對2019年武漢市高三二月調(diào)考理科第20題的探究與思考

☉湖北省武漢市第二中學(xué) 張鵠

☉湖北省武漢市教育科學(xué)研究院 孔 峰

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 李紅春

2019年武漢市高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試?yán)砜圃嚲?，?yán)格遵照課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明的要求進(jìn)行命制，體現(xiàn)了“覆蓋面廣、難易適中、小巧靈活、貼近高考、突出能力”等方面的命題風(fēng)格.各類題型背景熟悉，載體簡單，蘊(yùn)含豐富，給人以自然、流暢、質(zhì)樸、和諧的深刻印象.其中理科第20題直線與橢圓的綜合問題，命題立意高、構(gòu)思精巧、蘊(yùn)含著豐富的高等背景，凸顯了射影幾何性質(zhì)初等化的轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力，其既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又讓人感受到了命題者的深度思考.為了便于領(lǐng)會命題意圖，本文擬從解法推廣到背景揭示等方面進(jìn)行解讀，供同仁參考.

一、試題及評析

題目武漢市2019屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試?yán)砜频?0題：

（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過點(diǎn)P（1，0）作直線交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面上一點(diǎn)，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0.問：點(diǎn)Q是否在某條定直線上運(yùn)動(dòng)，若存在，求該直線方程；否則，請說明理由.

試題表述簡潔，問題設(shè)計(jì)層次分明，難易梯度合理，解法靈活多樣.第一問屬于封閉問題類型，強(qiáng)調(diào)基本方法的運(yùn)用；第二問體現(xiàn)開放問題特征，強(qiáng)化探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，彰顯了數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理在探究和表述論證過程中深度融合的特征.本題的設(shè)計(jì)目的清晰地表明解析幾何的復(fù)習(xí)備考應(yīng)重在引導(dǎo)考生掌握基礎(chǔ)知識，形成扎實(shí)且全面的學(xué)科核心素養(yǎng).

二、變式推廣

本題的第二問是整個(gè)題目命制的亮點(diǎn)，對它的引申推廣就成了水到渠成的過程.經(jīng)思考，得到如下一些結(jié)論：

結(jié)論1：過點(diǎn)P（m，0）（m≠0）作直線l：y=k（x-m）與橢圓交于 ，兩點(diǎn)，為平面上一動(dòng)ABQ點(diǎn)，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0，則點(diǎn)Q的軌跡方程是

證明：設(shè)點(diǎn)則

運(yùn)用上述證明方法易得下面的結(jié)論2和3：

結(jié)論2：過點(diǎn)P（m，0）（m≠0）作直線l：y=k（x-m）與雙曲線交于 ，兩點(diǎn)，為平面上一動(dòng)ABQ點(diǎn)，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0，

則點(diǎn)Q的軌跡方程是

結(jié)論3：過點(diǎn)P（m，0）（m≠0）作直線l：y=k（x-m）與拋物線Γ：y2=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，Q為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QA，QB，QP的斜率分別是k1，k2，k0，且k1+k2=2k0，則點(diǎn)Q的軌跡方程是x=-m.

三、背景揭示

追蹤試題的命題軌跡，探尋試題的命題背景，有助于提升思維高度，開闊視野，促進(jìn)教師向著更加深刻的專業(yè)化發(fā)展.

借助調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束等相關(guān)概念可以深刻揭示本題的命題思路與背景.作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)了解這方面的相關(guān)知識，以便更好地解答學(xué)生的疑問：為什么是這樣的結(jié)論？進(jìn)而才能識破題目的神秘面紗，解析試題的內(nèi)在背景，并最終把握試題的命題規(guī)律.

1.射影幾何中關(guān)于二次曲線的有關(guān)概念和定理

定義：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)Q是不在平面二次曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q引兩條割線依次交曲線于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G，交于點(diǎn)P，連接EG，F(xiàn)H，交于點(diǎn)N，則直線PN為點(diǎn)Q對應(yīng)的極線.若Q為曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)Q的切線即為極線.同理，直線QN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線.

圖1

定理：（1）當(dāng)點(diǎn)P為二次曲線Γ上的點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)P的極線是二次曲線在點(diǎn)P處的切線；

（2）當(dāng)點(diǎn)P為二次曲線Γ外的點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作二次曲線Γ的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)P的極線是直線AB；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為二次曲線Γ內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P任作割線交二次曲線Γ于A，B，設(shè)曲線Γ在A，B處的切線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P的極線即為點(diǎn)Q的軌跡.

2.借助高觀點(diǎn)思想方法審視試題解題過程

這里不妨假設(shè)二次曲線為橢圓，對于其他二次曲線可作類似討論.

圖2

首先，考查特殊情形，當(dāng)過點(diǎn)P的直線為x軸時(shí)，如圖2所示，不妨設(shè)點(diǎn)Q在第一象限，則

k+k=2k?QH+QH=2·QH 120A HB HPH?PH+PH=2?AH-AP+PB+BH=2 A HB HA H BH?PB-AP=0?AH=AP.BHA HHBPB

這說明點(diǎn)P，H調(diào)和分割線段AB，其分割比為1，因此有

其次，當(dāng)過點(diǎn)P的直線斜率存在且不等于0時(shí)，如圖3所示，

圖3

這說明點(diǎn)P，H調(diào)和分割線段A1B1，從而分割比為1，同上有

另外，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別位于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，即為2018年全國Ⅰ卷理科第20題第二問的情形.

由此可見，此類問題是射影幾何中調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束的初等化表現(xiàn).弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于我們揭示本質(zhì)，拓展認(rèn)識，更有助于我們在教學(xué)中舉一反三以培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力和發(fā)散思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).F