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      “直線的斜率”之教學(xué)設(shè)計

      2019-05-29 03:49:56江蘇省華羅庚中學(xué)梁正玲
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年9期
      關(guān)鍵詞:滑梯刻畫斜率

      ☉江蘇省華羅庚中學(xué) 梁正玲

      當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)伴隨課改的深入而逐漸形成了自主先學(xué)、小組討論、交流展示、質(zhì)疑拓展、檢測反饋、總結(jié)反思的模式.本文是筆者的一次公開課的具體設(shè)計與反思,借助“直線的斜率”這一內(nèi)容將設(shè)計前后的所思所想以文字的形式進(jìn)行表達(dá),期待同行教師的指導(dǎo).

      教學(xué)設(shè)計與反思:

      一、從雜亂到有序的課堂導(dǎo)入

      設(shè)計一:

      1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y=x+1、y=2x+1、y=-x+1的圖像,對其共同特點和不同特點進(jìn)行觀察.

      2.現(xiàn)有一個正方形和一個直角三角板,正方形的邊長是100cm,直角三角板的一個腰長是30cm,該正方形的對角線應(yīng)怎樣作出?

      設(shè)計二:

      預(yù)習(xí)課本中的內(nèi)容并初步感受何為坡度,何為斜率?

      如圖1所示,在A、B兩個滑梯中,你更喜歡哪個呢?它們的“陡”和“緩”又該如何刻畫呢?

      圖1

      設(shè)計三:

      自我嘗試(片段實錄):

      自主預(yù)習(xí)并進(jìn)行以下探究以初步獲得坡度、斜率的概念及概念間的異同.

      如圖2所示,大家都玩過滑滑梯,如果要令這一游戲玩起來更刺激,大家認(rèn)為應(yīng)該對這一滑梯進(jìn)行怎樣的改造呢?這其中的“陡”和“緩”又該如何刻畫呢?

      圖2

      生1:方案一:不改變寬度的同時增加其高度;方案二:不改變高度的同時縮短其寬度.

      生2:高度和寬度同時改變也是可行的,不過應(yīng)該令高度/寬度的比值變大,這樣才能使坡度變大.

      師:很好,坡度變大其實就是高度/寬度的比值變大.

      設(shè)計反思:

      設(shè)計一中所設(shè)計的兩個問題與后面的概念引入是脫節(jié)的.設(shè)計二能從生活實例中引導(dǎo)學(xué)生感受概念,學(xué)生雖然不太懂得怎樣進(jìn)行討論和回答,但明顯比設(shè)計一自然了很多.設(shè)計三能從滑梯這一實物中抽象出三角形并引導(dǎo)學(xué)生自主動手實踐和思考,學(xué)生在直觀性、目的性、操作性俱佳的設(shè)計中能夠很好地感受坡度的概念,同時建立在新舊知識上的設(shè)計很好地促進(jìn)了學(xué)生的探究和思考.

      二、從茫然到有據(jù)的概念探索

      設(shè)計一:

      1.大家能舉出生活中涉及傾斜程度的實例并談?wù)勂鋬A斜程度的刻畫嗎?

      2.各小組對生活中的樓梯、滑梯、山坡等進(jìn)行類比并討論其傾斜程度的刻畫,思考數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的直線的傾斜程度的刻畫.

      設(shè)計二:

      1.大家認(rèn)為圖3中的兩條直線之間有何區(qū)別呢?這種區(qū)別又應(yīng)該如何數(shù)量化呢?

      2.直線的斜率一般應(yīng)怎樣定義?

      圖3

      設(shè)計三:

      1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y=x+1、y=2x+1、y=-x+1對應(yīng)的圖像l1、l2、l3,請觀察其共同點與不同點并思考確定直線所需的要素,并類比坡度思考直線的傾斜程度應(yīng)怎樣刻畫.(PPT呈現(xiàn))

      師:大家根據(jù)自己的預(yù)習(xí)所得和以下任務(wù)進(jìn)行小組交流討論.

      小組活動(PPT呈現(xiàn)):

      (1)檢查所作直線的正確與否并分享直線的作法,在其共同點與不同點的比較中感受確定直線所需的要素.

      (2)類比滑梯的刻畫計算直線l1與l2哪個更陡?

      (3)你能通過計算比較出直線l1和l3的傾斜程度嗎?

      各小組代表在討論后進(jìn)行交流成果的展示.

      生3:對于第(1)小題,我們組認(rèn)為兩點就可以確定一條直線,圖中的三條直線均通過一個點,這是它們的共同點,不過它們各自的傾斜程度并不相同,因此它們是不同的直線,由此可見,由一個點以及直線的傾斜程度也是可以確定直線的.

      對于第(2)小題,(投影展示)我們認(rèn)為可以在直線l1上選兩點(-1,0)、(0,1)并構(gòu)造出直角三角形,計算出其坡度是1,同理l2的坡度是2,因此我們認(rèn)為l2比l1陡.

      生4:我們組計算l1的坡度時選取了(0,1)、(1,2)這兩個點,結(jié)果是一樣的,由此可見,點的選取可以是任意的,大家覺得對嗎?

      眾生:是一樣的,因為相似三角形對應(yīng)邊的比例是一樣的啊.

      師:這個問題問得很棒,大家的回答也很棒,因此任意選兩點是沒有問題的.

      生3:對于第(3)小題,我們計算得出了相同的坡度,不過,其傾斜方向顯然是不一樣的,由此可見,僅僅用坡度來區(qū)分直線應(yīng)該是不靠譜的,大家是否有其他好辦法?

      師:表達(dá)得很到位,他提出的問題值得我們思考,大家是否覺得此時需要一個新的量來刻畫呢?

      生5:我們是這樣想的,l1、l3和x軸的交點并不一樣,由此可見,兩條直線相對于x軸的正方向來說,存在著不同的傾斜角度,因此,是否可以考慮用正負(fù)號來表達(dá)直線的傾斜程度呢?

      生6:我們組也觀察到了l1和l3方向上的不同,因此,找準(zhǔn)方向應(yīng)該是必須的,正負(fù)之分也就很自然了.

      師:很有想法,大家一起來計算一下,用這種方法來區(qū)分l1和l3可行嗎?

      (學(xué)生驗證出其可行性)

      師:事實上,這一比值就是用來刻畫直線傾斜程度的,叫做直線的斜率.大家認(rèn)為如何給其下定義呢?

      生8:分母不能為零,因此x1≠x2,若x1=x2,則k不存在,此時直線PQ⊥x軸.大家可有其他補充?

      師:很好,與x軸不垂直的直線的斜率為定值,直線的方向也因為斜率而得到刻畫,(板書課題)這也是今天的研究主題.

      設(shè)計反思:

      設(shè)計一雖然能夠聯(lián)系生活實際,但學(xué)生解決第四個問題時往往會感覺無所適從,因此探究過程也就缺失了.設(shè)計二中的問題2并不能令學(xué)生在直線的量化區(qū)別中感到思維上的清晰與明確,很多學(xué)生根本無從回答.設(shè)計三使學(xué)生在探究目標(biāo)與任務(wù)的引領(lǐng)下獲得了有效的思考,學(xué)生在獲得概念、量化區(qū)分直線的過程中也更好地體會到了斜率的概念學(xué)習(xí)的必要性.

      三、從無邏輯到有章法的習(xí)題選擇

      設(shè)計一、二:

      例1 已知直線過P(3,2)、Q(3t,t)兩點,直線斜率如何?

      例2 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y=x+1、y=2x+1、y=-x+1的圖像并分別求出其斜率.

      設(shè)計三:

      例1 如圖4所示,直線l1、l2、l3均經(jīng)過點P(3,2),同時l1、l2、l3又分別經(jīng)過點Q1(-2,-1)、Q2(4,-2)、Q3(-3,2),試求直線l1、l2、l3的斜率.

      例2 經(jīng)過點(3,2)作直線并令直線的斜率分別是:(1);(3)0.

      圖4

      小組活動(PPT呈現(xiàn)活動要求):

      (1)各組推薦2位同學(xué)板書題1、題2(1).

      (2)大家從題1中三條直線在坐標(biāo)系中的分布情況中可有什么發(fā)現(xiàn)?

      (3)請大家將題2(1)的解題方法寫在白紙上并作交流.

      (生10作交流并回答了問題2,繼而進(jìn)行如下變式練習(xí).)

      變式1:已知直線過P(3,2)、Q(3t,t)兩點,該直線斜率如何?

      (應(yīng)該考慮斜率的存在情況)

      變式2:求直線y=x+1、y=-x+1的斜率.

      (討論發(fā)現(xiàn)直線的斜率是一次項的系數(shù))

      師:確定斜率之后是不是就可以確定直線了呢?多少條?相互間的位置關(guān)系如何?

      生11:無數(shù)條且相互平行.

      師:例2中的直線可以確定嗎?該直線可以作出嗎?

      生12板書并講解:一直一個點,因此要再確定一個點.設(shè)點P(x,y),則,因此則直線也就可以作出了,大家可有補充?

      生13:上述方程有無數(shù)組解,因此,應(yīng)該取一個特殊點并作出圖象.

      師:非常好,很細(xì)心,值得大家學(xué)習(xí),解題中的規(guī)范性也是需要大家注意的.

      生15:可選(0,0)、(4,3)兩點并作出直線,過點(3,2)作出其平行線.

      生16:由斜率的定義可得,把(3,2)向右水平移動4個單位后再豎直向上移動3個單位,可得點(7,5).

      師:太棒了,大家選擇自己喜歡的方法來完成(2)、(3)兩題吧.

      設(shè)計反思:

      設(shè)計一、二對于學(xué)生預(yù)習(xí)后的知識掌握情況高估了,學(xué)生或許能夠很好地解題,但對于其中的知識與方法卻是沒有辦法進(jìn)行提煉和變式的.設(shè)計三能在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式,使學(xué)生在演算、講解的實踐中真正體會到斜率的含義與作用.

      檢測促學(xué):

      1.已知直線l過點A(-1,2m)、B(m,m+3),其斜率為2,則實數(shù)m=______.

      2.已知直線l的斜率k=2,直線l上有一點P(2,3),如果將點P沿x軸方向向右移動3個單位,再沿y軸方向向上移動______個單位后所得的點P1還在直線上.

      總之,我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),同時也應(yīng)注意思維的延展性,唯有如此才能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.F

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