基于強(qiáng)耦合Duffing振子的微弱脈沖信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)*

曹保鋒 李鵬 李小強(qiáng) 張雪芹 寧王師梁睿 李欣 胡淼 鄭毅?

1) (防化研究院,國(guó)民核生化災(zāi)害防護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 102205)

2) (杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院,杭州 310018)

耦合Duffing振子在檢測(cè)強(qiáng)噪聲中的微弱脈沖信號(hào)時(shí)具有可檢測(cè)信噪比低等優(yōu)點(diǎn),但目前檢測(cè)模型還存在系統(tǒng)性能與初始狀態(tài)有關(guān)、只能工作在倍周期分岔狀態(tài)等缺陷.為此本文構(gòu)建了一種能克服上述缺點(diǎn)的新的微弱脈沖信號(hào)檢測(cè)模型,通過(guò)對(duì)兩個(gè)Duffing振子同時(shí)施加較大的恢復(fù)力和阻尼力耦合,可使振子間產(chǎn)生廣義的“阱內(nèi)失同步”現(xiàn)象,基于這種現(xiàn)象可實(shí)現(xiàn)微弱脈沖信號(hào)的檢測(cè)與恢復(fù).以信噪比改善和波形相似度為衡量指標(biāo),研究了周期策動(dòng)力幅值與周期、耦合系數(shù)、計(jì)算步長(zhǎng)、阻尼系數(shù)等參量對(duì)模型信號(hào)檢測(cè)與波形恢復(fù)效果的影響.對(duì)方波、雙指數(shù)脈沖和高斯導(dǎo)數(shù)脈沖進(jìn)行檢測(cè)和恢復(fù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所構(gòu)建的模型能夠在較低信噪比條件下有效地檢測(cè)并恢復(fù)出高斯白噪聲背景中的微弱脈沖信號(hào),進(jìn)而改善了現(xiàn)有的Duffing振子對(duì)非周期脈沖信號(hào)的檢測(cè)能力并擴(kuò)展了其應(yīng)用領(lǐng)域.

1 引言

在核爆炸電磁脈沖探測(cè)、閃電信號(hào)探測(cè)、電力系統(tǒng)局部放電探測(cè)、靜電放電探測(cè)等信號(hào)被動(dòng)探測(cè)研究領(lǐng)域,信號(hào)通常具有單次、超寬帶、低信噪比等特點(diǎn),當(dāng)進(jìn)行遠(yuǎn)距離探測(cè)時(shí)信號(hào)的強(qiáng)度將會(huì)非常微弱,有可能淹沒(méi)于強(qiáng)高斯噪聲中,此時(shí)采用常規(guī)探測(cè)手段進(jìn)行信號(hào)提取和事件識(shí)別較為困難.

近年來(lái),隨著現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展,逐漸涌現(xiàn)出了一些適合微弱非周期脈沖信號(hào)探測(cè)的技術(shù)和方法,例如： Power-Law檢測(cè)法[1]、小波變換[2]、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[3,4]、希爾伯特-黃變換[5]、粒子濾波降噪[6]、高階累積量降噪[7]等.與這些方法相比,混沌檢測(cè)方法具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn),例如可檢測(cè)信噪比更低[8,9]、適用范圍更廣[10-14]等,其原理是利用非線性系統(tǒng)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的敏感性和對(duì)噪聲的不敏感性,通過(guò)系統(tǒng)相變或多個(gè)系統(tǒng)的耦合實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)探測(cè)[15,16].

自1992年Birx首次將混沌振子用于微弱信號(hào)檢測(cè)以來(lái),混沌振子檢測(cè)理論得到了不斷改進(jìn)和發(fā)展.2006年,李月等[17]首次提出了一種基于恢復(fù)力耦合的Duffing振子,并應(yīng)用該系統(tǒng)在高斯色噪聲背景中檢測(cè)周期方波信號(hào),取得了一定的效果.2009年,Yuan等[18]通過(guò)觀測(cè)Duffing振子的混沌程度來(lái)探測(cè)腦電圖,首次將混沌振子的檢測(cè)范圍從周期信號(hào)擴(kuò)展到非周期信號(hào).之后越來(lái)越多的學(xué)者利用Duffing振子進(jìn)行有關(guān)非周期脈沖信號(hào)檢測(cè)的研究.2011年,吳勇峰等[19,20]發(fā)現(xiàn)脈沖信號(hào)能激勵(lì)恢復(fù)力耦合混沌振子運(yùn)動(dòng)軌跡間出現(xiàn)瞬態(tài)同步突變現(xiàn)象,并研究利用耦合Duffing振子從噪聲背景中探測(cè)微弱局部放電信號(hào)[21].2015年,張悅等[22]利用恢復(fù)力耦合Duffing振子對(duì)微弱電磁脈沖輻射信號(hào)進(jìn)行遠(yuǎn)距離探測(cè).2015年,曾喆昭等[23]使用廣義時(shí)間尺度變換擴(kuò)展了微弱脈沖信號(hào)的探測(cè)頻率范圍.2016年,王曉東等[24]提出了一種Duffing振子阻尼力耦合方法.

上述研究展現(xiàn)了混沌振子在微弱信號(hào)檢測(cè)中廣闊的應(yīng)用前景,但是總的來(lái)說(shuō)基于混沌振子的時(shí)域微弱脈沖信號(hào)檢測(cè)技術(shù)尚處于經(jīng)驗(yàn)性的摸索階段,其實(shí)用性模型迄今鮮見(jiàn)報(bào)道,工程應(yīng)用尚屬空白.目前所提出的弱耦合Duffing振子具有明顯的缺點(diǎn),如系統(tǒng)性能極大地依賴于系統(tǒng)初始狀態(tài)、系統(tǒng)只能工作在倍周期分岔狀態(tài)下、無(wú)法恢復(fù)被測(cè)信號(hào)的時(shí)域波形信息等.為了解決這些問(wèn)題,本文對(duì)傳統(tǒng)Duffing振子的耦合形式進(jìn)行了改進(jìn),通過(guò)對(duì)阻尼力和恢復(fù)力同時(shí)施加耦合,構(gòu)建了一個(gè)強(qiáng)相互作用的檢測(cè)系統(tǒng).以信噪比改善和波形相似度為衡量指標(biāo),研究了策動(dòng)力幅值與周期、耦合系數(shù)、計(jì)算步長(zhǎng)、阻尼系數(shù)等參量對(duì)模型信號(hào)檢測(cè)與波形恢復(fù)效果的影響.以強(qiáng)高斯白噪聲背景中的方波、雙指數(shù)脈沖、高斯導(dǎo)數(shù)脈沖為被測(cè)對(duì)象,研究了強(qiáng)耦合系統(tǒng)的信噪比檢測(cè)閾值與時(shí)域波形恢復(fù)效果.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該系統(tǒng)對(duì)初始狀態(tài)不敏感,可工作在任何相態(tài),信噪比改善(signal-to-noise ratio improvement,SNRI)可達(dá)20 dB,對(duì)時(shí)域脈沖幅值和寬度的估計(jì)誤差小于5%.該方法在閃電信號(hào)探測(cè)、核爆炸電磁脈沖信號(hào)探測(cè)、局部放電探測(cè)、靜電放電探測(cè)等被動(dòng)信號(hào)探測(cè)研究領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

2 弱耦合Duffing振子及其特點(diǎn)

自1918年Duffing振子被應(yīng)用于非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域以來(lái),已逐漸成為眾多混沌系統(tǒng)模型中研究和應(yīng)用較為充分的模型之一,其中Holmes型Duffing振子的動(dòng)力學(xué)方程為

將廣義時(shí)間變量 換為t,代入方程(1)并整理,得τ

經(jīng)過(guò)時(shí)間尺度變換后方程(2)的激勵(lì)角頻率由1 rad/s變成了,因此可以適應(yīng)外界不同頻率的周期信號(hào).

2011年,吳勇峰等[19]基于(1)式構(gòu)造了一種恢復(fù)力耦合的Duffing振子,

其中k為耦合系數(shù),其數(shù)值表示耦合強(qiáng)度,在該系統(tǒng)中兩振子的耦合強(qiáng)度保持一致; s(t)為待測(cè)脈沖信號(hào); n(t)為高斯白噪聲.待測(cè)脈沖信號(hào)s(t)和噪聲n(t)只加入到振子1中.該模型檢測(cè)機(jī)理為“阱間失同步”,即微弱脈沖信號(hào)使處于倍周期振蕩的振子1從某個(gè)勢(shì)阱躍遷至另一個(gè)勢(shì)阱,由于耦合作用很小,微弱脈沖信號(hào)對(duì)振子2幾乎不起作用,振子2保持原狀,依靠?jī)烧褡拥摹摆彘g失同步”和混沌振子對(duì)噪聲極強(qiáng)的免疫力檢測(cè)微弱脈沖信號(hào).增大系統(tǒng)耦合系數(shù)后,兩振子產(chǎn)生同步的躍遷,性能不但沒(méi)有改善,反而導(dǎo)致檢測(cè)失敗.

上述基于恢復(fù)力耦合的Duffing振子雖然可以實(shí)現(xiàn)—10 dB以下信噪比的微弱脈沖信號(hào)檢測(cè),但檢測(cè)原理決定了其存在以下的固有缺陷： 系統(tǒng)初始狀態(tài)不同,對(duì)正脈沖和負(fù)脈沖產(chǎn)生瞬態(tài)同步突變的能力不同; 系統(tǒng)只能工作在倍周期分岔狀態(tài)下,在混沌態(tài)和大尺度周期態(tài)時(shí)將會(huì)失效; 對(duì)微弱脈沖的幅值、寬度等信息不敏感,無(wú)法恢復(fù)被測(cè)信號(hào)的時(shí)域波形.由于其耦合系數(shù)較小,本文稱其為弱耦合Duffing振子.

3 強(qiáng)耦合Duffing振子

3.1 強(qiáng)耦合Duffing振子方程及其數(shù)值求解

為了解決上述弱耦合Duffing振子存在的各種問(wèn)題,本文結(jié)合時(shí)間尺度變換構(gòu)造了一種新的強(qiáng)耦合Duffing振子模型：

非線性常微分方程(4)沒(méi)有解析解,常用的數(shù)值解法是龍格-庫(kù)塔(Runge-Kutta,RK)法,本文使用MATLAB中求解微分方程的函數(shù)ode45對(duì)其進(jìn)行求解,該函數(shù)是一種解決剛性問(wèn)題的變步長(zhǎng)數(shù)值解法,采用四階RK算法提供候選解,五階RK算法控制誤差,整體截?cái)嗾`差為h5,求解過(guò)程中的步長(zhǎng)h、相對(duì)誤差、絕對(duì)誤差等參量可以自行設(shè)定[25].

3.2 強(qiáng)耦合Duffing振子檢測(cè)原理

強(qiáng)耦合Duffing振子檢測(cè)原理為廣義的“阱內(nèi)失同步”,即通過(guò)較大的“恢復(fù)力”和“阻尼力”的共同耦合,使得脈沖對(duì)振子1的作用可以同時(shí)作用在振子2上,并且使得兩振子在脈沖作用下的“瞬時(shí)突變”方向不同,這樣通過(guò)比較兩振子相軌跡的差異,即可對(duì)脈沖進(jìn)行檢測(cè).“阱內(nèi)失同步”是指兩振子在倍周期狀態(tài)下處于同一勢(shì)阱時(shí)的同步受到破壞; 廣義的“阱內(nèi)失同步”,是指兩個(gè)振子在倍周期、混沌、大尺度周期等各種狀態(tài)下的同步受到破壞.基于廣義“阱內(nèi)失同步”原理的強(qiáng)耦合Duffing振子從根本上克服了弱耦合模型“阱間失同步”檢測(cè)方法的缺陷.

下面對(duì)強(qiáng)耦合Duffing振子的檢測(cè)原理進(jìn)行詳細(xì)分析.首先對(duì)單振子的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析,振子有1個(gè)鞍點(diǎn)(0,0)和兩個(gè)中心點(diǎn)(1,0)和(—1,0),其阻尼系數(shù)一般為正的常數(shù).當(dāng)周期策動(dòng)力為0時(shí),Duffing振子相平面運(yùn)動(dòng)軌跡將在阻尼力的作用下以螺旋形式趨于兩個(gè)中心點(diǎn)之一,初始條件決定了趨于哪個(gè)中心點(diǎn); 當(dāng)周期策動(dòng)力幅值F逐漸增大時(shí),其運(yùn)動(dòng)軌跡圍繞某個(gè)中心點(diǎn)做線性振蕩,頻率與策動(dòng)力頻率相同; 繼續(xù)增大F值,振蕩運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)分頻,頻率為策動(dòng)力頻率的有理數(shù)倍,軌跡出現(xiàn)倍周期分岔; 當(dāng)F再增加超過(guò)某一閾值后,軌跡將從原來(lái)的中心點(diǎn)進(jìn)入到另一個(gè)中心點(diǎn)做倍周期振蕩,也可能從新的中心點(diǎn)跳回原中心點(diǎn),這種振蕩和來(lái)回躍遷極難重復(fù),便稱之為混沌;當(dāng)F進(jìn)一步增加超過(guò)某一閾值后,Duffing振子被周期策動(dòng)力所主導(dǎo),系統(tǒng)在外軌進(jìn)行大尺度周期振蕩.

在周期策動(dòng)力上施加脈沖信號(hào)s(t)和噪聲n(t)后,將有可能打破系統(tǒng)原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).若脈沖信號(hào)s(t)在Duffing振子固有諧振頻率處的能量足夠大,就能夠使相軌跡發(fā)生改變.文獻(xiàn)[23]從頻域?qū)_擊信號(hào)能譜、諧振頻率與相軌跡變化三者的關(guān)系進(jìn)行了定量描述.從時(shí)域角度看,當(dāng)脈沖信號(hào)的寬度與振蕩的周期可比擬并且脈沖強(qiáng)度足夠大時(shí),即可使振子軌跡發(fā)生較大的改變,并且脈沖強(qiáng)度越大,軌跡突變程度越大,當(dāng)脈沖信號(hào)s(t)消失后,軌跡又能很快恢復(fù)初始狀態(tài).一定強(qiáng)度下隨機(jī)變化的噪聲n(t)具有各個(gè)頻率分量,不同頻率分量的擾動(dòng)會(huì)使振子偏離共振態(tài),但在諧振頻率處的能量不足以使?fàn)顟B(tài)發(fā)生躍遷或軌跡發(fā)生大的改變,只能在軌跡上留下一些粗糙的痕跡.因此,通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)同步的耦合振子,并使得脈沖信號(hào)s(t)在振子中產(chǎn)生的軌跡“失同步”,就可以通過(guò)檢測(cè)這種“失同步”實(shí)現(xiàn)對(duì)s(t)的檢測(cè),并通過(guò)失同步的程度估計(jì)s(t)的波形參數(shù).

(4)式的強(qiáng)耦合Duffing振子即可滿足這種要求,下面通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)其檢測(cè)原理做進(jìn)一步說(shuō)明.在振子1內(nèi)置周期策動(dòng)力上疊加三角脈沖s(t)和零均值高斯白噪聲n(t),信噪比設(shè)為—10 dB,如圖1(a)所示,三角脈沖的幅值為0.63,上升沿與下降沿相等,均為0.5.使用龍格-庫(kù)塔法對(duì)強(qiáng)耦合Duffing振子微分方程進(jìn)行求解,從圖1(c)和圖1(d)振子1,2的相圖可以看出,脈沖信號(hào)s(t)在兩個(gè)相圖中均引起了瞬時(shí)突變,振子1的圓形振蕩軌道向右上方突變,振子2軌道向右下方突變.這說(shuō)明在脈沖信號(hào)s(t)的作用下,系統(tǒng)變量x1,x2同時(shí)增大的瞬間,變量一個(gè)增大,一個(gè)減小.從的時(shí)域圖1(e)和圖1(f)也可以看出,在脈沖信號(hào)s(t)到來(lái)的時(shí)刻產(chǎn)生了疊加于由周期策動(dòng)力產(chǎn)生的正弦波之上的正極性脈沖,在幾乎同一時(shí)刻產(chǎn)生了負(fù)極性脈沖.這樣,利用和的差值,即可將相位相同的正弦波抵消,檢測(cè)出脈沖信號(hào),結(jié)果如圖1(b)所示.比較圖1(b)的檢測(cè)結(jié)果和圖1(a)的輸入信號(hào)可以看出,強(qiáng)耦合Duffing振子在檢測(cè)輸入脈沖信號(hào)的同時(shí),較大程度上保留了信號(hào)的時(shí)域信息,據(jù)此可以對(duì)輸入信號(hào)的脈寬、幅值等參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

圖1 強(qiáng)耦合Duffing振子檢測(cè)微弱脈沖信號(hào) (a)輸入信號(hào); (b)輸出信號(hào); (c)振子1相圖; (d)振子2相圖; (e)變量 時(shí)域圖;(f)變量 時(shí)域圖Fig.1.Detection of weak pulse signal using the strongly coupled Duffing oscillators： (a) Input signal; (b) output signal; (c) phase space of oscillator 1 and (d) oscillator 2; (e) time domain diagram of variable and (f) .

4 強(qiáng)耦合Duffing振子參數(shù)對(duì)性能影響

強(qiáng)耦合Duffing振子系統(tǒng)的參數(shù)取值、計(jì)算步長(zhǎng)等對(duì)系統(tǒng)的檢測(cè)效果均有可能產(chǎn)生影響,本節(jié)通過(guò)對(duì)這些因素的分析,為系統(tǒng)優(yōu)化提供理論依據(jù).

這里使用波形相似度與信噪比改善兩個(gè)指標(biāo)衡量系統(tǒng)探測(cè)效能.波形相似度(也稱皮爾遜相關(guān)系數(shù))可以從時(shí)域反映兩個(gè)波形的相似程度,其定義為

式中xi為輸入信號(hào)數(shù)列,yi為輸出信號(hào)數(shù)列,為數(shù)列xi的均值,為數(shù)列yi的均值,r為兩個(gè)波形對(duì)應(yīng)數(shù)列x和y的相關(guān)系數(shù),取值范圍為[—1,1],r越大表明正相關(guān)程度越高,r=1時(shí)兩個(gè)波形完全相似.

信噪比改善即檢測(cè)系統(tǒng)輸出信噪比與輸入信噪比的差值,

式中SNRo為輸出信噪比,SNRi為輸入信噪比.脈沖信號(hào)的信噪比定義為

式中a為脈沖信號(hào)s(t)的幅值,D為噪聲方差.系統(tǒng)變量初始值默認(rèn)為初始值的選取原則是盡量減小檢測(cè)結(jié)果開(kāi)始階段的振蕩.當(dāng)對(duì)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)進(jìn)行分析時(shí),該參數(shù)的取值位于某個(gè)區(qū)間內(nèi),其他參數(shù)取默認(rèn)值,如表1所列.

表1 強(qiáng)耦合Duffing振子各參數(shù)取值區(qū)間與默認(rèn)值Table 1. Values range and default values of parameters in strongly coupled Duffing oscillators.

4.1 周期驅(qū)動(dòng)力幅值F (系統(tǒng)相態(tài))

在使用固定計(jì)算步長(zhǎng)并合理設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)后,通過(guò)逐步增加驅(qū)動(dòng)力幅值F,系統(tǒng)將出現(xiàn)周期振蕩、分岔、混沌和大尺度周期等不同相態(tài)[26].下面分析系統(tǒng)處于不同相態(tài)時(shí)的信噪比改善與波形相似度情況.

首先分析Duffing系統(tǒng)相態(tài)的變化區(qū)間,當(dāng)無(wú)被測(cè)信號(hào)時(shí),兩振子完全同步.Duffing振子隨參數(shù)F在區(qū)間[0,2]內(nèi)變化的分岔圖如圖2所示.當(dāng)F=0時(shí),系統(tǒng)軌線將最終停在其中一個(gè)焦點(diǎn); 當(dāng)時(shí),相點(diǎn)圍繞其中一個(gè)焦點(diǎn)或另一個(gè)焦點(diǎn)做周期振蕩; 當(dāng)時(shí),系統(tǒng)軌線將出現(xiàn)分岔,相點(diǎn)圍繞焦點(diǎn)做倍周期振蕩; 當(dāng)時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生Smale馬蹄意義下的混沌運(yùn)動(dòng); 當(dāng)時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).系統(tǒng)相態(tài)在分界點(diǎn)處可能會(huì)存在小的過(guò)渡區(qū)間[27],這里暫不討論.其中混沌相態(tài)判別使用Lyapunov指數(shù)法,當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)大于0,且三個(gè)Lyapunov指數(shù)之和小于0時(shí),系統(tǒng)為混沌態(tài).Lyapunov指數(shù)計(jì)算使用Jacobi算法[28].

圖2 Duffing振子隨參數(shù)F變化的分岔圖Fig.2.Bifurcation diagram of Duffing oscillator with parameter F.

接下來(lái)觀察強(qiáng)耦合Duffing振子在不同相態(tài)時(shí)檢測(cè)微弱高斯脈沖信號(hào)的情況.選取前沿5.5,半高寬5的高斯脈沖作為被測(cè)信號(hào)：

連續(xù)配筋混凝土路面具有整體性、耐久性良好等優(yōu)點(diǎn)。本文介紹了連續(xù)配筋混凝土路面優(yōu)勢(shì)，結(jié)合實(shí)際工程總結(jié)其施工技術(shù)，并對(duì)其應(yīng)用效果進(jìn)行檢查分析，結(jié)果表明：連續(xù)配筋混凝土有效防止面板產(chǎn)生干濕溫度裂縫，提高道路整體性，避免早期損害，提升道路使用壽命。

其中 A=0.632,b=0,c=3 × 10—6.設(shè)定噪聲方差D=0.1,Duffing系統(tǒng)輸入信號(hào)信噪比為 0 dB,主要原因是為了保證能檢測(cè)出該信號(hào),方便研究Duffing振子參數(shù)與檢測(cè)性能的關(guān)系,從而為參數(shù)優(yōu)化提供依據(jù),而非以檢測(cè)為目的.本節(jié)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)均采用此信號(hào)作為被測(cè)信號(hào).

100次實(shí)驗(yàn)的信噪比改善SNRI均值(及均方差)和波形相似度r均值與驅(qū)動(dòng)力幅值F的關(guān)系如圖3所示.由圖中可見(jiàn)SNRI在的整個(gè)范圍內(nèi)均能達(dá)到19.2 dB以上且曲線較為平坦,這表明Duffing振子相態(tài)的變化對(duì)微弱脈沖信號(hào)檢測(cè)影響不大.該特性對(duì)探測(cè)大動(dòng)態(tài)范圍的信號(hào)是非常有利的,因?yàn)楫?dāng)輸入信號(hào)的強(qiáng)度相對(duì)驅(qū)動(dòng)力幅值變化較大時(shí),有可能會(huì)引起系統(tǒng)的相變,若在不同相態(tài)時(shí)系統(tǒng)SNRI變化較大,則會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.檢測(cè)系統(tǒng)處于不同相態(tài)時(shí)輸出信號(hào)與被測(cè)信號(hào)s(t)的波形相似度均大于97%,表明在系統(tǒng)的各個(gè)相態(tài),波形的時(shí)域特征恢復(fù)情況也是比較好的.

圖3 SNRI和r與周期驅(qū)動(dòng)力幅值F (相態(tài))的關(guān)系Fig.3.SNRI and r versus the periodic driving force amplitude F (states of phase-space).

另外,對(duì)系統(tǒng)初始值引起的相態(tài)變化也進(jìn)行了研究,得到的結(jié)果與上述結(jié)論相似,這說(shuō)明強(qiáng)耦合Duffing振子在實(shí)際使用時(shí)幾乎不受初始值的限制.

4.2 驅(qū)動(dòng)力周期ω

下面對(duì)該參數(shù)的設(shè)置進(jìn)行分析,首先設(shè)定系統(tǒng)其他參數(shù)與初始值為默認(rèn)值.計(jì)算時(shí)系統(tǒng)的信噪比改善SNRI與波形相似度 r,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示 (實(shí)驗(yàn)次數(shù)100次).可見(jiàn)SNRI最優(yōu)的頻點(diǎn)是1 × 106rad/s,對(duì)應(yīng)頻率0.16 MHz,這與信號(hào)能量頻率上限相對(duì)應(yīng),但波形相似度最優(yōu)時(shí)的頻率范圍是時(shí)域信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)往往更加注重波形相似度的要求,的選擇首先考慮提高波形相似度,其次再考慮提高信噪比改善,否則波形的畸變較為嚴(yán)重.所以,驅(qū)動(dòng)力周期的設(shè)置需要根據(jù)不同信號(hào)的時(shí)域特性來(lái)決定.仿真結(jié)果顯示,針對(duì)(8)式的高斯脈沖,設(shè)置是較為合適的(大于信號(hào)能量頻率上限).

圖4 SNRI和r與驅(qū)動(dòng)力周期 的關(guān)系Fig.4.SNRI and r versus the driving force period .

4.3 耦合系數(shù)k

耦合系數(shù)的作用在于將被測(cè)信號(hào)s(t)對(duì)振子1的作用耦合到振子2中去.由該模型的檢測(cè)機(jī)理可知,耦合系數(shù)越大,檢測(cè)效果和波形恢復(fù)效果越好.當(dāng)耦合系數(shù)k=0時(shí),兩振子之間不存在耦合作用.當(dāng)0 ＜ k ＜ 1時(shí),兩振子間的耦合屬于弱耦合,被測(cè)脈沖信號(hào)在振子1中引起的突變難以耦合到振子2中,以至于變量差分后的結(jié)果幾乎被噪聲淹沒(méi),檢測(cè)失效; 當(dāng) 1 ＜ k ＜ 10時(shí),振子耦合強(qiáng)度逐漸增大,振子2因s(t)產(chǎn)生的突變也逐步增大,信噪比改善逐漸提高,波形相似度也逐漸達(dá)到最優(yōu);當(dāng)k ＞ 10時(shí),耦合系數(shù)的影響趨于固定.設(shè)定系統(tǒng)其他參數(shù)與初始值,在的范圍內(nèi),系統(tǒng)的信噪比增益 SNRI與波形相似度 r在100次實(shí)驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)值如圖5所示.

圖5 SNRI和r與耦合系數(shù)k的關(guān)系Fig.5.SNRI and r versus the coupling coefficient k.

4.4 阻尼系數(shù)ξ

設(shè)定系統(tǒng)其他參數(shù)與初始值,對(duì)系統(tǒng)相圖進(jìn)行分析,結(jié)果顯示,在小阻尼系數(shù)時(shí) ( 0＜ξ＜0.1),系統(tǒng)的相態(tài)會(huì)經(jīng)歷大尺度周期、混沌、分岔等不同狀態(tài)的變化,這時(shí)雖然系統(tǒng)對(duì)噪聲的抑制能力較強(qiáng),但SNRI分散程度較大,波形有所失真.中等阻尼系數(shù)時(shí) ( 0.1＜ξ＜1),系統(tǒng)始終處于周期振蕩狀態(tài),脈沖引起的振子同步突變較為規(guī)則,波形相似度很高,同時(shí)信噪比改善也較好.大阻尼系數(shù)時(shí) ( ξ＞ 1),系統(tǒng)逐漸脫離周期振蕩狀態(tài),不再具有Duffing方程的屬性,波形檢測(cè)失效.信噪比改善SNRI和波形相似度r與阻尼系數(shù) ξ 的關(guān)系如圖6所示.

圖6 SNRI和r與阻尼系數(shù) ξ 的關(guān)系Fig.6.SNRI and r versus the damping coefficient ξ.

4.5 計(jì)算步長(zhǎng)

計(jì)算步長(zhǎng)在很大程度上決定了計(jì)算的精度,計(jì)算步長(zhǎng)越小計(jì)算精度越高,但同時(shí)計(jì)算量越大.下面利用不同的計(jì)算步長(zhǎng)對(duì)Duffing方程進(jìn)行求解,以觀察計(jì)算步長(zhǎng)對(duì)檢測(cè)效果的影響.設(shè)定計(jì)算步長(zhǎng)分別20,10,5,2,1 ns,則輸入信號(hào)采樣率對(duì)應(yīng)為50,100,200,500,1000 MHz.100次實(shí)驗(yàn)檢測(cè)結(jié)果的SNRI和波形相似度r統(tǒng)計(jì)值與計(jì)算步長(zhǎng)的關(guān)系如圖7所示,SNRI和r均隨著計(jì)算步長(zhǎng)減小而增加,這與前面的分析一致.所以在Duffing系統(tǒng)運(yùn)算能力允許時(shí),應(yīng)盡可能采用較小的計(jì)算步長(zhǎng)(較高的采樣率).

圖7 SNRI和r與不同計(jì)算步長(zhǎng)的關(guān)系Fig.7.SNRI and r versus different calculation steps.

5 仿真實(shí)驗(yàn)研究

5.1 微弱脈沖信號(hào)檢測(cè)

在前面強(qiáng)耦合Duffing振子原理與參數(shù)分析的過(guò)程中,分別使用了三角脈沖和高斯脈沖作為被檢測(cè)波形,分析結(jié)果顯示輸出信噪比得到了有效改善,波形相似度也很高.下面利用強(qiáng)耦合Duffing振子對(duì)三種波形信號(hào)進(jìn)行不同信噪比條件下的檢測(cè).其中,

檢測(cè)成功的判據(jù)為： 輸出信號(hào)脈沖幅度a大于5倍噪聲均方差(輸出信號(hào)信噪比大于7.96 dB).設(shè)置該判據(jù)的原因在于,在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中,樣本大于5σ的概率為2.85 × 10—6,即一百萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)會(huì)有2.85個(gè)誤判.假設(shè)一次事件包含104個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),那么對(duì)事件的誤判率將小于3%,實(shí)踐證明該判據(jù)用于脈沖檢測(cè)是一種可靠的判據(jù).

根據(jù)第4節(jié)的分析結(jié)果,檢測(cè)不同時(shí)域特征脈沖信號(hào)時(shí)需要設(shè)置不同的振子參數(shù),三種被測(cè)信號(hào)的波形特征及部分參數(shù)如表2所列,其他參數(shù)取表1中默認(rèn)值,系統(tǒng)初始值同樣取默認(rèn)值.

表2 波形特征及部分振子參數(shù)Table 2. Waveform characteristics and partial oscillator parameters.

背景固定為方差0.1的高斯白噪聲,通過(guò)調(diào)節(jié)脈沖信號(hào)幅度a,將輸入信噪比設(shè)置在區(qū)間[—20,—10]dB,間隔1 dB,100次實(shí)驗(yàn)的檢測(cè)概率和波形相似度均值如表3所列.可以看出,三種波形的檢測(cè)概率和波形相似度同時(shí)大于0.9的輸入信噪比門(mén)限分別為—15,—12 和—16 dB.

5.2 微弱脈沖信號(hào)參數(shù)估計(jì)

強(qiáng)耦合Duffing振子對(duì)目標(biāo)信號(hào)的檢測(cè)是基于時(shí)域的,由于檢測(cè)結(jié)果與目標(biāo)信號(hào)s(t)在時(shí)域具有良好的波形相似度,因此可通過(guò)直接測(cè)量So(t)來(lái)估計(jì)目標(biāo)信號(hào)s(t)的時(shí)域特征.以三種波形的檢測(cè)概率和波形相似度同時(shí)大于0.9 時(shí)的輸入信噪比 (即—15,—12,—16 dB)作為檢測(cè)門(mén)限,采用一階矩估計(jì)法分別估計(jì)脈沖幅值和寬度的均值,并計(jì)算估計(jì)值的誤差和均方誤差.估計(jì)前先選取100個(gè)樣本對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練,隨后對(duì)另100個(gè)測(cè)量樣本進(jìn)行參數(shù)估計(jì).估計(jì)結(jié)果列于表4 和表5,其中均方誤差(MSE)為

表3 強(qiáng)耦合Duffing振子檢測(cè)結(jié)果Table 3. Detection results of strongly coupled Duffing oscillators.

表4 脈沖信號(hào)幅值估計(jì)結(jié)果Table 4. Estimation results of pulse signals amplitude.

表5 脈沖信號(hào)寬度估計(jì)結(jié)果Table 5. Estimation results of pulse signals width.

其中 so(t) 為檢測(cè)結(jié)果的單次測(cè)量值,為估計(jì)值,N為樣本數(shù)量.

對(duì)脈沖幅值和寬度的估計(jì)結(jié)果表明,在信噪比門(mén)限之上,強(qiáng)耦合Duffing振子對(duì)脈沖波形的恢復(fù)效果較好,誤差基本在5%以內(nèi),MSE表明結(jié)果的一致性也很好.圖8、圖9、圖10分別為三種脈沖波形在各自信噪比檢測(cè)門(mén)限處的恢復(fù)效果.

從三種波形的恢復(fù)效果可以看出： 噪聲得到了很好的抑制,波形整體畸變較小,幅值、脈寬等時(shí)域信息均能在恢復(fù)結(jié)果中體現(xiàn); 系統(tǒng)能夠檢測(cè)和恢復(fù)正負(fù)交替的脈沖信號(hào); 方波雖然恢復(fù)波形在前后沿部分有所變緩,但波形整體相似性較好,尤其是平頂部分基本沒(méi)有畸變; 通過(guò)時(shí)間尺度變換后系統(tǒng)可以檢測(cè)和恢復(fù)從微秒級(jí)至秒級(jí)的脈沖信號(hào),表明系統(tǒng)不受時(shí)間尺度的限制.

圖8 檢測(cè)信噪比—15 dB的方波信號(hào) (a)輸入信號(hào);(b)輸出信號(hào)Fig.8.Detection of square wave signal with SNR of —15 dB：(a) Input signal; (b) output signal.

圖9 檢測(cè)信噪比—12 dB的雙指數(shù)脈沖 (a)輸入信號(hào);(b)輸出信號(hào)Fig.9.Detection of double exponential pulse with SNR of—12 dB： (a)Input signal; (b) output signal.

圖10 檢測(cè)信噪比—16 dB的高斯導(dǎo)數(shù)脈沖 (a)輸入信號(hào); (b)輸出信號(hào)Fig.10.Detection of Gaussian derivative pulse with SNR—16 dB： (a) Input signal; (b) output signal.

5.3 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

下面對(duì)弱耦合Duffing振子和強(qiáng)耦合Duffing振子的信號(hào)檢測(cè)和波形恢復(fù)情況進(jìn)行對(duì)比.輸入信噪比—10,—12,—14 和—16 dB 的微弱高斯導(dǎo)數(shù)脈沖,如圖11(a)所示.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,兩種方法的信噪比檢測(cè)門(mén)限都能達(dá)到—16 dB,基本處于同一水平,如圖11(b)和圖11(c)所示,但強(qiáng)耦合Duffing振子對(duì)脈沖波形的恢復(fù)效果明顯更好,并且其穩(wěn)定性、一致性等要優(yōu)于弱耦合Duffing振子.

圖11 對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)輸入信號(hào); (b)弱耦合Duffing振子輸出信號(hào); (c)強(qiáng)耦合Duffing振子輸出信號(hào)Fig.11.Contrast experimental results： input signal (a); output signal of weakly coupled Duffing oscillators (b) and strongly coupled Duffing oscillators (c).

6 結(jié) 論

本文提出了一種強(qiáng)耦合Duffing振子的微弱脈沖信號(hào)時(shí)域檢測(cè)方法,解決了弱耦合情況下探測(cè)脈沖信號(hào)的一些固有缺陷.該方法不僅能在高斯白噪聲背景中判斷微弱脈沖信號(hào)的有無(wú),還可恢復(fù)信號(hào)的一些時(shí)域信息.本文工作的結(jié)論如下：

1)利用信噪比改善和波形相似度對(duì)強(qiáng)耦合Duffing振子參數(shù)進(jìn)行分析,結(jié)果表明優(yōu)化后系統(tǒng)對(duì)微弱脈沖信號(hào)的信噪比增益可達(dá)20 dB以上;

2)強(qiáng)耦合Duffing振子處于任何相態(tài)時(shí)均可工作,具有可檢測(cè)脈沖強(qiáng)度變化范圍大、可檢測(cè)脈沖種類多、可檢測(cè)正負(fù)交替的脈沖等特點(diǎn);

3)該方法不受時(shí)間尺度的限制,只需調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)力周期,即可檢測(cè)不同時(shí)間尺度的脈沖信號(hào);

4)由于該方法對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)不敏感,因此有利于執(zhí)行分段并行計(jì)算,這對(duì)脈沖信號(hào)的實(shí)時(shí)檢測(cè)應(yīng)用非常重要.

該方法受計(jì)算步長(zhǎng)的影響較大,對(duì)采樣率的要求較高,另外本文研究的背景噪聲僅限高斯白噪聲,其他噪聲對(duì)系統(tǒng)檢測(cè)性能的影響有待進(jìn)一步研究.