(jìn)一步豐富完善“幾何直觀”的認(rèn)知空間；二是最后一句話“……在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用”，表明“幾何直觀”應(yīng)用范圍很廣，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力，在所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，都要重視學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。

（二）“幾何直觀”的引申解讀

數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert）認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)中，像在任何科學(xué)研究中那樣，有兩種傾向：一種是抽象的傾向，即從所研究的錯(cuò)綜復(fù)雜的材料中提煉出其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系把這些材料做系統(tǒng)的有條理的處理；另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對(duì)象，側(cè)重于它們之間關(guān)系的意義，也可以說(shuō)領(lǐng)會(huì)它們的生動(dòng)的形象?！盵2]數(shù)學(xué)家克萊因（Morris Kline）指出：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握?！盵3]徐利治教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)中，直觀一詞解釋為借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。例如，借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，即可稱之為幾何直觀。[4]

西方哲學(xué)家通常認(rèn)為：“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接地把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。”心理學(xué)家則認(rèn)為：“直觀是從感覺到的具體對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力?！盵5]

這些論述的共同點(diǎn)在于：直觀、數(shù)學(xué)直觀、幾何直觀，雖然是一種直觀的感知或者直接的把握，但都不再停留于感性認(rèn)識(shí)的階段，而是高階思維、創(chuàng)新思維的結(jié)果，都有思維的參與，可以說(shuō)是理性認(rèn)識(shí)的升華，是認(rèn)識(shí)的返璞歸真。

二、“幾何直觀”的分類舉隅

關(guān)于直觀的分類，康德指出：“一類是經(jīng)驗(yàn)直觀，一類是純粹直觀?！盵6]這是從哲學(xué)角度做出的權(quán)威解釋。結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科教學(xué)，國(guó)內(nèi)一些學(xué)者從不同角度給出自己的分類方法。

有學(xué)者將“幾何直觀”分為四種表現(xiàn)形式：一是實(shí)物直觀，指借助與研究對(duì)象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際存在物，借助其與研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡(jiǎn)捷、形象的思考，獲得針對(duì)研究對(duì)象的深刻判斷；二是簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，所形成的、半符號(hào)化的直觀；三是圖形直觀，是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀；四是替代物直觀，一種復(fù)合的幾何直觀，既可以依托簡(jiǎn)捷的直觀圖形，又可以依托用語(yǔ)言或?qū)W科表征物所代表的直觀形式，還可以是實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀的復(fù)合物。[7]

有學(xué)者依據(jù)直觀對(duì)于數(shù)學(xué)的雙重意義（數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)理解的深化），對(duì)“幾何直觀”加以區(qū)分。將處于感性認(rèn)識(shí)階段的、較低層次的幾何直觀，稱之為“直觀感知”，即觀察認(rèn)識(shí)了直觀載體的外在現(xiàn)象或表面意義；將高層次的幾何直觀，概括為“直觀洞察”，即發(fā)現(xiàn)了直觀載體的深層意義或內(nèi)在本質(zhì)；將介于“直觀感知”與“直觀洞察”之間的水平，稱之為“直觀理解”。[8]

有學(xué)者將“幾何直觀”分為三個(gè)層次并概括其相應(yīng)的表現(xiàn)。第一層次：建立和形成敏捷而準(zhǔn)確的幾何直覺——感覺與圖形相隨。表現(xiàn)為：能借助圖形思考問(wèn)題，形成感知；能根據(jù)需要畫出圖形，輔助思考；能結(jié)合實(shí)際完善圖形，發(fā)現(xiàn)思路。第二層次：實(shí)施深入而靈活的幾何探索——視覺與思維共行。表現(xiàn)為：能結(jié)合圖形特征思考，具備良好的觀察力；能靈活進(jìn)行合情推理，具備良好的探索力；能因題制宜構(gòu)造分析，具備一定的創(chuàng)造力。第三層次：成為分析和解決問(wèn)題的有效工具——抽象與形象互輔。表現(xiàn)為：有效分離基本圖形，突破問(wèn)題；善于構(gòu)造幾何模型，變更命題；全面認(rèn)知圖形，隨機(jī)應(yīng)變。[9]

以上學(xué)者的分類，雖然方式與標(biāo)準(zhǔn)不一，但共性也很顯見。首先，都重視學(xué)生“幾何直觀”的先天經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上，即使剛進(jìn)入小學(xué)的學(xué)生，也有一定的幾何抽象能力，這種與生俱來(lái)的抽象能力，是培養(yǎng)“幾何直觀”的基礎(chǔ)，分類中抽象的程度越來(lái)越高，但都以保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)為起點(diǎn)。其次，都重視“幾何直觀”的后天形成，關(guān)注這種能力提升的漸進(jìn)性，為一線教師的教學(xué)實(shí)踐提供參考。

三、“幾何直觀”的教學(xué)要領(lǐng)

（一）認(rèn)知理解的寬泛性

1.對(duì)“圖形”的理解

相對(duì)于一般意義上的直觀，“幾何直觀”的特殊之處在于：借助幾何圖形（空間形式）。幾何圖形分為立體圖形（柱體、椎體、旋轉(zhuǎn)體等）和平面圖形（圓形、多邊形、弓形等），這些幾何圖形為培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”能力提供了豐富的素材。但“幾何直觀”的本質(zhì)在于借助圖形展開數(shù)學(xué)思考。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于“圖形”的理解不妨更寬泛一些，外延更廣一些。一方面，只要有利于思考和理解，不必囿于規(guī)范的幾何圖形，比如用倒推的策略解決問(wèn)題中，在表征題意的過(guò)程中，學(xué)生自然想到了箭頭圖，借助箭頭圖，學(xué)生把數(shù)量的變化過(guò)程清晰呈現(xiàn)，從而理解算法與算理，因此不妨將之納入“幾何圖形”的范疇之中；另一方面，圖形既可以是有形的可視的，也可以是無(wú)形的想象的。事實(shí)上，隨著學(xué)生“幾何直觀”能力的提升，完全能夠進(jìn)入直接利用表象在頭腦中進(jìn)行思考的境界，典型案例是“珠心算”中的“心算”。教學(xué)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”的意識(shí)，在需要幫助時(shí)，能夠想到這種方法，并且成功運(yùn)用。此外，一些教者過(guò)分強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范的做法，也值得思考，比如草稿上畫長(zhǎng)方形一律要求借助直尺，同時(shí)要求學(xué)生考量各段之間的長(zhǎng)度比例。試想教者自己在畫圖的過(guò)程中是否都做到了規(guī)范？“圖形”更重要的是表達(dá)關(guān)系，只要能幫助學(xué)生直觀分析和解決問(wèn)題，畫草圖不該一味指責(zé)，否則，可能得到規(guī)范卻挫傷學(xué)生畫圖的積極性，也會(huì)影響學(xué)生思維的連貫性。

2.對(duì)“幾何直觀”的認(rèn)知

在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，有不少與“幾何直觀”既有聯(lián)系，又有區(qū)別的相關(guān)術(shù)語(yǔ)，如“空間觀念”“數(shù)形結(jié)合”“幾何推理”“幾何直覺”“直觀幾何”等。許多專家進(jìn)行了深入細(xì)致的分析與解讀。如“幾何直觀”與“數(shù)形結(jié)合”，有學(xué)者指出：“從內(nèi)涵看，數(shù)形結(jié)合看重?cái)?shù)學(xué)兩類研究對(duì)象（數(shù)量關(guān)系與空間形式）之間的聯(lián)系，幾何直觀側(cè)重?cái)?shù)學(xué)研究對(duì)象的幾何意義；從外延看，數(shù)形結(jié)合具有兩方面的作用：形使數(shù)更直觀，數(shù)使形更入微。兩者區(qū)別在于：數(shù)形結(jié)合還具有數(shù)形更入微的作用，而幾何直觀則還可以運(yùn)用于幾何本身?！盵10]這樣的區(qū)分理解起來(lái)并不難，從學(xué)術(shù)研究的角度也是有價(jià)值的，但在實(shí)踐中，很難把控。仍以“數(shù)形結(jié)合”與“幾何直觀”為例，截至目前，還沒(méi)有學(xué)者能找到不是“數(shù)形結(jié)合”的“幾何直觀”的例子。正如曹培英老師認(rèn)為：面對(duì)小學(xué)課堂的真實(shí)情境，真正進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，又不得不承認(rèn)，這些概念之間的差異，實(shí)在微不足道，可以忽略不計(jì)。只要切實(shí)加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)，重視數(shù)形結(jié)合就可以了，到了高中，相對(duì)于義務(wù)教育，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更依賴抽象邏輯思維，再來(lái)強(qiáng)調(diào)“幾何直觀”，可能更具指導(dǎo)意義。[11]

（二）目標(biāo)理念“超越”性

1.課程目標(biāo)的豐盈

在義務(wù)教育階段，“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”關(guān)于“幾何直觀”教學(xué)的目標(biāo)設(shè)置層次并不豐富。第一學(xué)段的課程目標(biāo)沒(méi)有涉及幾何直觀，第二學(xué)段的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出了讓學(xué)生“感受幾何直觀的作用”，第三學(xué)段的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出了讓學(xué)生“經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程，初步建立幾何直觀”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“感受幾何直觀的作用”的目標(biāo)呈現(xiàn)，顯得有些空洞與虛幻，以至于實(shí)踐中，教者一臉茫然。作為課標(biāo)中的核心詞，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)教學(xué)最應(yīng)該培養(yǎng)的意識(shí)與能力，往往超越知識(shí)與技能層面。另一方面，“幾何直觀”并不顯性地和具體的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起。因而對(duì)于剛剛加入數(shù)學(xué)課程的“幾何直觀”，這樣的目標(biāo)設(shè)置在情理之中。其實(shí)，課標(biāo)只是規(guī)范與解放結(jié)合的指導(dǎo)性文件，并非剛性的約束。小學(xué)階段，我們不妨將“感受幾何直觀的作用”做一體兩面式解讀，即既是目標(biāo)又是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的途徑。守住這樣的底線，實(shí)踐中我們就可以創(chuàng)造更為豐富而有效的課程形態(tài)與課程經(jīng)驗(yàn)。低年級(jí)，可以將“幾何直觀”的習(xí)慣養(yǎng)成作為目標(biāo)，遇到一些復(fù)雜的問(wèn)題情境，知道借助圖形幫助思考，如“同學(xué)們站成一排，小紅左邊有3個(gè)同學(xué)，右邊有4個(gè)同學(xué)，這一排一共有多少個(gè)同學(xué)？”教者持之以恒的示范，有助于學(xué)生感受幾何直觀的價(jià)值，也能引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“幾何直觀”的解題習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)；中高年級(jí)，可以將“幾何直觀”的策略與技能的學(xué)習(xí)作為目標(biāo)，通過(guò)有計(jì)劃、有系列的問(wèn)題呈現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生積極利用各種圖形去直觀分析，積累經(jīng)驗(yàn)，在幾何直觀的積極嘗試中感受幾何直觀的價(jià)值。

2.課程理念的超越

小學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡。但在小學(xué)數(shù)學(xué)中，許多的概念與方法是抽象的，這就造成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難?？v觀“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”，有兩點(diǎn)應(yīng)對(duì)之策：“情境”和“幾何直觀”。當(dāng)然具體生動(dòng)的情境中，包含“幾何直觀”中“實(shí)物直觀”的成分。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“直觀”是最常見的教學(xué)手法，一線教師有著豐富的“幾何直觀”教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這樣的經(jīng)驗(yàn)為學(xué)生“幾何直觀”能力的培養(yǎng)提供基礎(chǔ)，面對(duì)這樣的課程理念，教者看到回歸的同時(shí)，更應(yīng)該有超越性的認(rèn)知。一是要看到圖形的直觀性，更要看到圖形的抽象性。從辯證的角度思考，事物之間的關(guān)系總是相對(duì)的，數(shù)學(xué)中的抽象與直觀也是如此，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何直觀對(duì)這個(gè)對(duì)象本身來(lái)說(shuō)，是種直觀，但對(duì)第一次接觸這個(gè)直觀方式的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能還是一種抽象。借助圖形直觀地把握數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，首先需要把研究“對(duì)象”抽象成為“圖形”，再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，這樣就把研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問(wèn)題，進(jìn)而進(jìn)行思考分析，這一系列的轉(zhuǎn)化顯然不是天然而成的。[12]二是要源于直觀，超越直觀。教學(xué)不能僅停留在直觀的層面，需要借助合適的方式，適時(shí)適度地抽象。比如“3”的認(rèn)識(shí)，可以出示3個(gè)小朋友、3個(gè)蘋果、3個(gè)圓片等，我們不能讓學(xué)生局限于“3”就是表示3個(gè)小朋友或者就是3個(gè)蘋果。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生比較得出：物品不同，都是3個(gè)。進(jìn)一步追問(wèn)：“3還可以表示什么？”從而抽象“3”。

（三）載體路徑的“雙重”性

實(shí)際教學(xué)中，要落實(shí)“感受幾何直觀價(jià)值”的課程目標(biāo)，需要借助于一定的內(nèi)容載體。依據(jù)“幾何直觀”自身的特殊性（借助圖形），以及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基礎(chǔ)性的價(jià)值定位，載體立足兩條：一是顯性的學(xué)習(xí)——習(xí)得技能；二是隱性的感知——提升意識(shí)。

1.顯性的學(xué)習(xí)

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.N.柯爾莫戈羅夫說(shuō)過(guò)：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問(wèn)題從幾何上視覺化?！盵13]事實(shí)上，一線的教師在教學(xué)中，也會(huì)有意或無(wú)意地將所要講解的問(wèn)題借助圖形直觀化?，F(xiàn)行的各個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材，都具有較強(qiáng)的直觀性（內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、色彩的選擇等），在教者的引導(dǎo)與示范下，學(xué)生已經(jīng)具有初步的依托圖形進(jìn)行表征的心理傾向。因此，“幾何直觀”的課程實(shí)施不妨圍繞“畫圖策略與技能”設(shè)立明線脈絡(luò)，其意義在于，通過(guò)有意識(shí)的不同階段的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的圖示技巧。如在低年級(jí)可以實(shí)施“實(shí)物圖——示意圖（直條圖）——線段圖”的過(guò)渡遞進(jìn)；在中年級(jí)設(shè)立畫圖策略的單元，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生掌握畫示意圖和線段圖的要點(diǎn)及技巧，經(jīng)歷借助圖進(jìn)行思考的過(guò)程，積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。[14]

有學(xué)者提出，在小學(xué)階段要逐步形成構(gòu)造直觀的系列（如圖1）。[15]從一年級(jí)開始，就可以相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生畫圖表示數(shù)，畫圖說(shuō)明計(jì)算結(jié)果，特別是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，放手學(xué)生“把應(yīng)用題畫出來(lái)”，起初數(shù)量小一些，難度低一些，要求少一些，從示意圖出發(fā)，逐步引入線段圖等。實(shí)踐表明，這樣的安排對(duì)于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力都有明顯的功效。

圖1

2.隱性的感知

學(xué)生具備了一定的畫圖技能，掌握了一些畫圖方法，是不是就一定能靈活運(yùn)用？情形并不樂(lè)觀！教學(xué)中，常常遇到這樣的尷尬：“平時(shí)用不著，用時(shí)想不到。”可見除了技能的學(xué)習(xí)，還有意識(shí)的提升。如何培養(yǎng)學(xué)生自主篩選、自覺運(yùn)用“幾何直觀”解決問(wèn)題的意識(shí)？隱性的感知，雖然沒(méi)有規(guī)劃性，但卻是極其重要和有效的路徑之一。實(shí)踐中，首先，教者自身應(yīng)具備良好的“幾何直觀”的課程意識(shí)，將平時(shí)教學(xué)中一些無(wú)意的舉措變?yōu)橛幸?、?chuàng)意的行為，從自發(fā)走向自覺；其次，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含大量的“幾何直觀”的素材，應(yīng)該充分挖掘和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中固有的幾何直觀因素，創(chuàng)造貼切的幾何直觀來(lái)理解所學(xué)的方式，引導(dǎo)學(xué)生充分感知“幾何直觀”的價(jià)值。教學(xué)案例信手拈來(lái)，如“平均數(shù)意義”體會(huì)教材安排直條的移多補(bǔ)少；“乘法分配律”教材借助求組合矩形（同寬的矩形組成一個(gè)大矩形）的面積來(lái)感悟；“倍數(shù)與因數(shù)”教材選取“擺小方塊”來(lái)體會(huì)倍數(shù)與因數(shù)之間的關(guān)系等。但對(duì)于小學(xué)生而言，我們還需要在更廣的范圍，精選更具代表性、更有震撼力的習(xí)題，讓學(xué)生在“復(fù)雜情境”中深刻感知“幾何直觀”的價(jià)值與魅力。比如“分?jǐn)?shù)乘法”的幾何模型，為什么分子和分子相乘，分母和分母相乘？借助“幾何直觀”一目了然（見圖2）。

圖2

（四）實(shí)踐操作的過(guò)程性

1.“幾何直觀”本體的過(guò)程性

從“幾何直觀”的內(nèi)涵看，它既是學(xué)生個(gè)體與生俱來(lái)或者后天學(xué)習(xí)所形成的相關(guān)技能，表現(xiàn)出結(jié)果屬性，也是利用圖形描述問(wèn)題、思考問(wèn)題的過(guò)程，表現(xiàn)出過(guò)程屬性；從目標(biāo)看，“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”定位為“感受幾何直觀的作用”，而“感受”是描述過(guò)程性目標(biāo)的行為動(dòng)詞；再?gòu)膶W(xué)生視角看，如前文中所述，一種“幾何直觀”的新形式對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，往往是抽象的，如果學(xué)生不領(lǐng)會(huì)幾何圖形本身的特征，不明晰圖形本身具有的數(shù)學(xué)模型意義，那么圖形就不具有讓數(shù)學(xué)思考變得有形可視的直觀作用。而學(xué)生的“領(lǐng)會(huì)”“明晰”能力的提升需要初次接觸時(shí)完整經(jīng)歷逐步感知過(guò)渡到理解的過(guò)程，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中不斷強(qiáng)化，圖形才能體現(xiàn)“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”的深遠(yuǎn)價(jià)值。事實(shí)上，“幾何直觀”是一種意識(shí)，也是一種能力，更是一種思維方式，無(wú)論從哪個(gè)維度思考，都不難發(fā)現(xiàn)，其培養(yǎng)與提升有一個(gè)過(guò)程，不可能一蹴而就。教者應(yīng)該有一定的規(guī)劃，將長(zhǎng)期目標(biāo)與短期目標(biāo)有機(jī)整合，培養(yǎng)策略在立足課堂的同時(shí)注重課外延展，將數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與生活巧妙鏈接。這種本體的過(guò)程性認(rèn)知，有助于教者提升“幾何直觀”的課程意識(shí)，更系統(tǒng)地踐行，也有助于實(shí)踐中，以更加平和的心態(tài)面對(duì)課堂中的得與失，學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)與對(duì)。

2.“幾何直觀”教學(xué)的過(guò)程性

從教學(xué)的層面看，“幾何直觀”的能力提升中，立足畫圖、析圖等技能技巧的訓(xùn)練，是行之有效的切入點(diǎn)，但不能用機(jī)械講解的方式灌輸給學(xué)生，應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷自主嘗試、小組合作、分享交流、思維碰撞的過(guò)程。首先，要關(guān)注“幾何直觀”的形成過(guò)程?！皫缀沃庇^”需要依托圖形，圖形的介入應(yīng)該避免直接的呈現(xiàn)，比如將圖文同時(shí)呈現(xiàn)，然后要求學(xué)生借助圖形思考問(wèn)題。這種情形下，可能學(xué)生思維的難度降低，正確解答的成功率提升了，但“幾何直觀”的意識(shí)淡化了，即在沒(méi)有外界提醒的情況下，學(xué)生想不到借助“幾何直觀”思考問(wèn)題。因此，面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，要讓學(xué)生有思考醞釀、篩選策略的過(guò)程，在此基礎(chǔ)上，適當(dāng)點(diǎn)撥，逐步養(yǎng)成“幾何直觀”的思維方式。其次，要關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程。面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不同學(xué)生“幾何直觀”的外化形式可能有許多種，比如有學(xué)生畫的是面積圖，有學(xué)生畫的是線段圖等。同時(shí)，具體到某一個(gè)學(xué)生，圖示的方法又有優(yōu)劣甚至對(duì)錯(cuò)之分，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生表述自己的思維過(guò)程，如“你是怎么想到的？”“你的圖想表達(dá)什么意思？”等。在這個(gè)過(guò)程中，要特別注意保護(hù)、激發(fā)學(xué)生的直觀稟賦，教者要用直觀而不是“幾何直觀”的視野去品讀和領(lǐng)悟?qū)W生的表達(dá)，當(dāng)學(xué)生用直觀方式表達(dá)交流的愿望不斷得到強(qiáng)化，隨著幾何知識(shí)的積累，幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富，“幾何直觀”也會(huì)越來(lái)越得到自覺運(yùn)用。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“幾何直觀”的培養(yǎng)是一個(gè)潛移默化、逐漸滲透的過(guò)程，對(duì)內(nèi)涵的深刻認(rèn)知，對(duì)細(xì)節(jié)的深入關(guān)注，有助于我們洞悉“回歸”背后的“超越”，探索更加豐富而有效的教學(xué)對(duì)策，更加全面地落實(shí)課程目標(biāo)，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升做出應(yīng)有的努力！▲