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    盤點(diǎn)三角函數(shù)最值問題的求法

    2019-05-28 11:47:14柯定尊
    關(guān)鍵詞:值域余弦正弦

    ■柯定尊

    三角函數(shù)最值問題是近幾年高考考查的一個(gè)重點(diǎn),三角函數(shù)最值是函數(shù)最值的一個(gè)重要組成部分,與二次函數(shù)、不等式等內(nèi)容緊密相關(guān),由于其題型的變化多樣,常常讓同學(xué)們感到無從下手。下面介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法,供同學(xué)們參考。

    一、利用配方法求三角函數(shù)的最值

    若函數(shù)表達(dá)式中只含正弦函數(shù)或余弦函數(shù),且它們的次數(shù)是2時(shí),一般需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。

    例1求函數(shù)y=-2sin2x+2sinx+1的最值。

    解:函數(shù)y=-2sin2x+2sinx+1=因?yàn)?1≤sinx≤1,所以當(dāng)sinx=-1,即時(shí)當(dāng)即時(shí),ymax=-2×0+

    解答本題的關(guān)鍵是先將函數(shù)式進(jìn)行配方,再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題。

    跟蹤練習(xí)1:函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值為( )。

    提示:函數(shù)y=cos2x-3cosx+2=因?yàn)?1≤cosx≤1,所以當(dāng)cosx=1,即x=2kπ,k∈Z時(shí),ymin=應(yīng)選B。

    二、利用歸一法求三角函數(shù)的最值

    若函數(shù)表達(dá)式中同時(shí)含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù),一般需要通過三角恒等變換將所給的函數(shù)式化為只含有一個(gè)函數(shù)名的形式。

    例2求函數(shù)y=cos2x+5sinx-sin2x的最值。

    解:函數(shù)y=1-sin2x+5sinx-sin2x=因?yàn)?1≤sinx≤1,所以當(dāng)sinx=-1,即x=2kπ-k∈Z時(shí),當(dāng)sinx=1,即x=時(shí)

    本題是利用三角函數(shù)的基本關(guān)系把函數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)的形式進(jìn)行求解的。

    跟蹤練習(xí)2:求函數(shù)y=sin2x+2cosx的最值。

    提示:函數(shù)y=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx=-(cosx-1)2+2。因?yàn)?1≤cosx≤1,所以當(dāng)cosx=1,即x=2kπ,k∈Z時(shí),ymax=2;當(dāng)cosx=-1,即x=時(shí),ymin=-4+2=-2。

    三、利用有界性求三角函數(shù)的最值

    在三角函數(shù)中,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性,利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本的方法。

    例3求函數(shù)的最值。

    解:原函數(shù)變形為因?yàn)閨sinx|≤1,所以所以-1≤y≤故函數(shù)y的最大值為最小值為-1。

    跟蹤練習(xí)3:求函數(shù)的值域。

    提示:原函數(shù)變形為因?yàn)閨cosx|≤1,所以所以y≥3或故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>

    四、利用單調(diào)性求三角函數(shù)的最值

    如果一個(gè)三角函數(shù)通過換元后的函數(shù)在它的定義域上具有單調(diào)性,則可利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。

    例4已知x∈(0,π),求函數(shù)y=的最小值。

    解:設(shè)sinx=t,因?yàn)閤∈(0,π),所以0<t≤1。所以在(0,1)上是減函數(shù),所以當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)y有最小值為3。

    跟蹤練習(xí)4:求函數(shù) y=的值域。

    提示:函數(shù)設(shè)sinx+2=t,因?yàn)閟inx∈[-1,1],所以1≤t≤3,所以y=t-在[1,3]上單調(diào)遞增[圖像類似對數(shù)函數(shù),當(dāng)x→0時(shí),y→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí),以y=x為漸 近線,且過點(diǎn) (1,0)]。當(dāng)t=1,即sinx=-1時(shí),ymin=0;當(dāng)t=3,即sinx=1時(shí)故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>

    五、利用數(shù)形結(jié)合法求三角函數(shù)的最值

    由于sin2x+cos2x=1,所以從圖形考慮,點(diǎn)(cosx,sinx)在單位圓上,這樣對既含有正弦函數(shù)又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題,可考慮用數(shù)形結(jié)合法求解。

    例5求函數(shù)的最小值。

    解:將函數(shù)表達(dá)式改寫成y 可看成連接點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)(cosx,sinx)的直線的斜率。由于點(diǎn)(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓,所以求y的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn),使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過點(diǎn)A的切線與半圓相切于點(diǎn)B,則kAB≤y<0,可求得所以函數(shù)y的最小值為

    跟蹤練習(xí)5:求函數(shù)的最大值。

    提示:由函數(shù)設(shè)點(diǎn)P 為(sinx,cosx),點(diǎn)Q 為(-2,0),則可看成是單位圓上的動點(diǎn)P與點(diǎn)Q連線的斜率,如圖1所示。設(shè)過點(diǎn)Q的切線與圓相切于點(diǎn)P1時(shí),直線的斜率最大。可求得所以可得y=1。所以函數(shù)y的最大值為1

    圖1

    六、利用分類討論法求三角函數(shù)的最值

    對于含參數(shù)的三角函數(shù)的最值問題的解答,往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論。

    例6 設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+asinx-用a表示f(x)的最大值 M(a)。

    解:函數(shù)f(x)=-sin2x+asinx-令sinx=t,則0≤t≤1,故g(t)=

    本題主要利用換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù),根據(jù)sinx的取值范圍[-1,1],利用對稱軸進(jìn)行分類討論求出最大值。

    跟蹤練習(xí)6:求關(guān)于x的函數(shù)y=-sin2x-2asinx+1-a的最大值。

    提示:函數(shù)y=-sin2x-2asinx+1-a=-(sinx+a)2+a2-a+1。令sinx=t,則|t|≤1,故y=-(t+a)2+a2-a+1。

    (1)若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1,則t=-a時(shí),函數(shù)y有最大值為ymax=a2-a+1(如圖2所示)。

    圖2

    (2)若-a<-1,即a>1,則t=-1時(shí),函數(shù)y有最大值為ymax=a(如圖3所示)。

    圖3

    (3)若-a>1,即a<-1,則t=1時(shí),函數(shù)y有最大值為ymax=-3a(如圖4所示)。

    圖4

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