基于變式引申的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)研究

☉福建省福清華僑中學(xué) 俞文銳

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識和理解統(tǒng)一到基本理論和概念上來，往往將廣闊的思路聚焦到同一個焦點上來，然而，這種教學(xué)模式很難產(chǎn)生創(chuàng)新性的思想，也會使學(xué)生一味地迷信教師、專家、教材等權(quán)威，致使學(xué)生長期束縛在被動接受、模仿訓(xùn)練等局面上.而基于變式引申的探究式教學(xué)則高度重視教材中的每個習(xí)題，更加注重學(xué)生的發(fā)散性思維的發(fā)展，鼓勵學(xué)生通過變式來不斷理解并拓展知識，有效地擺脫了思維定式的制約.

一、引入形成變式探究

為了促進(jìn)知識的遷移，進(jìn)而建立新舊知識之間的鏈接，教師應(yīng)在知識引入時，引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，按照最近發(fā)展區(qū)理論，充分利用多媒體來展示日常生活中的直觀材料，讓學(xué)生以小組的形式參與探究概念的本質(zhì).例如，在講解異面直線的概念時，筆者運(yùn)用投影儀向?qū)W生呈現(xiàn)了日常生活中的茶幾、桌椅等直觀材料，并將直觀現(xiàn)象的實物圖形通過圖形變式，來幫助學(xué)生理解異面直線的具體特征.

圖1 異面直線變式圖

二、辨析論證變式探究

為了達(dá)到通過觀察變化的現(xiàn)象來透析數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)的目的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)命題實施觀察與思考，鼓勵學(xué)生通過轉(zhuǎn)換觀察和思考方式，對命題的內(nèi)涵和外延進(jìn)行變式，并組織學(xué)生再次進(jìn)行推導(dǎo)與證明，多角度、多方位、多層次的透徹理解概念，達(dá)到培養(yǎng)思維深刻性的目的，值得說明的是，在具體實踐中，不能急于應(yīng)用知識去解答問題.例如，在學(xué)習(xí)棱柱定義后，筆者及時展示了直棱柱、斜棱柱、正棱柱、長方體、正方體等與棱柱相關(guān)的概念，同時要求學(xué)生總結(jié)出長方體、正四棱柱等一系列平行六面體的特點，并在以下相應(yīng)的橫線上增添圖形變化要求，進(jìn)一步了解以下棱柱之間的相互變化關(guān)系.

圖2 幾種棱柱關(guān)系圖

三、鞏固應(yīng)用變式探究

為了使學(xué)生不再停留在原有的表面現(xiàn)象和所學(xué)知識上，教師應(yīng)將所學(xué)知識運(yùn)用到新的變式問題情境之中，充分利用其本質(zhì)來解答問題，有效地開拓學(xué)生的視野.例如，在學(xué)習(xí)完判斷奇偶性的定義后，筆者及時呈現(xiàn)了以下三個變式，要求學(xué)生在相互探究的基礎(chǔ)上完成以下題目：

變式1：請判斷下列函數(shù)的奇偶性.

設(shè)置目的：設(shè)置以上三個特殊函數(shù)，有效鞏固學(xué)生運(yùn)用定義判斷函數(shù)奇偶性的知識.

變式2：以下說法正確嗎？請說明你的判斷理由.

①若f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，則f（x）一定是偶函數(shù).

②若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.

③若f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則f（x）一定是偶函數(shù).

設(shè)置目的：變具體函數(shù)為抽象函數(shù)，深刻體會從特殊到一般的思想.

變式3：請根據(jù)圖形解題.

①偶函數(shù)y=f（x）的局部圖像如圖3所示，則f（-4）等于多少？

②偶函數(shù)y=f（x）的局部圖像如圖4所示，請判斷f（1）與f（3）之間的大小關(guān)系.

圖3

圖4

設(shè)置目的：根據(jù)奇偶性的性質(zhì)來逆向求解函數(shù)值，有效地開拓學(xué)生的視野，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

四、變式訓(xùn)練探究

為了讓學(xué)生從不同角度分析問題，深入認(rèn)識并體會數(shù)學(xué)思想，教師應(yīng)在日常教學(xué)中，采用一題多解、一題多變和一法多用三種變式進(jìn)行變式訓(xùn)練.其中一題多解就是運(yùn)用發(fā)散思維對同一道數(shù)學(xué)題采用不同的解題思路進(jìn)行解題，有目的、有計劃地將某個問題轉(zhuǎn)化為其他問題，并不斷總結(jié)和提煉不同的解決方法.例如，如圖5所示，用5種顏色在圖中4塊空白位置染色，要求同一條邊兩側(cè)顏色不同，試求共有多少種方案.

圖5

解析：對于該題，可以采用分類的方法進(jìn)行解題，即先按照顏色進(jìn)行分類，再進(jìn)行分步填充，也可以采用分步的方法進(jìn)行解題，即先按A、D顏色相同或不同進(jìn)行分類，再分步解決問題.但總的來說，全部都是應(yīng)用計數(shù)原理來解決計數(shù)問題.

一題多變就是將題目中的已知條件交換，使一道題目變成一類題目，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)思維.

例如，已知△ABC兩個頂點分別為點A（0，5），點B（0，-5），其余兩邊斜率的乘積為則求點C的軌跡方程.

在上述例題的基礎(chǔ)上，筆者以例題中涉及的知識實質(zhì)為依據(jù)，多角度且多層次地設(shè)置了如下變式題目.

變式1：已知兩點的坐標(biāo)分別為（0，-b）和（0，b），平面內(nèi)一點C分別連接以上兩點，且連接后所形成的相交直線的斜率之積為，求平面內(nèi)點C所形成的軌跡方程.

變式2：若兩點的坐標(biāo)分別為（-a，0）和（a，0），其他條件同上，求點C所形成的軌跡方程.

變式3：已知M、N為雙曲線上的兩點，O為原點，P為MN的中點，求證：kMNkPO為定值.

一法多用就是解題的思路和方式是相同的，但題目本身可能相差很大，或者甚至一點聯(lián)系都沒有.

例如，如圖6所示，在三棱錐S-ABC中，已知點D、E、F分別位于AC、BC、SC的中點，求證：平面DEF∥平面SAB.

在上述例題的基礎(chǔ)上，筆者以證明面面平行的基本思路為依據(jù)，應(yīng)用三角形的中位線和面面平行的判定定理設(shè)置了如下變式題目.

變式1：如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P為DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點.試求當(dāng)點Q位于什么位置時，才能使平面PAO∥平面D1BQ.

變式2：如圖8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、S分別是BC、DC、SC、B1D1的中點，求證：平面BB1DD1∥平面EFG.

圖6

圖7

圖8

總之，與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相比，基于變式引申的探究對廣大教育者提出了更加嚴(yán)格的要求，也改變了“傳輸知識給學(xué)生”的局面，使得高中數(shù)學(xué)教學(xué)向著“自主、合作、研究”的方向發(fā)展，因此，在具體的教學(xué)實踐中，教師應(yīng)合理地設(shè)計變式訓(xùn)練，充分在課堂中引入，在辨析論證、鞏固應(yīng)用、總結(jié)提升等環(huán)節(jié)中不斷鼓勵學(xué)生積累知識，達(dá)到理解的最高維度——移情，從而提升和發(fā)展數(shù)學(xué)能力.