解析法及其應用*

☉內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 熊 露

☉內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 趙思林

解析法是解析幾何思想方法的簡稱.解析法是指用代數(shù)方法來研究并解決幾何問題的思想方法.解析幾何兼具“數(shù)”的抽象和“形”的直觀.解析法兼具思想性、方法性和工具性，也就是說，解析法既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，又是研究幾何曲線或曲面的基本方法，還為統(tǒng)一處理一些數(shù)學問題提供了基本工具［1］.本文主要探究了解析法在函數(shù)、三角、向量、不等式和平面幾何等領(lǐng)域中的應用.

一、在函數(shù)中的應用

例1對于x∈R，求函數(shù)的值域.

分析：若用代數(shù)方法則較難下手，但注意到兩個根式就可以發(fā)現(xiàn)，f（x）實質(zhì)上是兩個距離之差的形式，由此可以構(gòu)造距離來簡化問題.

解：易知從而問題轉(zhuǎn)化為求點C（x，2）到點A（-3，0）與點B（2，0）的距離之差，如圖1所示.因此f（x）=|CA|-|CB|.

圖1

因為點C（x，2）是定直線y=2上的一個動點，

所以在△CAB中，||CA|-|CB||＜|AB|，

即-5＜|CA|-|CB|＜5.

故f（x）的值域為（-5，5）.

例1的推廣：若a＞0，Δ1=b12-4ac1≤0，Δ2=b22-4ac2≤0，求函數(shù)的值域問題都可以用上述方法來解決.

例2若x、y∈R且滿足|x|+|y|=3，試求m=x2+y2-2x-2y的取值范圍.

分析：由于|x|+|y|=3，m=x2+y2-2x-2y，很容易想到用數(shù)形結(jié)合的思想，將問題轉(zhuǎn)化為在|x|+|y|=3的條件下，求圓的半徑的最值問題.

解：|x|+|y|=3表示正方形ABCD，m=x2+y2-2x-2y可整理為（x-1）2+（y-1）2=m+2.該方程表示以M（1，1）為圓心，為半徑的圓，如圖2所示.

所以只需求正方形ABCD邊界與圓族中的公共點的最?。ɑ蜃畲螅﹫A的半徑，即當⊙M與正方形ABCD的邊AD相切時，圓的半徑最小，即當且僅當

當⊙M過點B（-3，0）或C（0，-3）時，圓的半徑最大，

即當且僅當x=-3，y=0或x=0，y=-3時，mmax=15.

二、在三角中的應用

例3已知求β的值.

分析：首先對方程進行整理，用代數(shù)方法無法直接對方程進行求解，但經(jīng)仔細分析可以發(fā)現(xiàn)通過構(gòu)造直線和圓，利用圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，能夠使問題得以解決.

解：由題意，得（sinβ+cosβ）cosα+（1-sinβ+cosβ）sinα-

構(gòu)造直線和圓O：x2+y2=1.

顯然點（cosα，sinα）既在直線l上，又在圓O上，所以圓心（0，0）到直線l的距離不超過圓O的半徑，即有

從而得到，cosβ≥sinβ.

因為

故

三、在向量中的應用

在解決一些與向量有關(guān)的問題時，應適當考慮解析法，這樣能夠使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，解決問題也會更加方便.

例4在△ABC中，AB=BC=CA=2，設點D、E滿足求t的值.（本題為2012年高考數(shù)學天津卷理科第7題的改編）

解：以BC邊和BC邊的中垂線所在的直線為坐標軸，建立平面直角坐標系，如圖3.

圖3

例5在平面上，求的取值范圍.（本題為2013年高考數(shù)學重慶卷理科第10題的改編）

解：由題意，以A為坐標原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立平面直角坐標系.

四、在不等式中的應用

例6已知x、b、c∈R且b2+4c2=1，求證：|b-2cx|≤

分析：一般我們習慣將x視為變量，把b、c視為常量，但這樣做不方便運用b2+4c2=1的幾何意義.若將x視為常量，b、c視為變量，再令2c=e，則有b2+e2=1是一個單位圓，這樣自然就可以用解析法了.

證明：不妨設x為常量，令2c=e，則b2+e2=1.

在b=xe中，若把x視為常量，b、e分別視為縱坐標和橫坐標，則方程b=xe表示直線，b2+e2=1表示單位圓.從而圓上的任意一點（e，b）到直線xe-b=0的距離不大于此圓的半徑，即

注：此題也可用柯西不等式求解.

例7若x、y、z∈R且滿足其中m＞0，求證

分析：若把方程組中的z看作常數(shù)，則方程組就可以看成是一個二元二次方程組.但第二個方程是一個橢圓，令2y=y1，就可以把第二個方程變成一個圓.

證明：記2y=y1，則方程組的幾何意義是直線x+y1=m+3z與圓有公共點，所以圓心（0，0）到直線的距離小于或等于圓的半徑，即有

同理可證

五、在平面幾何中的應用

例8證明三角形的三條高線相交于一點.

證明［2］：以△ABC的邊AB及其高線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，如圖4.

圖4

在平面直角坐標系中，設A，B，C的坐標分別（a，0），（b，0），（0，c），過A作BC邊的高線AD交OC于點E.由平面幾何知識可得從而，所以AD所在直線方程為，即bx-cy-ab=0.故E點的坐標為

同理可得△ABC中AC邊上的高與y軸相交的點的坐標為所以點是三條高線的交點坐標.

故三角形的三條高線相交于一點.

推廣：在平面直角坐標系中，已知三點的坐標為Ai（xi，yi）（i=1，2，3），則三點間的線段所圍成的圖形的面積為其中特別地，D=0時當且僅當

A1、A2、A3三點共線，可用于解析幾何中證明三點共線問題.

例9如圖5，自圓O外一定點M，向圓引切線MA、MB，A、B為切點，過點M的任一直線交定圓于C、D，交AB于E.

圖5

證明：設圓的方程為

設點M的坐標為（x0，y0），

則AB的方程為

設割線MD所在直線的參數(shù)方程為

將③代入①得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα）2=r2，

即

設方程④的兩根為t1，t2，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得

由參數(shù)t的幾何意義知：

因此方程的根t滿足

又由幾何意義可知：

因此由⑤⑦可知

評注：本題若采用純平面幾何法來證，則有較大難度.

對于與圓有關(guān)的結(jié)論，往往會聯(lián)想到橢圓.

推廣1：自橢圓外一定點M，向橢圓引切線MA、MB，A、B為切點，過點M的任一直線交定橢圓于C、D，交AB于E.求證：

證明：從略.

推廣2：如圖6，自二次曲線C外一定點M，向曲線引切線MS、MT，S、T為切點，過點M的任一直線交定曲線于P、Q，交ST于R.求證：

圖6

證明：從略.

評注：利用傳統(tǒng)的幾何法來解決平面幾何問題，往往需要添加輔助線［2］，并且對解題技巧也有較高的要求，而解析法具有思路清晰、目標明確、多算少想等特點，故利用解析法來解決平面幾何問題，對培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)大有裨益.