二項(xiàng)式定理中的六類題型

■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 廖慶偉

二項(xiàng)式定理是高考的必考內(nèi)容,主要題型是選擇題或填空題,常考題型有六類：求常數(shù)項(xiàng)、求指定項(xiàng)的系數(shù)、求參數(shù)的值、求n的值、求系數(shù)和、求有理項(xiàng),請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必熟練掌握。

題型一、求常數(shù)項(xiàng)

例1的展開式中常數(shù)項(xiàng)(用數(shù)字作答)

解析：由題意知,其展開式的通項(xiàng)為Tr+1

令6-2r=0,得r=3。

點(diǎn)評(píng)：本題直接運(yùn)用通項(xiàng)公式,要求常數(shù)項(xiàng),則x的指數(shù)為0,求出整數(shù)r,用通項(xiàng)公式注意(-1)r不能漏掉。

例2若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )。

A.-40 B.-20 C.20 D.40

解析：令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,a=1。由題意知的展開式的通項(xiàng)為

令5-2r=1,得r=2;

令5-2r=-1,得r=3。

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為(-1)2×23·,故選D。

點(diǎn)評(píng)：令x=1可得所有項(xiàng)的系數(shù)和;求出a的值后,再分析常數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成,便可解得常數(shù)項(xiàng)。

題型二、求指定項(xiàng)的系數(shù)

例3(1)(x+2)8的展開式中x6的系數(shù)是( )。

A.28 B.56 C.112 D.224

A.-20 B.-5 C.5 D.20

A.10 B.30 C.45 D.120

解析：(1)其通項(xiàng)為令8-r=6,得r=2,即T3=,所以x6的系數(shù)是112,選C。

因此,x2只出現(xiàn)在(1+x)10的展開式中。含x2的項(xiàng)為,系數(shù)為,故選C。

點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)式展開式有關(guān)問題的解題策略：

①求展開式中的第n項(xiàng),可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式直接求出第n項(xiàng);

②求展開式中的特定項(xiàng),可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可;

③已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù),可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng),由特定項(xiàng)得出r值,最后求出其參數(shù)。

④對(duì)于三項(xiàng)式問題,一般是通過合并其中的兩項(xiàng)或進(jìn)行因式分解,轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式的形式去求解。

題型三、求參數(shù)的值

例4已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=( )。

解析：由已知得,解得r=1。

點(diǎn)評(píng)：易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”,“項(xiàng)的系數(shù)”,“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念,注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分,包含符號(hào),二項(xiàng)式系數(shù)僅指

題型四、求n的值

例5已知的展開式的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng),則正整數(shù)n的值為___。

解析：由展開式的公式通項(xiàng)得：

由展開式的常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng),知r=6。則3n-4×6=0,解得n=8。

題型五、求系數(shù)和

例6設(shè)(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a1+a2+…+a11=( )。

A.5 B.4 C.3 D.2

解析：由題意知,令x+2=0,則x=-2,

((-2)2+1)(-2+1)9=-5=a0。

令x+2=1,則x=-1,此時(shí),(x2+1)·(x+1)9=0=a0+a1+a2+…+a11。

所以a1+a2+…+a11=-a0=5,故選A。

點(diǎn)評(píng)：“賦值法”普遍運(yùn)用于恒等式,是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問題比較常用的方法。對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=1即可;對(duì)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可。

題型六、求有理項(xiàng)

例7在二項(xiàng)式的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中所有有理項(xiàng)。

解析：由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可知

由已知得2t2=t1+t3,所以n=1+1),解得n=8或1(舍去)。

通項(xiàng)公式為0,1,2,…,8。若項(xiàng)為有理項(xiàng),則16-3r是4的倍數(shù),r=0,4,8。

點(diǎn)評(píng)：本題涉及展開式前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,注意展開式系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)不同,要求有理項(xiàng),可以通過通項(xiàng)公式解決。

練一練：

(1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

參考答案：1120x4;

(2)T6=1792x5,T7=1792x6。