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    受正弦擾動(dòng)的線性系統(tǒng)的無靜差控制?

    2019-06-15 02:07:30唐功友
    關(guān)鍵詞:內(nèi)模正弦閉環(huán)

    林 華, 宿 浩, 唐功友

    (中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 青島 266100)

    在實(shí)際應(yīng)用中,幾乎所有的控制系統(tǒng)都會(huì)受到來自外部的擾動(dòng)信號(hào)。系統(tǒng)的外部擾動(dòng)往往使得控制系統(tǒng)的性能明顯減弱,甚至使閉環(huán)系統(tǒng)無法正常工作。在實(shí)際系統(tǒng)中,具有正弦特性或周期性特性的擾動(dòng)是很常見的擾動(dòng)形式,如飛機(jī)飛行振動(dòng)控制系統(tǒng)[1]、海洋平臺(tái)振動(dòng)實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)[2]、工業(yè)噪聲減振控制、汽車振動(dòng)減振控制系統(tǒng)等都是在具有正弦特性或周期性特性的擾動(dòng)下工作的。因此,研究如何減弱或者抑制外部擾動(dòng)信號(hào)對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響,對(duì)實(shí)際工程實(shí)踐有重要的意義。

    對(duì)于受擾系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制問題,通常前饋反饋算法較經(jīng)典的反饋控制有更好的擾動(dòng)抑制效果,例如文獻(xiàn)[3]針對(duì)正弦擾動(dòng)的控制系統(tǒng),給出了一種前饋反饋的擾動(dòng)抑制算法。前饋控制的缺點(diǎn)是需要增加擾動(dòng)傳感器實(shí)時(shí)測(cè)量擾動(dòng)信號(hào)。對(duì)于已知頻率、未知振幅和初相角的不可測(cè)量的正弦擾動(dòng),或其它不可測(cè)量的恒值擾動(dòng),比較有效的擾動(dòng)抑制控制方案包括自適應(yīng)控制[4-5]和預(yù)測(cè)控制[6-7]等,這些方法對(duì)于具有持續(xù)擾動(dòng)(如正弦擾動(dòng))的抑制在一定范圍內(nèi)都會(huì)存在不同程度的靜差?;趦?nèi)模原理的控制器設(shè)計(jì)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制,目前利用內(nèi)模原理主要是針對(duì)擾動(dòng)的不穩(wěn)定模態(tài)設(shè)計(jì)擾動(dòng)抑制控制器[8-9]。文獻(xiàn)[10]利用內(nèi)模原理設(shè)計(jì)了一種受正弦擾動(dòng)的系統(tǒng)的無靜差擾動(dòng)抑制控制器,這種控制器要求正弦擾動(dòng)是可測(cè)量的,控制器中包含了前饋控制的分量。

    本文針對(duì)受外部持續(xù)正弦擾動(dòng)的n階線性系統(tǒng),提出了一種設(shè)計(jì)無靜差擾動(dòng)抑制控制器的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)狀態(tài)反饋控制器具有二階動(dòng)態(tài)特性。通過設(shè)計(jì)控制器中的n+2個(gè)參數(shù),可以使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置,從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)漸近穩(wěn)定性。利用內(nèi)模原理,通過在控制器中嵌入正弦擾動(dòng)的模態(tài)矩陣,保證了閉環(huán)系統(tǒng)的無靜差擾動(dòng)抑制。

    1 問題描述

    考慮受正弦擾動(dòng)的線性系統(tǒng)

    (1)

    式中:x∈Rn、u∈R、w∈R分別是狀態(tài)向量、控制輸入和擾動(dòng)輸入;x0是初始狀態(tài)向量;A,B為適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣,假設(shè)矩陣對(duì)(A,B)是完全能控的。不失一般性,可將系統(tǒng)(1)描述為能控規(guī)范型形式,即

    (2)

    假設(shè)外部擾動(dòng)w(t)為正弦特性:

    w(t)=asin(ωt+b)。

    (3)

    式中:頻率ω是已知的,振幅a和初相位b是未知的。并假設(shè)外部擾動(dòng)w(t)是物理不可測(cè)量的。

    在實(shí)際系統(tǒng)中,由公式(3)描述的外部擾動(dòng)是普遍存在的,如工業(yè)生產(chǎn)過程中,來自50 Hz工頻干擾的電壓信號(hào),其頻率是已知的,但初相位和干擾的振幅是未知的。

    本文的研究目的是對(duì)于由公式(1)描述的線性系統(tǒng),如何設(shè)計(jì)反饋控制律,實(shí)現(xiàn)對(duì)正弦擾動(dòng)公式(3)的無靜差擾動(dòng)抑制。

    2 無靜差控制律的設(shè)計(jì)

    (4)

    式中

    (5)

    對(duì)于傳統(tǒng)的內(nèi)模原理設(shè)計(jì)方法,總是考慮在閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)嵌入系統(tǒng)擾動(dòng)或系統(tǒng)參考輸入的不穩(wěn)定的模態(tài),其目的是抵消系統(tǒng)外部輸入的不穩(wěn)定模態(tài)引起的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。基于內(nèi)模原理的設(shè)計(jì)方法,本文試圖在閉環(huán)系統(tǒng)中嵌入純虛數(shù)極點(diǎn)模態(tài),并提出設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法。

    我們?cè)O(shè)計(jì)如下動(dòng)態(tài)控制律:

    (6)

    將動(dòng)態(tài)控制律(6)代入系統(tǒng)(1),得到系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng):

    (7)

    圖1示出了閉環(huán)系統(tǒng)(7)的結(jié)構(gòu)圖。

    我們的目的是設(shè)計(jì)2×n矩陣H和n階行向量k使得:

    (I)閉環(huán)系統(tǒng)(7)的極點(diǎn)可以任意配置,即可使閉環(huán)系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定,且當(dāng)擾動(dòng)w(t)≡0時(shí),狀態(tài)向量x(t)可以以任意預(yù)先給定的指數(shù)速率趨向于0。

    (II)當(dāng)擾動(dòng)w(t)由(3)描述時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)(7)可以實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制,即:狀態(tài)向量x(t)滿足:

    (8)

    圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System structure diagram

    由公式(7)可知,閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)(n+2)階系統(tǒng)。我們知道,要使閉環(huán)系統(tǒng)(7)的極點(diǎn)可以任意配置,在控制律公式(6)的2×n矩陣H和n階行向量k中,至少要有(n+2)個(gè)自由分量可供我們?cè)O(shè)計(jì)。又要使控制律(6)的結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單,我們希望控制律公式(6)的2×n矩陣H和n階行向量k中分量可供我們?cè)O(shè)計(jì)的自由分量個(gè)數(shù)越少越好。依據(jù)這一設(shè)計(jì)原則,我們選擇2×n矩陣H和n階行向量k的結(jié)構(gòu)為:

    (9)

    k1,k2和hi(i=1,2,…,n)為待定的常數(shù)。

    我們先給出主要結(jié)果:

    定理1設(shè)計(jì)受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)。適當(dāng)選擇控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n),閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)的極點(diǎn)可以任意配置。

    (10)

    (11)

    λn+2+(k2-an)λn+1+(ω2+k1-an-1)λn+

    [hn+ω2(k2-an)-an-2]λn-1+

    [hn-1+ω2(k1-an-1)-an-3]λn-2+

    (hn-2-ω2an-2-an-4)λn-3+…+(h3-ω2a3-a1)λ2+

    (h2-ω2a2)λ+(h1-ω2a1)。

    (12)

    預(yù)先給定閉環(huán)系統(tǒng)公式(10)的(n+2)個(gè)極點(diǎn)λi(i=1,2,…,n+2),則有:

    (13)

    其中:

    (14)

    比較公式(12)和(13)等號(hào)右邊λ的同次冪系數(shù),得到:

    hn+ω2(k2-an)-an-2=βn-1,
    hn-1+ω2(k1-an-1)-an-3=βn-2,
    hn-2-ω2an-2-an-4=βn-3,

    h3-ω2a3-a1=β2,
    h2-ω2a2=β1,
    h1-ω2a1=β0,
    k2-an=βn+1,
    ω2+k1-an-1=βn。

    (15)

    求解(15)得:

    hn=an-2-ω2βn+1+βn-1,
    hn-1=an-3+ω2(ω2-βn)+βn-2,
    hn-2=an-4+ω2an-2+βn-3,

    h3=a1+ω2a3+β2,
    h2=ω2a2+β1,
    h1=ω2a1+β0,
    k2=an+βn+1,
    k1=an-1-ω2+βn。

    (16)

    綜上分析,只要按(16)選取控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n),則閉環(huán)系統(tǒng)(10)的極點(diǎn)可以任意配置。

    推論1設(shè)計(jì)受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律(6)。適當(dāng)選擇控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n),如果系統(tǒng)擾動(dòng)w(t)≡0,閉環(huán)系統(tǒng)(7)可以是指數(shù)漸近穩(wěn)定的,且狀態(tài)向量x(t)可以以任意預(yù)先給定的指數(shù)速率趨向于0。

    證明 令系統(tǒng)擾動(dòng)w(t)≡0,則閉環(huán)系統(tǒng)(10)可以寫為:

    (17)

    類似于定理1的證明,預(yù)先給定閉環(huán)系統(tǒng)(17)的(n+2)個(gè)具有負(fù)實(shí)部極點(diǎn)λi(i=1,2,…,n+2),按(16)設(shè)計(jì)控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n),則閉環(huán)系統(tǒng)(7)是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。不妨令

    (18)

    顯然,閉環(huán)系統(tǒng)(17)的解滿足:

    (19)

    式中M是足夠大的正常數(shù)。又由于是任意給定的具有負(fù)實(shí)部的常數(shù),所以且狀態(tài)向量x(t)可以以任意預(yù)先給定的指數(shù)速率趨向于0。

    注1:定理1的證明不僅證明了閉環(huán)系統(tǒng)(10)的極點(diǎn)可任意配置,而且給出了動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)的參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)的選取公式(16)。

    定理2設(shè)計(jì)受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)。按公式(16)選取控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n),則閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)關(guān)于狀態(tài)向量x(t)是漸近穩(wěn)定的,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)公式(1)的無靜差擾動(dòng)抑制,即公式(8)成立。

    證明 令

    ei(t)=vi(t)+zi(t),i=1,2。

    (20)

    由(4)和(7)得:

    (21)

    (22)

    注2: 由定理2不僅說明了利用受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)可以實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制,而且給出了動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)的參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)的選取公式(16)。

    3 示例仿真

    考慮受正弦擾動(dòng)(3)的3階線性系統(tǒng)(1),其中:

    假設(shè)系統(tǒng)的輸出為y(t)=x1(t)。系統(tǒng)的初始條件為:

    x1(0)=x2(0)=x3(0)=0,

    a=2,b=0。

    以下作者利用本文提出的動(dòng)態(tài)控制律算法公式(6)與狀態(tài)反饋控制律對(duì)該系統(tǒng)的控制效果進(jìn)行比較。在兩種控制律控制效果的討論中,假設(shè)選擇狀態(tài)反饋控制閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為:

    s1=-1+j,s2=-1-j,s3=-2。

    狀態(tài)反饋控制律及設(shè)計(jì)過程從略。

    設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)控制律公式(6),由公式(11)得閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)的系數(shù)矩陣為:

    本文分2種情形討論動(dòng)態(tài)控制律公式(6)的控制效果。

    給定閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)的(n+2)=5個(gè)極點(diǎn):

    s1=-1+j,s2=-1-j,s3=-2,s4=-3,s5=-4。

    則由公式(12)、(13)和(14)得:

    β0=48,β1=100,β2=94,β3=46,β4=11。

    再由公式(16)得到控制器參數(shù):

    h3=92-11ω2,
    h2=ω2(ω2-46)+100,
    h1=-2ω2+48,
    k2=10,
    k1=-ω2+47。

    圖2示出了ω=0.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

    圖2 ω=0.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.2 Simulation curves of the system when ω=0.5π

    圖3示出了ω=π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

    圖3 ω=π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.3 Simulation curves of the system when ω=π

    圖4示出了ω=1.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

    圖4 ω=1.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.4 Simulation curves of the system when ω=1.5π

    圖5示出了ω=2π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

    圖 5 ω=2π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.5 Simulation curves of the system when ω=2π

    從圖 2~5 中可以看到,不論外部正弦擾動(dòng)信號(hào)的頻率如何,利用本文提出的控制器算法,都能使閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)逐漸趨于0。正弦擾動(dòng)信號(hào)的頻率越低,控制效果越好。但是利用本文設(shè)計(jì)的控制律,閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的超調(diào)量會(huì)隨著正弦擾動(dòng)信號(hào)頻率的增加而增加。在列舉的仿真例子中,當(dāng)正弦擾動(dòng)信號(hào)頻率ω>1.5π時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的超調(diào)量會(huì)迅速增大。而僅利用狀態(tài)反饋控制律,閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線都不能使閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)逐漸趨于0。 但會(huì)隨著正弦擾動(dòng)信號(hào)頻率的增加而增加,閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的振蕩幅值越來越小,這說明利用狀態(tài)反饋控制的閉環(huán)系統(tǒng)有低通濾波的特性。

    綜上分析表明,本文設(shè)計(jì)的擾動(dòng)抑制控制律能使閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)漸近穩(wěn)定,而且在正弦擾動(dòng)下能夠?qū)崿F(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。本文的控制器設(shè)計(jì)方法特別適合于具有較低振蕩頻率的正弦擾動(dòng)的系統(tǒng)。

    4 結(jié)語

    本文基于內(nèi)模原理研究了輸出反饋擾動(dòng)抑制控制律的設(shè)計(jì)問題。本文設(shè)計(jì)的擾動(dòng)抑制控制律能使閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)漸近穩(wěn)定,而且在正弦擾動(dòng)下能夠?qū)崿F(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。仿真結(jié)果表明,本文的控制器設(shè)計(jì)方法僅適用于具有較低振蕩頻率的正弦擾動(dòng)的系統(tǒng),正弦擾動(dòng)的振蕩頻率越低,閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能越好。

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