2018年多邊形折疊中考題賞析

張建華

摘要：本文通過對2018年的有關(guān)多邊形折疊中考題的分析，抓住折疊中角與邊不變，動中求靜，變中求不變，必要時動手操作，化抽象為直觀，能達(dá)到化難為易的解題效果.

關(guān)鍵詞：中考試題;折疊問題;多邊形折疊

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》要求“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想”.要求學(xué)生在觀察、操作等活動中獲得直觀感受，用動手實踐的方式去學(xué)習(xí)和探索，倡導(dǎo)對學(xué)生動手操作能力的培養(yǎng).因折疊問題能考查學(xué)生思維分析能力、空間想象能力、推理能力和動手能力，故折疊型題備受命題者青睞.現(xiàn)擷取2018年部分多邊形折疊中考題，以饗讀者.

1 三角形的折疊

例1（2018年徐州）如圖1，將等腰直角三角形紙片ABC對折，折痕為CD.展平后，再將點B折疊在邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點B在AC上的對應(yīng)點為M，設(shè)CD與EM交于點P，連接PF.已知BC=4.

（1）若點M為AC的中點，求CF的長;

（2）隨著點M在邊AC上取不同的位置，

①△PFM的形狀是否發(fā)生變化？請說明理由;

②求△PFM的周長的取值范圍.

解析（1）因為M為AC的中點，

點評 本題是將等腰直角三角形進(jìn)行“兩次折疊”問題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，余角的性質(zhì)及勾股定理.第一次折疊的折痕CD是定線段即等腰△ABC底邊上的高，第二次折疊的折痕EF是動線段.第（1）題求CF的長，常設(shè)要求的線段CF長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示線段FM的長度，選擇Rt△CFM，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案;第（2）題△PFM的形狀是不變，通過“導(dǎo)角”先證△POM∽△PMC和△MPC∽△OFC，得出OM/PO=OC/OF，再證△POF∽△MOC，得出∠PFO= ∠MCO= 45°，可證△PFM的形狀是等腰直角三角形;第（3）以第（2）題為基，將△PFM的周長轉(zhuǎn)化為底MF的代數(shù)式，求出MF的范圍即可.

2 正方形的折疊

例2（2018宿遷）如圖3，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應(yīng)點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設(shè)BE=x.

（1）當(dāng)AM=1/3時，求X的值;

（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由;如不變，請求出該定值;

（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值.

點評 本題是四邊形折疊綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及二次函數(shù)的最值等知識.第（1）問利用勾股定理構(gòu)建方程;第（2）問首先設(shè)AM=y.則BE= EM =x。MD=1 -y，在Rt△AEM中，由勾股定理得1+y2 =2x，其次抓住圖中“K字型相似”或“一線三等角”相似，可證△AEM∽△DMP，利用相似三角形的性質(zhì)，表示△DMP的周長，再進(jìn)行整理代入;（3）過點F作FQ⊥AB，證Rt△ABM≌Rt△QFE（ASA），得AM= QE，根據(jù)梯形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題.

3 矩形的折疊

例3（2018年鎮(zhèn)江）（1）如圖5，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點C落在點C處，若∠ADB= 46°，則∠DBE的度數(shù)為____。.

（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB =4，AD =9.

【畫一畫】

如圖6，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN（點M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）;

【算一算】

如圖7，點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點A，B分別落在點A，B處，若AG=7/3，求B'D的長;

【驗一驗】

如圖8，點K在這張矩形紙片的邊AD上，DK =3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點A，B分別落在點A'，B處，小明認(rèn)為BI所在直線恰好經(jīng)過點D，他的判斷是否正確，請說明理由.

解析（1）如圖9，因為四邊形ABCD是矩形，

所以 AD//BC.

所以∠ADB= ∠DBC= 46°.

由翻折不變性，∠DBE= ∠EBC=1/2∠DBC =23°.故答案為23.

（2）【畫一畫】如圖9.

點評 本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，翻折變換等知識的綜合運(yùn)用，運(yùn)算能力、作圖能力和邏輯推理能力.（1）利用矩形的性質(zhì)得AD//BC，∠DBC=∠ADB=46°，再由折疊，得∠DBE=1/2∠DBC =23°;（2）由題意知MN是AB，CE相交所得銳角的平分線，據(jù)此尺規(guī)作圖畫出MN;（3）因DB=DF -B'F，將問題轉(zhuǎn)化為求DF與B'F的長，先證△DGF是等到腰三角形，得DF= BF，在Rt△CDF中可求CF，問題解決;（3）在Rt△ICB中，求tan∠IB'C的值，連接ID，在Rt△ICD中，求tan ∠DIC的值，根據(jù)tan∠ IBC與tan ∠DIC是否相等判斷B'I，所在直線是否經(jīng)過點D.由動手操作獲得感性認(rèn)識，再由邏輯推理上升到理性認(rèn)識，體現(xiàn)“大膽猜想，小心求證”的認(rèn)識過程.