混沌驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)形狀漸近同步控制及其在保密通訊中的應(yīng)用

黃運昌， 湯 曉， 王銀河*

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院， 廣東 廣州 510006； 2.廣州亞俊氏電器有限公司， 廣東 廣州 510006)

0 引 言

混沌作為非線性系統(tǒng)的一種獨特的動力學(xué)現(xiàn)象,在自然和工程實踐中廣泛存在[1-2].由于混沌現(xiàn)象的遍歷性和偽隨機性,因而它應(yīng)用于許多工程實踐中.近十幾年來,混沌同步一直是研究非線性科學(xué)的熱點課題之一.在混沌同步控制中,最典型的是完全同步[3-5],該同步保證驅(qū)動與響應(yīng)混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨著時間的推移漸近趨于相同.針對這類同步,許多相應(yīng)的驅(qū)動-響應(yīng)控制方法被提出,例如,利用線性反饋控制實現(xiàn)驅(qū)動-響應(yīng)混沌同步控制[3],考慮分數(shù)階超混沌系統(tǒng),通過滑?？刂破鲗崿F(xiàn)兩個系統(tǒng)的同步[4],針對一類不確定混沌系統(tǒng),模糊自適應(yīng)同步控制被提出[5].另外,對完全同步的概念進行延伸,又出現(xiàn)有廣義同步[6]、投影同步[7]、滯后同步[8]、反同步[9]等.

值得注意的是,完全同步概念主要是基于混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的距離關(guān)系,要求狀態(tài)變量之間的距離漸近為零,其他類型的同步概念也直接與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān),并未涉及系統(tǒng)狀態(tài)軌線的形狀. 對于由微分方程確定的混沌系統(tǒng),在給定的初始條件下,其狀態(tài)解在其狀態(tài)空間中呈現(xiàn)為一條空間軌跡曲線(吸引子),該曲線具有特定的形狀,而且不同的混沌系統(tǒng),其在狀態(tài)空間中呈現(xiàn)的空間軌跡曲線的形狀也不同.可見,系統(tǒng)狀態(tài)軌線的形狀也蘊含了系統(tǒng)運行的某些重要的信息,因而從混沌吸引子的形狀出發(fā)討論形狀同步也具有一定的理論和實踐意義,但是現(xiàn)有的相關(guān)文獻鮮有涉及形狀同步的研究.所謂“形狀同步”,是指通過控制作用,使得驅(qū)動和響應(yīng)混沌系統(tǒng)曲線的狀態(tài)曲線趨于相同.文獻[10]討論了混沌系統(tǒng)的驅(qū)動-響應(yīng)形狀同步,并通過設(shè)計的控制器保證驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)曲線的弧長和曲率完全相同,實現(xiàn)了形狀完全同步.但是,該方法在混沌系統(tǒng)選取上具有一定的局限性,同時控制器也較為復(fù)雜,不易于推廣.

基于微分幾何的平面基本理論[11],二維平面曲線經(jīng)過剛體變換,會發(fā)生相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)、平移,但是其形狀并不會發(fā)生改變.因此,對于二維平面中兩條形狀相同的曲線,一定存在某一剛體變換使得兩條曲線重合.受此啟發(fā),只要保證驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)曲線滿足剛體變換關(guān)系,那么也可以實現(xiàn)形狀同步.然而,如何通過結(jié)合剛體變換和同步控制使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)曲線實現(xiàn)形狀同步,目前這方面的研究仍然較少.

此外,混沌信號具有非周期性、連續(xù)寬帶頻譜、類噪聲的特性以及異常復(fù)雜的運動軌跡和不可預(yù)測性,而且軌跡對初值非常敏感,使得混沌信號成為非常合適的保密通信的載體[12].混沌同步控制理論的發(fā)展,為混沌保密通訊技術(shù)的進一步發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ).當(dāng)前,同步保密通訊技術(shù)主要包括混沌遮掩技術(shù)、混沌鍵控技術(shù)和混沌參數(shù)調(diào)制技術(shù)[13].這些技術(shù)利用混沌同步控制,使發(fā)送端驅(qū)動和接收端響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量距離滿足完全相同或者一些特定關(guān)系,從而實現(xiàn)了保密信息復(fù)原.由于形狀相同的吸引子之間的狀態(tài)變量距離沒有固定的關(guān)系,利用相同形狀的混沌系統(tǒng)曲線進行傳輸,能夠增加信號復(fù)原的難度,從而提高通訊保密的安全性.因此,基于形狀同步的保密通訊具有實際的工程意義.

通過上述討論,本文提出了混沌系統(tǒng)驅(qū)動-響應(yīng)形狀漸近同步的概念以及一種形狀漸近同步控制器.此外,結(jié)合混沌掩蓋技術(shù),利用提出的形狀同步控制方法,設(shè)計了一種形狀同步保密通訊方案.

1 系統(tǒng)描述

一類混沌驅(qū)動系統(tǒng)[5]描述為

(1)

其中狀態(tài)向量x(t)=[x1(t),x2(t)]∈R2,非線性函數(shù)f1(x(t),t)是一個光滑的時變向量函數(shù),A1是常實數(shù)矩陣.

設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)描述為

(2)

其中狀態(tài)向量y(t)=[y1(t),y2(t)]∈R2,非線性函數(shù)f2(y(t),t)是一個光滑的時變向量函數(shù),A2是常實數(shù)矩陣,u(t)=[u1(t),u2(t)]T∈R2為控制輸入.

注1：對于給定初始時刻t0和初始位置x(t0)=[x1(t0),x2(t0)]T,驅(qū)動系統(tǒng)具有滿足這個初始條件的解φ(x(t0),t0),這個解在相平面內(nèi)表現(xiàn)為光滑的平面曲線r1(t)=[x1(t),x2(t)]T,稱為驅(qū)動系統(tǒng)曲線.同理,響應(yīng)系統(tǒng)也表現(xiàn)為一條光滑的平面曲線r2(t)=[y1(t),y2(t)]T,稱為響應(yīng)系統(tǒng)曲線.

引理1.1[11]設(shè)c1(t)和c2(t)是R2中的兩條平面曲線,如果c1(t)經(jīng)過一個剛體運動后與c2(t)重合,那么稱曲線c1(t)和曲線c2(t)形狀完全相同,此時存在一個二維實數(shù)正交矩陣Q與實數(shù)向量p,滿足Qc1(t)+p=c2(t).

將引理1.1中關(guān)于兩條平面曲線形狀完全相同的概念加以擴展,得到如下定義.

定義1.2考慮驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(2),如果在控制輸入u(t)作用下,從t0開始驅(qū)動系統(tǒng)曲線與響應(yīng)系統(tǒng)曲線形狀漸近相同,則稱為形狀漸近同步.

2 形狀同步控制設(shè)計

控制目標：設(shè)計控制輸入u(t)使驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(2)在控制輸入u(t)作用下形狀漸近同步.

針對混沌驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2),定義形狀同步誤差如下：

z(t)=Qx(t)+p-y(t)

(4)

其中，Q為二維實數(shù)正交矩陣且QTQ=E(單位矩陣),p為實數(shù)向量.

其導(dǎo)數(shù)為

A2y(t)-f2(y(t),t)-u(t)

(5)

為了實現(xiàn)上述控制目標,對于響應(yīng)系統(tǒng)的控制器可以設(shè)計如下:

u(t)=QA1QT(z(t)-p)+(QA1QT-A2)y(t)+

Qf1(x(t))-f2(y(t))+kz(t)

(6)

其中k為正可調(diào)參數(shù).

定理2.1考慮混沌驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2),采用所設(shè)計的控制器(7),可保證驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達到形狀漸近同步.

證明

首先,選取如下候選的Lyapunov函數(shù)：

(7)

其中,B為正定對稱矩陣.

對其作時間的導(dǎo)數(shù)

(8)

將式(5)代入得到

以“兩微一端”為代表的新媒體成為當(dāng)下媒體發(fā)展的主流，越來越多的媒體借助微信、微博和客戶端不斷拓展發(fā)展平臺。傳統(tǒng)媒體的發(fā)展囿于電視傳播，但是，移動設(shè)備的普及逐漸取代電視的功能，發(fā)揮更加靈活的作用。傳統(tǒng)媒體只有與新媒體融合，借助手機客戶端等推出簡潔的信息傳播方式，將圖片、文字和視頻等集中在較短的篇幅內(nèi)傳播，適應(yīng)當(dāng)下觀眾對效率和快節(jié)奏生活的要求，為傳統(tǒng)媒體發(fā)展贏得更多的用戶，創(chuàng)新信息傳播的方式，擴展發(fā)展平臺。

A2y(t)-f2(y(t),t)-u(t))

=zT(t)B(QA1QTQx(t)-QA1QTy(t)+

QA1QTy(t)-A2y(t)+Qf1(x(t),t)-

f2(y(t),t)-u(t))

(9)

由式(4)得：

A2)y(t)+Qf1(x(t))-f2(y(t))-u(t))

(10)

將控制器(6)代入式(10)中,得到

(11)

3 數(shù)值仿真

選用Duffing方程式[14]作為混沌驅(qū)動系統(tǒng),其模型為如下方程,

(12)

其中

響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計如下：

(13)

取

設(shè)計形狀漸近同步控制器如下：

u(t)=QA1QT(z(t)-p)+(QA1QT-A2)y(t)+

Qf1(x(t))-f2(y(t))+kz(t).

選取k=5，通過Matlab軟件仿真得到結(jié)果見圖1～圖2：

圖1 相位圖

圖2 形狀同步誤差

4 形狀漸近同步在保密通信中的應(yīng)用

上述仿真表明,由于形狀同步對兩個系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的距離沒有固定的關(guān)系,因此，要使兩者完全重合,需要通過平面的某一剛體變換才能實現(xiàn).利用這一特點,形狀漸近同步控制可以在保密通信中得到運用.即使截獲傳輸?shù)幕煦缦到y(tǒng)信號,也僅能夠得到加密信號和驅(qū)動信號的形狀,具體的曲線位置并不能確定,無法破譯傳輸信息,因此，提高了保密系統(tǒng)的安全性和靈活性.結(jié)合混沌掩蓋技術(shù),構(gòu)建混沌形狀同步保密通信系統(tǒng)見圖3.

圖3 保密通信系統(tǒng)

圖4 公共傳輸信號

圖5 傳統(tǒng)方式復(fù)原信號與原始信號

圖6 響應(yīng)輸出信號與原始信號

圖7 復(fù)原誤差

由上述理論分析和仿真結(jié)果可知，本文提出的形狀漸近同步遮掩調(diào)制的混沌保密通信與傳統(tǒng)的混沌保密通信方法相比有如下優(yōu)點：

(1)傳輸信號是由驅(qū)動信號經(jīng)過剛體變換后疊加原始信號形成的，即使信號被截獲，兩者之間的差值并非原始信號.因此,本方案具有較強的保密性.

(2)形狀相同的曲線在二維平面中難以枚舉，利用不同的剛體變換，可以提高密鑰選擇的靈活性，并增加保密性.

(3)漸近同步控制器可以調(diào)節(jié)參數(shù)使得響應(yīng)時間加快，從而有效地減少通訊帶來的干擾，盡可能地保證原始信號無失真的恢復(fù).

5 結(jié) 論

本文針對一類二階混沌系統(tǒng),首先,基于微分幾何基本理論,提出了驅(qū)動響應(yīng)混沌系統(tǒng)曲線形狀漸近同步的概念.形狀漸近同步的提出拓寬和豐富了混沌同步理論.其次,通過設(shè)計形狀同步控制器,保證了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)曲線形狀漸近同步.根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性原理,對形狀同步誤差收斂進行了證明.同時,結(jié)合混沌掩蓋的方法,設(shè)計了基于一類驅(qū)動響應(yīng)混沌系統(tǒng)的形狀同步混沌保密通信方案.最后,通過數(shù)值仿真進行驗證.由于當(dāng)前對于形狀同步的研究較少,因此相應(yīng)的理論仍需要深層次的完善和挖掘,同時基于形狀同步的應(yīng)用還有待進一步拓展.