數(shù)學(xué)建模思想融入下的民辦院校線性代數(shù)課程教學(xué)改革研究

卜令杰

[摘? ? ? ? ? ?要]? 通過(guò)對(duì)民辦院校線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)況進(jìn)行分析，反思當(dāng)前的線性代數(shù)教學(xué)方法，進(jìn)而得出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的必需性，并給出了將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程的方法。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 數(shù)學(xué)建模;線性代數(shù);教學(xué)改革

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）04-0206-02

一、民辦院校線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)況

線性代數(shù)是我國(guó)高等院校一門(mén)尤為重要的基礎(chǔ)理論課，它在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、抽象問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題的解決能力等方面有著尤為重要的作用。但大多線性代數(shù)教材僅僅注重知識(shí)的傳授，且將理論知識(shí)邏輯推導(dǎo)都介紹得非常非常的詳盡細(xì)致，但卻極度缺少線性代數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題的例子。與之對(duì)應(yīng)的，大多民辦院校的線性代數(shù)教學(xué)也是以理論性教學(xué)為主，課堂上幾乎都是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授及其邏輯推理，這樣的教學(xué)方法使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)只是機(jī)械、枯燥地計(jì)算，很難和知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為該門(mén)課程沒(méi)有用，只是為完成學(xué)分而學(xué)，不考研根本用不上。為改變這種教學(xué)狀態(tài)，極需對(duì)現(xiàn)在的線性代數(shù)課程進(jìn)行教學(xué)改革[1-4]。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。這種應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模。

大多數(shù)學(xué)建模試題都取材于生活實(shí)際，例如：一個(gè)企業(yè)要生產(chǎn)一種新的產(chǎn)品，應(yīng)考慮如何計(jì)劃生產(chǎn)才能以最小的投入獲取最大的利潤(rùn)。要解決此類問(wèn)題，就要用到線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，這種與生活及日后工作密切相關(guān)的問(wèn)題能夠引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。通過(guò)對(duì)這種用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題例子的講解，可以使學(xué)生更容易體會(huì)到線性代數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的用途。這樣不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)也可以消除數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)用的觀點(diǎn)。因此，將數(shù)學(xué)建模的思想引入線性代數(shù)課程的日常學(xué)習(xí)中就顯得非常有必要。

所以為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)線性代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的乏味，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力以便更快、更好地適應(yīng)社會(huì)，我們有必要將數(shù)學(xué)建模的思想貫徹到線性代數(shù)知識(shí)的日常學(xué)習(xí)中。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程

（一）把數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)定義的講解中

線性代數(shù)課程所涉及的很多定義，都是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中一些實(shí)際的問(wèn)題進(jìn)行歸納和概括得來(lái)的。因此，對(duì)這些定義進(jìn)行講解時(shí)，可以借助歷史背景以及其在生活實(shí)際中的應(yīng)用等對(duì)其歸納和概括的過(guò)程進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生感知定義得出的整個(gè)過(guò)程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，逐步樹(shù)立數(shù)學(xué)建模思想，養(yǎng)成觀察生活的習(xí)慣，更好地利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活實(shí)際問(wèn)題。比如，在求解空間多面體模型體積的過(guò)程中可以借鑒他人的求解過(guò)程，從平行四邊形和空間六面體體積出發(fā)，得到2階和3 階行列式的基本公式，從而引起學(xué)生對(duì)定義和公式的推導(dǎo)興趣。在有了模型的前提下，就有了實(shí)際應(yīng)用的背景，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的目的性也會(huì)更加明確[5]。

線性相關(guān)性是線性代數(shù)課程中的核心定義，深刻理解和掌握這兩個(gè)定義對(duì)整個(gè)線性代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)都尤為重要。然而向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)理論較抽象，我們可以利用數(shù)學(xué)模型來(lái)幫助學(xué)生理解這組定義。

例：在化工、醫(yī)藥等方面都常常會(huì)遇到調(diào)配問(wèn)題。比如：某種組合材料由四種原料混合而成。但是該組合材料現(xiàn)僅有兩種不同規(guī)格，且四種原料的組合比例分別2∶3∶3∶4和1∶2∶1∶3。但是現(xiàn)在需要四種原料的比例為8∶7∶3∶5的另一種規(guī)格的材料。 問(wèn)：第三種規(guī)格的組合材料料能否由前兩種規(guī)格的組合材料按一定比例組合配制而成[6]？

假設(shè)種成分之間不會(huì)發(fā)生某些化學(xué)反應(yīng)，則材料配比問(wèn)題可以用向量來(lái)建模。假設(shè)前兩種規(guī)格的材料分裝成袋，比如說(shuō)第一種規(guī)格的材料每袋凈重12g（其中四種原料分別為2g、3g、3g、4g），第二種規(guī)格的材料每袋凈重7g（其中四種原料分別為1g、2g、1g、3g）。

根據(jù)已知數(shù)據(jù)和上述假設(shè)，可以進(jìn)一步假設(shè)將x袋第一種規(guī)格的材料與y袋第二種規(guī)格的材料混合在一起，得到的混合物中四種原料分別為8g、7g、3g、5g，則有以下的關(guān)系，實(shí)際是討論向量α，β，γ是否線性相關(guān)，進(jìn)一步討論γ能否由α，β線性表示。

xa+yβ=γ？圳x2334+y1213=8735.

（二）把數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)例題的講解中

在例題講解過(guò)程中融入數(shù)學(xué)建模思想，無(wú)論對(duì)教師講解還是學(xué)生理解都是非常有幫助的，在理論知識(shí)的講解過(guò)程中引入一些現(xiàn)實(shí)中的相關(guān)問(wèn)題，教師通過(guò)自己的講解引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去分析，在分析過(guò)程中可以提出假設(shè)，在驗(yàn)證假設(shè)合理之后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這不僅是對(duì)問(wèn)題的一個(gè)求解過(guò)程，更是處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種有效手段。此種解決問(wèn)題方法的運(yùn)用能使學(xué)生明確感受到在對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決過(guò)程中線性代數(shù)的重要作用。

特征值問(wèn)題是線性代數(shù)中比較抽象難懂的，一般教科書(shū)都是從矩陣對(duì)角化等抽象問(wèn)題來(lái)引進(jìn)，我們通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)一步理解矩陣對(duì)角化的應(yīng)用。比如：講授矩陣的對(duì)角化時(shí)引入數(shù)學(xué)模型案例——對(duì)城鄉(xiāng)人口流動(dòng)作年度調(diào)查，發(fā)現(xiàn)居民有一個(gè)穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動(dòng)的趨勢(shì)：每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn)，而城鎮(zhèn)居民的1%遷出?，F(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn)。假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流?dòng)的這種趨勢(shì)繼續(xù)下去，那么一年以后住在城鎮(zhèn)的人口所占比例是多少？?jī)赡暌院竽?？十年以后呢？最終呢？

例[7]：在講解矩陣乘法和逆矩陣知識(shí)時(shí)可以給學(xué)生講解密碼問(wèn)題如下：

把A、B…等26個(gè)大寫(xiě)英語(yǔ)字母與數(shù)字1、2、3、…、26建立1-1對(duì)應(yīng)即：A-1，B-2，C-3，…，Z-26。想要發(fā)送信息PERFECT，按照編碼規(guī)則，只需發(fā)送16、5、18、6、5、3、20共7個(gè)代碼即可。接收信息的人根據(jù)編碼規(guī)則，就可以譯出發(fā)送過(guò)來(lái)的信息。但是，這種做法信息的安全性不高，很容易被破譯。這樣，我們可以利用矩陣乘法和逆矩陣對(duì)所要傳送的消息進(jìn)行加密。例如，按編碼規(guī)則，發(fā)送信息GOOD。

首先將要發(fā)送的信息按照接收到的順序兩兩組合，則據(jù)編碼規(guī)則，每組字母都對(duì)應(yīng)一個(gè)列向量，即（G，O）T=（7，15）T，（O，D）T=（15，4）T;

其次取一個(gè)2×2的可逆陣，若取A=2 11 1，其逆陣為：A-1=1 -1-1 2。

下面用矩陣A左乘每一個(gè)列向量：A（G，O）T=2 11 1715=2922，A（G，O）T=2 11 1154=3419。

因此只需發(fā)送代碼：29、22、34、19即可。而接受信息的人只需將接收到的信息按照接收的順序兩兩組成一個(gè)列向量，再分別左乘A-1即可還原信息：A-1=2922=1 -1-1 22922=715，A-13419=1 -1-1 23419=154;

最后根據(jù)編碼規(guī)則，即可還原為發(fā)送的真實(shí)信息為：GOOD。

通過(guò)線性代數(shù)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合來(lái)講解線性代數(shù)例題，可以使學(xué)生更加容易看到、體會(huì)到線性代數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的用途，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)知識(shí)的熱情和興趣，進(jìn)而消除學(xué)生頭腦中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)除了鍛煉思維而無(wú)其他用途的觀點(diǎn)。

（三）把數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課后的練習(xí)中

民辦院校線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容側(cè)重于理論及機(jī)械的運(yùn)算，大多數(shù)的課后習(xí)題只是為鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技巧而設(shè)置的，對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題基本上沒(méi)有涉及，學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用訓(xùn)練不夠，致使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)用論，因此適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些簡(jiǎn)單的線性代數(shù)建模習(xí)題是非常有必要的，這樣既可讓學(xué)生進(jìn)一步理解和鞏固所學(xué)知識(shí)，也可讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)與數(shù)學(xué)建模思想方法相結(jié)合起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題、學(xué)以致用。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 馬燕萍