廣義二項(xiàng)式展開(kāi)式在微積分課程中的教學(xué)意義

趙偉 谷琳琳

[摘 要] 對(duì)二項(xiàng)式展開(kāi)式的推廣是牛頓發(fā)明微積分的基石，大學(xué)本科微積分課程在教學(xué)中會(huì)涉及廣義二項(xiàng)式展開(kāi)式。對(duì)廣義二項(xiàng)式展開(kāi)式在微積分課程中的教學(xué)意義進(jìn)行探討，并對(duì)此部分內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)。

[關(guān) 鍵 詞] 廣義二項(xiàng)式展開(kāi)式；HPM；數(shù)學(xué)思維方式

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2019）01-0096-03

一、引言

二項(xiàng)式定理，也叫牛頓二項(xiàng)式定理，是由牛頓于1664—1665年間提出。二項(xiàng)式定理可用下述公式表示：

（a+b）n= Cknan-kbk，n∈N，

其中，把Ckn= 稱為二項(xiàng)式系數(shù)（binomial coefficient），即取的組合數(shù)目，此系數(shù)亦可表示為楊輝三角形。根據(jù)該定理，可以將多項(xiàng)式（x+y）n擴(kuò)展為涉及axbyc形式的和的總和，其中指數(shù)b和c是具有b+c=n的非負(fù)整數(shù)，并且系數(shù)a每個(gè)項(xiàng)是根據(jù)n和b的特定正整數(shù)。

二項(xiàng)式定理可以用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=1時(shí)，則（a+b）1= Ck1a1-kbk=a+b。

假設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式在n=m時(shí)成立。設(shè)n=m+1，則：

（a+b）m+1=a（a+b）m+b（a+b）m

=a Ckmam-kbk+b Cjmam-jbj

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Cjmam-jbj+1

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Ck-1mam-k+1bk

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Ck-1mam-k+1bk+bm+1

=am+1+bm+1+ （Ckm+Ck-1m）am-k+1bk

=am+1+bm+1+ Ckm+1am-k+1bk

= Ckm+1am+1-kbk

二項(xiàng)式定理推廣到任意實(shí)數(shù)次冪時(shí)稱為廣義二項(xiàng)式定理：

（x+y）α= Ckαaα-kbk，a∈R，

其中Ckα=

對(duì)廣義二項(xiàng)式定理，一個(gè)常用形式為

（1+x）m= Ckmxk，m∈R

尤其，當(dāng)上式左邊指數(shù)為負(fù)整數(shù)時(shí)，得公式：

=（1+x）-n= Ck-nxk= （-1）kCkn+k-1xk，n∈N

牛頓推廣二項(xiàng)式定理，得到的廣義二項(xiàng)式定理，促使他以此為基礎(chǔ)發(fā)明了微積分，然而他對(duì)廣義二項(xiàng)式定理的證明沒(méi)有給出，歐拉嘗試過(guò)，但也失敗了，直到1812年高斯利用微分方法才給出了證明。

二、廣義二項(xiàng)式定理在教學(xué)中的意義

廣義二項(xiàng)式展開(kāi)式作為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)思維方式指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)具體案例，我們基于HPM“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)”的理念[1]，結(jié)合“教學(xué)三角形”理論，從三方面討論廣義二項(xiàng)式定理在教學(xué)中的意義：

（一）教師發(fā)展

教師是教育的活動(dòng)主導(dǎo)者，教師的專業(yè)化發(fā)展對(duì)發(fā)揮教師的作用至關(guān)重要。教師也是從學(xué)生逐步過(guò)渡和成長(zhǎng)為教師的，教師的知識(shí)構(gòu)架不是天生的，是在不斷學(xué)習(xí)和探索中完善起來(lái)的。廣義二項(xiàng)式定理既涉及數(shù)學(xué)史，又涉及數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維方式。搞清楚廣義二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷程和對(duì)微積分產(chǎn)生過(guò)程的奠基性作用，對(duì)教師完善自己的知識(shí)構(gòu)架，無(wú)疑是有很大益處的。

（二）教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的選擇是數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究永恒的主題，對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的改進(jìn)和數(shù)學(xué)教材的優(yōu)化更是數(shù)學(xué)課程改革所面臨的核心問(wèn)題。傳統(tǒng)經(jīng)典的教學(xué)內(nèi)容，是引例、定義或定理、注解或證明、例題或應(yīng)用，即知識(shí)性的教學(xué)內(nèi)容。現(xiàn)代教學(xué)改革加入了很多應(yīng)用性實(shí)例，既體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，又講解如何學(xué)以致用，這是一種進(jìn)步，然而這進(jìn)步還沒(méi)有結(jié)束，現(xiàn)代HPM理念的提出，更是豐富了現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容。然而這還不夠，素質(zhì)教育要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而創(chuàng)新能力的關(guān)鍵是創(chuàng)新思維。

對(duì)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，筆者認(rèn)為有兩點(diǎn)很重要：其一，創(chuàng)新意識(shí)，要有提出新問(wèn)題的意識(shí)，而不是習(xí)慣于隨波逐流，勇于和習(xí)慣于提出新問(wèn)題是創(chuàng)新意識(shí)的體現(xiàn)，也是創(chuàng)新的起點(diǎn)；其二，思維方式的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)別人解決問(wèn)題的思考角度、邏輯關(guān)系、靈感來(lái)源等，融會(huì)貫通之后用這些思維方式解決提出的其他新問(wèn)題，這是創(chuàng)新的關(guān)鍵。

廣義二項(xiàng)式定理一方面涉及數(shù)學(xué)史，這為豐富教學(xué)內(nèi)容提供了更多的案例，另一方面，廣義二項(xiàng)式定理作為牛頓發(fā)明微積分的起點(diǎn)，其不斷提出問(wèn)題，改進(jìn)結(jié)果，不斷融會(huì)貫通的過(guò)程，正是我們學(xué)習(xí)創(chuàng)新思維方式的極佳案例。

（三）學(xué)生成長(zhǎng)

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體?！皩W(xué)生學(xué)會(huì)了什么”既是教學(xué)的起點(diǎn)，又是教學(xué)的歸宿；既是教學(xué)過(guò)程的體現(xiàn)，又是教學(xué)有效的依據(jù)。學(xué)習(xí)廣義二項(xiàng)式定理，對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)而言至少具有以下三方面的意義。

其一，知識(shí)的豐富。對(duì)廣義二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與技能的掌握。因?yàn)閺V義二項(xiàng)式定理展現(xiàn)了微積分理論的產(chǎn)生背景與發(fā)展過(guò)程以及揭示出數(shù)學(xué)創(chuàng)造背后的文化內(nèi)涵，既有利于提升學(xué)生對(duì)理論的理解，又可以在一定程度上加深對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

其二，思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)的歷史是一個(gè)巨大的寶庫(kù)，沉積了無(wú)數(shù)先哲的方法和思想，在課堂上展示多樣化的數(shù)學(xué)思想方法，既可以讓學(xué)生學(xué)到多種多樣的數(shù)學(xué)思維，為他們創(chuàng)造更多的探究機(jī)會(huì)，同時(shí)古今不同數(shù)學(xué)思想方法的對(duì)比還有利于拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。廣義二項(xiàng)式定理正好展示了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的推廣及其應(yīng)用，同時(shí)也是微積分產(chǎn)生的基石，其體現(xiàn)了微積分產(chǎn)生的核心思想之一。對(duì)廣義二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

其三，興趣與情感的增強(qiáng)。將廣義二項(xiàng)式定理的數(shù)學(xué)史融入微積分的教學(xué)過(guò)程中，有利于培養(yǎng)學(xué)生正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。數(shù)學(xué)課堂上多元文化的滲透，還可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的多樣性以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系。

總之，將廣義二項(xiàng)式定理的數(shù)學(xué)史融入微積分的教學(xué)過(guò)程中，可以幫助學(xué)生更好地理解和認(rèn)識(shí)微積分。學(xué)生不但能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的起源與發(fā)展，還可以獲得數(shù)學(xué)探究的美好體驗(yàn)。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)前提

以下例題來(lái)源于同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《高等數(shù)學(xué)》（第七版下冊(cè)）第十二章第四節(jié)例6。

例：將函f（x）=（1+x）m展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，其中m為任意實(shí)數(shù)。

解：由f （n）（0）=m（m-1）…（m-k+1），n∈N得麥克勞林級(jí)數(shù)

1+mx+ x2+…+ xk+…，

此級(jí)數(shù)收斂半徑為R= = =1，

設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為F（x），x∈（-1，1），得（1+x）F′（x）=mF（x），F(xiàn)（0）=1，

解得F（x）=（1+x）m，即（1+x）m= Ckmxk，m∈R，x∈（-1，1）。

（二）類比聯(lián)想

由二項(xiàng)式定理（a+b）n= Cknan-kbk，n∈N得

（1+x）n= Cknxk，n∈N，x∈R

（三）教師板書(shū)

（四）教師提問(wèn)

1.兩個(gè)公式有何共同點(diǎn)和區(qū)別？

2.微積分方法在此處有何意義？

（五）學(xué)生探索

1.公式證明方法不同：公式一可由二項(xiàng)式定理得到，公式二可由廣義二項(xiàng)式定理得到；二項(xiàng)式定理的證明可由初等的組合數(shù)學(xué)方法經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明，而廣義二項(xiàng)式定理的證明需要高等的微積分方法通過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)證明。

2.公式實(shí)用范圍不同：公式一要求n∈N，x∈R；公式二要求m∈R，x∈（-1，1）。

（六）教師總結(jié)

1.方法的價(jià)值：體會(huì)初等組合方法與高等微積分方法的不同意義。

2.推廣的意義：牛頓推廣二項(xiàng)式定理，得到的廣義二項(xiàng)式定理，促使他以此為基礎(chǔ)發(fā)明了微積分。

（七）教師提供課外閱讀資料

《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》，美國(guó)William Dunham著，李伯民、汪軍、張懷勇譯。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭瑋，鄭毓信.HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的再創(chuàng)造[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（3）：5-7.

[2]方倩.“二項(xiàng)式定理”：在歷史中探源、求法、尋魅[J].教育研究與評(píng)論，2016（9）：37-41.

[3]丘維聲.用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2015（1）：9-14.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014-08.

[5]William Dunham.微積分的歷程：從牛頓到勒貝格[M].李伯民，汪軍，張懷勇，譯.北京：人民郵電出版社，2010-08.

編輯 馬燕萍