對2016年常州市中考數(shù)學第18題的分析與思考

黃波波

摘要：2016年常州市中考數(shù)學第18題是一道典型的求面積最值問題，本題考查等邊三角形、全等三角形、平行四邊形、直角三角形、圖形面積計算等相關知識，在解題的過程中可能用到配方法、數(shù)形結合思想、轉化思想等.對本題的研究有利于引導學生夯實基礎知識、體會數(shù)學思想、挖掘數(shù)學本質.

關鍵詞：圖形;面積;轉化思想

1 題目呈現(xiàn)

如圖l，AAPB中，AB =2，∠APB= 90°，在AB的同側作正△ABD，正△APE，正△BCP，則四邊形PCDE面積的最大值是____。

2 解題思路分析

2.1 證明四邊形PCDE是平行四邊形

正三角形的三個內角都是60°，三條邊都相等.由∠DAB=∠EAP= 60°，可得∠BAP=∠DAE.又有AB=AD，AP= AE，所以△ABP≌△ADE，從而得到BP=DE.而BP= CP，所以CP= DE.同理可得EP= DC.所以四邊形PCDE是平行四邊形.

2.2 表示出平行四邊形PCDE的面積

設PE =a，PC =b.要求平行四邊形的面積，需要知道平行四邊形的底和高，如果將PE作為底，可以過點C或者過點D作出PE邊上的高（如圖2或圖3）.易得∠CPE =360° - ∠APB - ∠APE - ∠BPC= 150°.在圖2中，∠CFP= 90°，∠CPF= 180° - ∠CPE =30°，則CF=1/2PC=1/2b;在圖3中，∠DFE= 90°，易得∠DEF= 180°一∠CPE =30°，則DF= 1/2DE =1/2PC = 1/2b.因此，平行四邊形PCDE的面積可以表示1/2ab.

當然，也可以將CP作為底，過點D或者過點E作出CP邊上的高，易得高為1/2a，平行四邊形PCDE的面積可以表示為1/2ab.

2.3 求1/2ab的最大值

方法3 1/2ab可以表示RtAAPB的面積，因此此題轉化為求AAPB的面積的最大值.

因為AB =2，若將AB作為底，就要求出AB邊上的高的最大值.△APB是直角三角形，容易想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，因此作出AB邊上的中線PG（如圖4），PG =AG =BG= 1/2AB=1，點P可視為以AB為直徑的圓上的一點，顯然當PGIAB時，AAPB的AB邊上的高取得最大值1.所以△APB的面積的最大值是1/2×2 xl =1.即1/2ab的最大值是1.

綜上，四邊形PCDE面積的最大值是1.

3 解題反思

3.1 重視基礎知識

解這道題，要熟練掌握正三角形的性質、全等三角形的判定、平行四邊形的判定、基本圖形的面積計算方法以及直角三角形的一些特殊性質.沒有這些知識的支撐，就無法著手解決問題.

3.2 重視基本方法

在表示平行四邊形的面積時，遇到了150°的特殊角，從而想到構造含有其補角的特殊的三角形，利用含有30°角的特殊三角形求出平行四邊形的高;在求代數(shù)式l/2ab的最大值的第二種方法中用到了配方法.這些基本方法的運用也為解決問題奠定了基礎.

3.3 重視轉化思想

轉化思想貫穿數(shù)學學習的始終，無論在代數(shù)問題還是幾何問題中，巧妙的轉化都會使難以解決的問題

3.4 重視數(shù)形結合

著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)與形總是密不可分的.此題的解答中，我們先把四邊形面積的最值問題轉化為代數(shù)式的最值問題，在求代數(shù)式的最值問題時，又將代數(shù)式的值轉化為三角形的面積，通過數(shù)與形的結合使問題得以解決.

3.5 重視挖掘本質

在表示平行四邊形PCDE的面積時，可以將PE作為底，也可以將CP作為底，作高時方法也不唯一.但解決問題的基本思路都是借助特殊三角形表示高，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式表示出平行四邊形PCDE的面積.